Nous étudions la distribution des résonances dans le problème de<br />transmission et pour l'opérateur d'élasticité linéaire. Dans le cas du<br />problème de transmission, nous montrons l'existence de suites de résonances<br />qui s'approchent rapidement de l'axe réel et de densité maximale. Pour le<br />problème de Dirichlet dans l'élasticité linéaire, nous montrons l'absence<br />de résonances sous une cubique du plan complexe.

L'approximation de Born-Oppenheimer consiste à traiter de manière semi-classique l'équation de Schrödinger associée à une molécule en utilisant la petitesse du rapport de masse entre électrons et noyaux. Nous montrons que pour un type générique de presque croisement de codimension 1 de deux surfaces d'énergie électroniques, la propagation d'un paquet d'ondes nucléaire gaussien associé à l'une des surfaces est gouvernée par une formule du type Landau-Zener. Par ailleurs, dans le cadre de l'équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle et en situation de croisement générique de deux courbes d'énergie, nous construisons des quasimodes par intégration d'un paquet d'ondes gaussien propagé le long d'une trajectoire classique périodique associée à l'une des deux courbes d'énergie.

L'imagerie infrarouge est aujourd'hui en plein développement de par la production à grande échelle de détecteurs non refroidis. Une des évolutions potentielles pour ces capteurs est d'y intégrer des dispositifs de filtrage optique pour réaliser des images sur plusieurs bandes spectrales, permettant d'extraire différentes informations comme par exemple la composition chimique de la scène observée. Dans ce mémoire, nous discutons des possibilités de réaliser ces fonctions de filtrage spectral par des structures diffractives bi-périodiques dont les motifs sont de taille comparable à la longueur d'onde, ce qui leur confère des propriétés résonantes. Pour ce faire, nous avons développé une approche modale fondée sur la méthode des éléments finis (FEM) adaptée à des structures diffractives de géométrie quelconque. Si l'étude des modes propres dans le cas de domaines bornés est bien connue, elle se révèle beaucoup plus délicate dans le cas non borné, laissant apparaitre des quasimodes associés à des valeurs propres complexes. Notre méthode, à travers une transformation géométrique de l'espace, permet de se ramener à un problème borné où l'espace libre est tronqué par des couches parfaitement adaptées (Perfectly Matched Layers, PML). Cette technique qui nous permet de trouver numériquement un nombre arbitraire de valeurs propres a été validée dans le cas scalaire en la comparant avec une méthode de recherche de pôles dans le plan complexe. De plus, nous montrons qu'il est possible de décomposer le champ solution du problème avec sources sur la base réduite des vecteurs propres associés. Ainsi pouvons-nous obtenir les coefficients de couplage d'une onde plane de fréquence, d'incidence et de polarisation arbitraires avec un mode particulier, nous donnant ainsi des informations précieuses sur les conditions d'excitation des résonances du système. Ces méthodes, développées en détail dans le cas scalaire, sont généralisées au cas vectoriel. Nous avons en outre développé un modèle numérique pour prendre en compte la dispersion d'indice dans le cas du problème spectral. De plus nous utilisons une formulation de la FEM adaptée au calcul de la diffraction d'une onde plane par des structures diffractives de géométrie quelconque, et avons développé des PMLs adaptatives pour traiter le cas des anomalies de Wood pour lequel les PMLs classiques deviennent inefficaces. Nous appliquons ensuite ces techniques à la conception de plusieurs structures bi-périodiques destinées à réaliser différentes fonctions de filtrage dans l'infrarouge et à l'étude de leurs propriétés spectrales. Enfin, deux types de filtres, coupe bande en réflexion et passe bande en transmission, ont été fabriqués et caractérisés expérimentalement.