Les marches aléatoires en milieu aléatoire ont suscité un vif intérêt au cours de ces dernières années, tant en sciences appliquées, comme moyen notamment d'affiner des modèles par une prise en compte des fluctuations de l'environnement, qu'en mathématiques, de par la multiplicité et la richesse des comportements qu'elles présentent. Cette thèse est dédiée à l'étude de divers aspects de la transience des marches aléatoires en milieu aléatoire. Elle est composée de deux parties, la première consacrée au cas des environnements de Dirichlet sur Z^d, la seconde au régime transient sous-diffusif sur Z. La loi de Dirichlet apparaît naturellement du fait de son lien avec les marches renforcées. Certaines de ses spécificités permettent de plus d'obtenir des résultats sensiblement plus précis qu'en général. On démontre ainsi tout d'abord une caractérisation de l'intégrabilité des temps de sortie de parties finies de graphes quelconques, qui permet de raffiner un critère de balisticité dans Z^d. On prouve également que les marches aléatoires en environnement de Dirichlet sont transientes directionnellement, avec probabilité positive, dès que les paramètres ne sont pas symétriques. En dimension 1, la thèse se focalise sur le rôle des vallées profondes de l'environnement, en fournissant une nouvelle preuve du théorème de Kesten-Kozlov-Spitzer dans le cas sous-diffusif basée sur l'étude fine du comportement de la marche. Outre une meilleure compréhension de l'émergence de la loi limite, cette preuve a l'avantage de fournir la valeur explicite de ses paramètres. / Random walks in random environment have raised a great interest in the last few years, both among applied scientists, notably as a way to refine models by taking fluctuations of the surrounding environment into account, and among mathematicians, because of the variety and wealth of behaviours they display. This thesis aims at the study of miscellaneous aspects of the transience of random walks in random environment. A first part is dedicated to Dirichlet environments on Z^d and a second one to the transient subdiffusive regime on Z. Random walks in Dirichlet environment arise naturally as an equivalent model for oriented-edge reinforced reinforced random walks. Its specificities also allow for sensibly sharper results than in the general case. We thus prove a characterization of the integrability of exit times out of finite subsets of arbitrary graphs, which enables us to refine a ballisticity criterion on Z^d. We also prove that these random walks are transient with positive probability as soon as the parameters are non-symmetric. In dimension 1, the thesis focuses on the role of the deep valleys of the environment. We give a new proof of Kesten-Kozlov-Spitzer theorem in the subdiffusive regime based on a fine study of the behaviour of the walk. Together with a better understanding of the origin of the limit law, this proof also provides its explicit parameters.

Dans cette thèse, on étudie un système de particules en interaction qui généralise un processus de contact, évoluant en environnement aléatoire. Le processus de contact peut être interprété comme un modèle de propagation d'une population ou d'une infection. La motivation de ce modèle provient de la biologie évolutive et de l'écologie comportementale via la technique du mâle stérile, il s'agit de contrôler une population d'insectes en y introduisant des individus stérilisés de la même espèce: la progéniture d'une femelle et d'un individu stérile n'atteignant pas de maturité sexuelle, la population se voit réduite jusqu'à potentiellement s'éteindre. Pour comprendre ce phénomène, on construit un modèle stochastique spatial sur un réseau dans lequel la population suit un processus de contact dont le taux de croissance est ralenti en présence d'individus stériles, qui forment un environnement aléatoire dynamique. Une première partie de ce document explore la construction et les propriétés du processus sur le réseau Z^d. On obtient des conditions de monotonie afin d'étudier la survie ou la mort du processus. On exhibe l'existence et l'unicité d'une transition de phase en fonction du taux d'introduction des individus stériles. D'autre part, lorsque d=1 et cette fois en fixant l'environnement aléatoire initialement, on exhibe de nouvelles conditions de survie et de mort du processus qui permettent d'expliciter des bornes numériques pour la transition de phase. Une seconde partie concerne le comportement macroscopique du processus en étudiant sa limite hydrodynamique lorsque l'évolution microscopique est plus complexe. On ajoute aux naissances et aux morts des déplacements de particules. Dans un premier temps sur le tore de dimension d, on obtient à la limite un système d'équations de réaction-diffusion. Dans un second temps, on étudie le système en volume infini sur Z^d, et en volume fini, dans un cylindre dont le bord est en contact avec des réservoirs stochastiques de densités différentes. Ceci modélise des phénomènes migratoires avec l'extérieur du domaine que l'on superpose à l'évolution. À la limite on obtient un système d'équations de réaction-diffusion, auquel s'ajoutent des conditions de Dirichlet aux bords en présence de réservoirs. / In this thesis, we study an interacting particle system that generalizes a contact process, evolving in a random environment. The contact process can be interpreted as a spread of a population or an infection. The motivation of this model arises from behavioural ecology and evolutionary biology via the sterile insect technique ; its aim is to control a population by releasing sterile individuals of the same species: the progeny of a female and a sterile male does not reach sexual maturity, so that the population is reduced or potentially dies out. To understand this phenomenon, we construct a stochastic spatial model on a lattice in which the evolution of the population is governed by a contact process whose growth rate is slowed down in presence of sterile individuals, shaping a dynamic random environment. A first part of this document investigates the construction and the properties of the process on the lattice Z^d. One obtains monotonicity conditions in order to study the survival or the extinction of the process. We exhibit the existence and uniqueness of a phase transition with respect to the release rate. On the other hand, when d=1 and now fixing initially the random environment, we get further survival and extinction conditions which yield explicit numerical bounds on the phase transition. A second part concerns the macroscopic behaviour of the process by studying its hydrodynamic limit when the microscopic evolution is more intricate. We add movements of particles to births and deaths. First on the d-dimensional torus, we derive a system of reaction-diffusion equations as a limit. Then, we study the system in infinite volume in Z^d, and in a bounded cylinder whose boundaries are in contact with stochastic reservoirs at different densities. As a limit, we obtain a non-linear system, with additionally Dirichlet boundary conditions in bounded domain.

Cette thèse porte sur le modèle d'Ising dilué, dans la région de transition de phase. Le modèle d'Ising est un modèle classique de la mécanique statistique ; il a la particularité de présenter deux phases distinctes à basse température, ce qui a motivé, entre autres, son utilisation pour l'étude rigoureuse de la coexistence de phases. Notre objectif était d'étendre la description du phénomène de coexistence de phases au cas du milieu aléatoire, c'est-à-dire au modèle d'Ising dilué, lorsque la température et la dilution sont suffisamment faibles pour que deux phases d'aimantation opposées apparaissent.<br /><br />La thèse comporte quatre chapitres. Dans un premier chapitre, nous adaptons les travaux de Pisztora au cas du milieu aléatoire et établissons une procédure de renormalisation compatible avec la dilution. Dans un second chapitre, nous étudions en détail la tension superficielle de ce modèle, pour la mesure de Gibbs correspondant à un milieu fixé, et pour la mesure moyennée. Nous caractérisons la limite à basse température de chacune de ces quantités et décrivons les formes des cristaux correspondants. Nous montrons que les déviations inférieures de la tension superficielle ont un coût surfacique et donnons une borne inférieure sur la fonction de taux à l'aide de méthodes de concentration de la mesure. Dans un troisième chapitre, nous décrivons le phénomène de coexistence de phases, sous la mesure Gibbs et sous la mesure moyennée. Dans un quatrième et dernier chapitre, nous concluons la thèse avec une application à la dynamique de Glauber, et montrons que l'autocorrélation décroît au plus vite comme une puissance inverse du temps.

L’objectif en arrière-plan est de montrer que plusieurs modèles de marches aléatoires en milieux aléatoires (MAMA) sont reliés à un modèle-jouet appelé le modèle de piège de Bouchaud. Le domaine des MAMA est très vaste, mais nous nous intéressons particulièrement à une classe de modèle où la marche est réversible et directionnellement transiente. En particulier, nous verrons pourquoi on pense que ces modèles se ressemblent et quel genre de similarités on s’attend à obtenir, une fois qu’on aura présenté le modèle de Bouchaud. Nous verrons aussi quelques techniques de base utilisés de ce domaine, telles que les temps de régénérations. Comme contribution, nous allons démontrer un théorème central limite pour la marche aléatoire β-biaisée sur un arbre de Galton-Watson. / This Master thesis is part of a larger project of linking the behaviours of a certain type of random walks in random environments (RWRE) with those of a toy model called the Bouchaud’s trap model. The domain of RWRE is very wide but our interest will be on a particular kind of models which are reversible and directionally transient. More specifically, we will see why those models have similar behaviours and what kind of results we could expect once we have reviewed the Bouchaud’s trap model. We will also present some basic technic used in this field, such as regeneration times. As a contribution, we will demonstrate a central limit theorem for the β-biased random walk on a Galton-Watson tree.

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Les propriétés de transport linéaire et certaines lois de comportement non linéaires des milieux désordonnés sont étudiées à la lumière de progrès récents de la physique statistique des milieux hétérogènes. Une emphase particulière est mise sur les situations où les approches d'homogénéisation sont inapplicables dans la mesure où le concept même de volume élémentaire représentatif est pris en défaut. Nous utilisons en revanche les notions de point critique, de lois d'échelle, d'exposant critique, de fractals, et de structures auto-affinés à propos de nombreux modèles introduits et discutés. Sont successivement considérés, la théorie de la percolation de connexité et de forces centrales, la théorie des chemins minimaux, et finalement certains modèles de rupture fragile de milieux inhomogènes. Dans tous ces cas, le rôle joué par le désordre tant géométrique que dans les propriétés des constituants élémentaires, est souligné. Une place importante est réservée à une revue de nombreux résultats publiés dans la littérature ainsi qu'à des simulations numériques les concernant.

Ces travaux de thèse expérimentaux portent sur la propagation linéaire et non linéaire d'ultrasons en milieux aléatoires fortement hétérogènes. En régime non linéaire, nous étudions la transmission cohérente d'une onde de choc à travers deux milieux aléatoires hétérogènes modèles : une forêt de tiges métalliques immergées dans l'eau, et un gel bulleux. L'expérience montre que les effets de la non linéarité et de la diffusion multiple y sont découplés. Nous exploitons alors l'étendue spectrale de l'onde de choc incidente, pour mesurer l'atténuation et la vitesse de groupe de l'onde cohérente, sur un large intervalle de fréquences. En comparant nos mesures à une théorie linéaire de la diffusion, incluant des corrélations de paires entre centres diffuseurs, nous étendons son domaine de validité, et nous montrons par la même qu'une onde de choc constitue un bon outil de spectroscopie des milieux fortement hétérogènes. À l'aide du même dispositif expérimental, nous observons pour la première fois une coda ultrasonore transmise par un milieu bulleux. Dans un régime de propagation linéaire, nous exploitons la coda engendrée par la diffusion multiple pour mesurer les paramètres de transport des forêts de tiges métalliques immergées. Nous présentons des mesures impulsionnelles et résolues en fréquence de la constante de diffusion des ultrasons dans ces milieux. Ces dernières montrent tout l'intérêt d'étudier la coda, qui fournit des mesures mieux résolues que l'onde cohérente. Enfin, nous présentons les premières mesures résolues en fréquence de la vitesse de transport pour ces milieux modèles. Avec ces mesures, nous disposons maintenant d'un milieu hétérogène synthétique parfaitement caractérisé en régime linéaire.

Introduit dans les années 1960, le modèle de la marche aléatoire en milieu aléatoire i.i.d. sur les entiers relatifs (ou MAMA) a récemment été l'objet d'un regain d'intérêt dans la communauté statistique.Divers travaux se sont en particulier intéressés à la question de l'estimation de la loi du milieu à partir de l'observation d'une unique trajectoire de la MAMA.Cette thèse s'inscrit dans cette dynamique.Dans un premier temps, nous considérons le problème d'estimation d'un point de vue fréquentiste. Lorsque la MAMA est transiente à droite ou récurrente, nous construisons le premier estimateur non paramétrique de la densité de la loi du milieu et obtenons une majoration du risque associé mesuré en norme infinie.Dans un deuxième temps, nous envisageons le problème d'estimation sous un angle Bayésien. Lorsque la MAMA est transiente à droite, nous démontrons la consistance à posteriori de l'estimateur Bayésien de la loi du milieu.La principale difficulté mathématique de la thèse a été l'élaboration des outils nécessaires à la preuve du résultat de consistance bayésienne.Nous démontrons pour cela une version quantitative de l'inégalité de concentration de type Mac Diarmid pour chaînes de Markov.Nous étudions également le temps de retour en 0 d'un processus de branchement en milieu aléatoire avec immigration. Nous montrons l'existence d'un moment exponentiel fini uniformément valable sur une classe de processus de branchement en milieu aléatoire. Le processus de branchement en milieu aléatoire constituant une chaîne de Markov, ce résultat permet alors d'expliciter la dépendance des constantes de l'inégalité de concentration en fonction des caractéristiques de ce processus. / Introduced in the 1960s, the model of random walk in i.i.d. environment on integers (or RWRE) raised only recently interest in the statistical community. Various works have in particular focused on the estimation of the environment distribution from a single trajectory of the RWRE.This thesis extends the advances made in those works and offers new approaches to the problem.First, we consider the estimation problem from a frequentist point of view. When the RWRE is transient to the right or recurrent, we build the first non-parametric estimator of the density of the environment distribution and obtain an upper-bound of the associated risk in infinite norm.Then, we consider the estimation problem from a Bayesian perspective. When the RWRE is transient to the right, we prove the posterior consistency of the Bayesian estimator of the environment distribution.The main difficulty of the thesis was to develop the tools necessary to the proof of Bayesian consistency.For this purpose, we demonstrate a quantitative version of a Mac Diarmid's type concentration inequality for Markov chains.We also study the return time to 0 of a branching process with immigration in random environment (or BPIRE). We show the existence of a finite exponential moment uniformly valid on a class of BPIRE. The BPIRE being a Markov chain, this result enables then to make explicit the dependence of the constants of the concentration inequality with respect to the characteristics of the BPIRE.

Cette thèse est consacrée à l'étude expérimentale d'atomes piégés<br />et refroidis dans plusieurs types de structures lumineuses. Nous avons utilisé pour caractériser ces milieux des techniques de temps de vol, d'imagerie directe du nuage atomique et de spectroscopie pompe-sonde, afin d'obtenir des informations sur la température et la diffusion spatiale des atomes ainsi que sur leur mouvement dans les puits de potentiel.<br /><br />Nous avons d'abord étudié la dynamique d'atomes de césium dans des<br />réseaux optiques tri-dimensionnels brillants en présence d'un champ<br />magnétique, et nous avons en particulier montré que les réseaux optiques fonctionnant en régime sautant donnent lieu à un refroidissement et un piégeage efficaces, et qu'un mécanisme de rétrécissement par le mouvement y conduit à des raies vibrationnelles étroites sur les spectres de transmission pompe-sonde. Avec des atomes de césium, nous avons également créé et<br />caractérisé un réseau optique tri-dimensionnel brillant obtenu avec<br />seulement deux faisceaux laser grâce à l'effet Talbot, puis un milieu aléatoire engendré à partir d'un champ de tavelures.<br /><br />Enfin, nous avons étudié un ``moteur brownien'' pour des atomes de $^(87)$Rb dans un réseau gris asymétrique. Les résultats de l'étude<br />expérimentale sont en bon accord qualitatif avec des simulations numériques Monte-Carlo semi-classiques.

Cette thèse contient quatre contributions indépendantes a la mécanique aléatoire: 1) une contribution aux suites à discrépance faible afin d'accélérer la convergence des algorithmes de type Monte-Carlo ; 2) l'homogénéisation des matériaux élastiques à microstructure aléatoire : on définit rigoureusement les tenseurs élastiques macroscopiques, on donne une méthode de simulation pour les calculer, enfin cette méthode est mise en oeuvre sur un matériau fictif ; 3) la fatigue à grand nombre de cycles des métaux polycristallins : on établit un nouveau critère d'endurance pour tous les chargements périodiques ; ce critère est susceptible de modéliser l'aspect aléatoire de la rupture ; 4) l'analyse de la simulation en calcul a 1 rupture probabiliste des structures discrètes : on montre notamment que l'approche par les vitesses est adaptée quand on a à effectuer une simulation et que l'algorithme du simplexe peut être utilisé.