On appelle diffusion en milieu aléatoire la solution de l’équation différentielle stochastique suivante : dX(t) = dB(t) − 1/2 W’(X(t))dt où B est un mouvement brownien standard et W, le milieu, est un processus càd-làg qui n’est pas nécessairement dérivable (l’EDS précédente n’a alors qu’un sens formel). Schumacher [69] et Brox [17] ont montré que dans le cas où W est un mouvement brownien, la diffusion X a un comportement sous-diffusif et se localise au voisinage de certains points du milieu. Cette thèse est principalement consacrée à l’étude du comportement asymptotique du processus des temps locaux de X. Ce processus LX(t, x) représente le temps passé par X au point x avant le temps t. C’est donc un outil bien adapté pour étudier la localisation de la diffusion. On décrit ici la loi limite du temps local lorsque le milieu est un mouvement brownien standard ou plus généralement un processus de Lévy stable. On s’intéresse également au temps passé par la diffusion au voisinage des points les plus visités et au comportement asymptotique presque sûr du maximum du temps local. Dans la dernière partie de la thèse, on utilise le temps local d’une version discrète du modèle, pour obtenir des informations sur le milieu. Le but étant d’appliquer ce modèle au séquençage de l’ADN. / A diffusion in random environment is the solution of the following stochastic differential equation: dX(t) = dB(t) − 1/2 W’(X(t))dt where B is a standard Brownian motion and W a càd-làg process which is not necessarily differentiable (the previous SDE has then only a formal sense). Schumacher [69] and Brox [17] have shown that the diffusion X has a sub-diffusive behavior when W is also a standard Brownian motion. Moreover they point out a localization phenomena for X. This thesis is principally devoted to the description of the asymptotic behavior of the local time process of X. The local time LX(t, x) represents the time spent by X before t at point x. This is thereby a useful tool to study the localization of the diffusion. Here is described the limit law of the local time when the environment is a Brownian motion or more generally a stable Lévy process. We are also interested in the time spent by X in the neighborhood of the most visited points and in the almost sure asymptotic behavior of the maximum of the local time. In the last chapter of the thesis the notion of local time is used in a discrete version of the model to obtain informations on the environment. The goal is to apply this model to DNA sequencing.

On appelle diffusion en milieu aléatoire la solution de l'équation différentielle stochastique suivante : dX(t) = dB(t) − 1/2 W'(X(t))dt où B est un mouvement brownien standard et W, le milieu, est un processus càd-làg qui n'est pas nécessairement dérivable (l'EDS précédente n'a alors qu'un sens formel). Schumacher [69] et Brox [17] ont montré que dans le cas où W est un mouvement brownien, la diffusion X a un comportement sous-diffusif et se localise au voisinage de certains points du milieu. Cette thèse est principalement consacrée à l'étude du comportement asymptotique du processus des temps locaux de X. Ce processus LX(t, x) représente le temps passé par X au point x avant le temps t. C'est donc un outil bien adapté pour étudier la localisation de la diffusion. On décrit ici la loi limite du temps local lorsque le milieu est un mouvement brownien standard ou plus généralement un processus de Lévy stable. On s'intéresse également au temps passé par la diffusion au voisinage des points les plus visités et au comportement asymptotique presque sûr du maximum du temps local. Dans la dernière partie de la thèse, on utilise le temps local d'une version discrète du modèle, pour obtenir des informations sur le milieu. Le but étant d'appliquer ce modèle au séquençage de l'ADN.

Dans cette thèse, on étudie certaines propriétés asymptotiques d'un modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire. Plus précisément, on étudie les liens entre la fonction de partition et la mesure de polymère lorsque la taille du système tend vers l'infini. On construit également des champs multifractaux qui vérifient certaines propriétés statistiques du champ de vitesse d'un écoulement turbulent.

Se donnant un mécanisme de branchement critique ou sous-critique, on définit une procédure d’élagage de l’arbre aléatoire continu de Lévy associé. Cette procédure d’élagage est définie en plaçant des marques sur l’arbre grâce `a des techniques de serpent de Lévy. On démontre alors que le sous-arbre obtenu après élagage est encore un arbre aléatoire continu de Lévy. Ce résultat est démontré en utilisant une propriété de Markov spéciale et un problème de martingale pour les processus d’exploration. On construit ensuite, par couplage, une autre procédure d’élagage qui définit un processus de fragmentation sur l’arbre. On calcule la famille de mesures de dislocation associée à cette fragmentation. Dans un deuxième travail, on considère une diffusion aléatoire dans un milieu Lévy stable. On montre que le processus des temps locaux renormalisé et recentré au minimum de la vallée standard de hauteur log t, converge en loi vers une fonctionnelle de deux processus de Lévy conditionnés `a rester positifs indépendants. Pour démontrer ce résultat, on montre que la loi de la vallée standard est proche de celle de deux processus de Lévy conditionnés à rester positifs concaténés en 0. On obtient également la loi limite du supremum du temps local renormalisé. / Given a general critical or sub-critical branching mechanism, we define a pruning procedure of the associated Lévy continuum random tree. This pruning procedure is defined by adding some marks on the tree, using Lévy snake techniques. We then prove that the resulting sub-tree after pruning is still a Lévy continuum random tree. This last result is proved using the exploration process that codes the CRT, a special Markov property and martingale problems for exploration processes. We then construct, by coupling, an another pruning procedure which define a fragmentation process on the tree. We compute the family of dislocation measures associated with this fragmentation. In a second work, we consider a one-dimensional diffusion in a stable Lévy environment. We show that the normalized local time process refocused at the bottom of the standard valley with height log t converges in law to a functional of two independent Lévy processes conditioned to stay positive. To prove this result, we show that the law of the standard valley is close to a two-sided Lévy process conditioned to stay positive. We also obtain the limit law of the supremum of the normalized local time.

Se donnant un mécanisme de branchement critique ou sous-critique, on définit une procédure d'élagage de l'arbre aléatoire continu de Lévy associé. Cette procédure d'élagage est définie en plaçant des marques sur l'arbre grâce à des techniques de serpent de Lévy. On démontre alors que le sous-arbre obtenu après élagage est encore un arbre aléatoire continu de Lévy. Ce résultat est démontré en utilisant une propriété de Markov spéciale et un problème de martingale pour les processus d'exploration. On construit ensuite, par couplage, une autre procédure d'élagage qui définit un processus de fragmentation sur l'arbre. On calcule la famille de mesures de dislocation associée à cette fragmentation. Dans un deuxième travail, on considère une diffusion aléatoire dans un milieu Lévy stable. On montre que le processus des temps locaux renormalisé et recentré au minimum de la vallée standard de hauteur log t, converge en loi vers une fonctionnelle de deux processus de Lévy conditionnés à rester positifs indépendants. Pour démontrer ce résultat, on montre que la loi de la vallée standard est proche de celle de deux processus de Lévy conditionnés à rester positifs concaténés en 0. On obtient également la loi limite du supremum du temps local renormalisé.

Depuis près d'un demi-siècle, les ingénieurs savent décrire et prévoir la propagation d'une fissure dans un milieu élastique homogène modèle. Le cas des matériaux réels est beaucoup plus complexe. En effet, on ne sait pas relier leur durée de vie ou leur résistance à leur microstructure. Passage obligé avant de telles prédictions, il est nécessaire de comprendre comment le désordre structural du matériau influe sur le comportement d'une fissure. Dans cette optique, les surfaces de rupture représentent un champ d'investigation très prometteur. A travers une étude portant sur divers matériaux hétérogènes, nous caractérisons les propriétés statistiques de leur rugosité et déterminons dans quelle mesure elles sont indépendantes du matériau. Nous montrons notamment que les surfaces de rupture présentent des propriétés d'invariance d'échelle anisotropes, caractérisées par deux exposants universels. Etudiant ensuite une céramique de verre, matériau hétérogène modèle dont on peut contrôler la microstructure, on montre qu'il existe une seconde classe de surfaces de rupture caractérisée par la même structure anisotrope mais présentant des exposants plus faibles. Utilisant enfin des outils théoriques issus de la physique statistique hors équilibre combinés avec la mécanique de la rupture, nous établissons le lien entre ces propriétés e! t les mécanismes généraux de rupture à l'échelle microscopique. Cette étude nous permet notamment d'associer les deux classes de surfaces de rupture à un processus de fissuration mettant en jeux de l'endommagement pour l'un et à une rupture parfaitement fragile pour l'autre.

Les marches aléatoires en milieu aléatoire ont suscité un vif intérêt au cours de ces dernières années, tant en sciences appliquées, comme moyen notamment d'affiner des modèles par une prise en compte des fluctuations de l'environnement, qu'en mathématiques, de par la multiplicité et la richesse des comportements qu'elles présentent. Cette thèse est dédiée à l'étude de divers aspects de la transience des marches aléatoires en milieu aléatoire. Elle est composée de deux parties, la première consacrée au cas des environnements de Dirichlet sur Z^d, la seconde au régime transient sous-diffusif sur Z. La loi de Dirichlet apparaît naturellement du fait de son lien avec les marches renforcées. Certaines de ses spécificités permettent de plus d'obtenir des résultats sensiblement plus précis qu'en général. On démontre ainsi tout d'abord une caractérisation de l'intégrabilité des temps de sortie de parties finies de graphes quelconques, qui permet de raffiner un critère de balisticité dans Z^d. On prouve également que les marches aléatoires en environnement de Dirichlet sont transientes directionnellement, avec probabilité positive, dès que les paramètres ne sont pas symétriques. En dimension 1, la thèse se focalise sur le rôle des vallées profondes de l'environnement, en fournissant une nouvelle preuve du théorème de Kesten-Kozlov-Spitzer dans le cas sous-diffusif basée sur l'étude fine du comportement de la marche. Outre une meilleure compréhension de l'émergence de la loi limite, cette preuve a l'avantage de fournir la valeur explicite de ses paramètres.

Cette étude s'inscrit dans le cadre du développement d'outils de simulation de latélémétrie qui est une technique possible pour la surveillance et le contrôle périodique desréacteurs nucléaires à neutrons rapides refroidis par du sodium liquide (RNR-Na).De manière générale, la télémétrie consiste à positionner au sein du réacteur untransducteur qui génère un faisceau ultrasonore. Ce faisceau se propage à travers un milieuinhomogène et aléatoire car le sodium liquide est le siège de fluctuations de température quiimpliquent une variation de la célérité des ondes ultrasonores, ce qui modifie la propagationdu faisceau. Ce dernier interagit ensuite avec une structure immergée dans le réacteur. Lamesure du temps de vol de l’écho reçu par le même transducteur permet de déterminer laposition précise de la structure. La simulation complète de la télémétrie nécessite donc lamodélisation à la fois de la propagation d’une onde acoustique en milieu inhomogènealéatoire et de l’interaction de cette onde avec des cibles de formes variées ; c'est l'objectif dece travail.Un modèle stochastique basé sur un algorithme de type Monte-Carlo est tout d'aborddéveloppé afin de simuler les perturbations aléatoires du champ de propagation. Le champacoustique en milieu inhomogène est finalement modélisé à partir du champ calculé dans unmilieu homogène moyen en modifiant les temps de parcours des rayons homogènes parincorporation d’une correction fournie par le modèle stochastique. Le modèle stochastiquede propagation ainsi développé a été validé par comparaison avec un modèle déterministe ets’avère nettement plus simple à mettre en oeuvre au sein de la plateforme logicielle desimulation en contrôle non destructif CIVA et moins couteux en temps de calcul que lemodèle déterministe.En vue de modéliser l’interaction onde acoustique/cible, des modèles classiques dediffraction ont été évalués dans le cadre de structures rigides, parmi lesquels la théoriegéométrique de la diffraction (GTD) et l’approximation de Kirchhoff (KA), ces deuxapproches apparaissant comme complémentaires. En les combinant de sorte à ne conserverque leurs avantages, nous avons développé un modèle hybride (KA raffiné) en utilisant uneprocédure similaire à la théorie physique de la diffraction (PTD). Le modèle KA raffinéfournit une amélioration de la prédiction en champ proche d’une cible rigide. Le modèle dediffraction KA initial (non raffiné) a été ensuite étendu pour traiter une cible réalisted’impédance finie. Le modèle KA « général » ainsi obtenu se révèle être une solutionsatisfaisante pour l’application à la télémétrie. Finalement, le couplage du modèlestochastique de propagation et du modèle de diffraction KA général nous a permis deconstruire un outil de simulation complète de la télémétrie en milieu inhomogène. / This study takes place in the framework of tools development for thetelemetry simulation. Telemetry is a possible technology applied to monitoring the sodiumcooledfast reactors (SFR) and consists in positioning in the reactor core a transducer togenerate an ultrasonic beam. This beam propagates through an inhomogeneous randommedium since temperature fluctuations occur in the liquid sodium and consequently thesound velocity fluctuates as well, which modifies the bream propagation. Then the beaminteracts with a reactor structure immersed in sodium. By measuring the time of flight of thebackscattered echo received by the same transducer, one can determine the preciselocation of the structure. The telemetry simulation therefore requires modeling of both theacoustic wave propagation in an inhomogeneous random medium and the interaction of thiswave with structures of various shapes; this is the objective of this work.A stochastic model based on a Monte Carlo algorithm is developed in order to take intoaccount the random fluctuations of the acoustic field. The acoustic field through aninhomogeneous random medium is finally modeled from the field calculated in a meanhomogeneous medium by modifying the travel times of rays in the homogeneous medium,using a correction provided by the stochastic model. This stochastic propagation model hasbeen validated by comparison with a deterministic model and is much simpler to integrate inthe CIVA software platform for non destructive evaluation simulation and less timeconsuming than the deterministic model.In order to model the interaction between the acoustic wave and the immersedstructures, classical diffraction models have been evaluated for rigid structures, including thegeometrical theory of diffraction (GTD) and the Kirchhoff approximation (KA). These twoapproaches appear to be complementary. Combining them so as to retain only theiradvantages, we have developed a hybrid model (the so-called refined KA) using a proceduresimilar to the physical theory of diffraction (PTD). The refined KA provides an improvementof the prediction in the near field of a rigid scatterer. The initial (non refined) KA model isthen extended to deal with the scattering from a finite impedance target. The obtainedmodel, the so-called “general” KA model, is a satisfactory solution for the application totelemetry. Finally, the coupling of the stochastic propagation model and the general KAdiffraction model has allowed us to build a complete simulation tool for the telemetry in aninhomogeneous medium.

Les marches aléatoires en milieux aléatoires constituent un modèle permettant de décrire des phénomènes de diffusion en milieux inhomogènes, possédant des propriétés de régularité à grande échelle. La thèse comportent 6 chapitres. Les trois premiers sont introductifs : le chapitre 1 est une courte introduction générale, le chapitre 2 donne une présentation des modèles considérés par la suite et le chapitre 3 un bref aperçu des résultats obtenus. Les preuves sont renvoyées aux chapitres 4, 5 et 6. Le contenu du chapitre 4 porte sur les théorèmes limites pour une marche aléatoire avec biais sur un arbre de Galton-Watson avec des feuilles dans un régime transient sous-balistique. Le chapitre 5 porte sur le comportement de la vitesse d'une marche aléatoire avec biais sur un amas de percolation quand le paramètre de percolation se rapproche de 1. Un développement asymptotique de la vitesse en fonction du paramètre de percolation est obtenu. On en déduit que la vitesse est croissante en $p=1$. Finalement le chapitre 6 porte sur des estimées de déviations modérées pour une marche aléatoire en milieu aléatoire unidimensionnel.

Une interface est une zone de l'espace qui sépare deux régions possédant des propriétés physiques différentes. La plupart des interfaces de la nature résultent d'un processus de croissance, mêlant une composante aléatoire et une dynamique déterministe régie par les symétries du problème. Le résultat du processus de croissance est un objet présentant des corrélations à longue portée. Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier la statistique d'extrême de différents types d'interfaces. Une première motivation est de raffiner la compréhension géométrique de tels objets, via leur maximum. Une seconde motivation s'inscrit dans la démarche plus générale de la statistique d'extrême de variables aléatoires fortement corrélées. A l'aide de méthodes analytiques d'intégrales de chemin nous analysons la distribution du maximum d'interfaces à l'équilibre, dont l'énergie es t purement élastique à courte portée. Nous attaquons ensuite le problème d'interfaces élastiques en milieu désordonné, principalement à l'aide de simulations numériques. Enfin nous étudierons une interface hors-équilibre dans son régime de croissance. L'équivalence de ce type d'interface avec le polymère dirigé en milieu aléatoire, un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés, donne une portée étendue aux résultats concernant la statistique du maximum de l'interface. Nous exposerons les résultats que nous avons obtenus sur un modèle de mouvements browniens qui ne se croisent pas, tout en explicitant le lien entre ce modèle, l'interface en croissance et le polymère dirigé.