Les marches aléatoires en milieu aléatoire ont suscité un vif intérêt au cours de ces dernières années, tant en sciences appliquées, comme moyen notamment d'affiner des modèles par une prise en compte des fluctuations de l'environnement, qu'en mathématiques, de par la multiplicité et la richesse des comportements qu'elles présentent. Cette thèse est dédiée à l'étude de divers aspects de la transience des marches aléatoires en milieu aléatoire. Elle est composée de deux parties, la première consacrée au cas des environnements de Dirichlet sur Z^d, la seconde au régime transient sous-diffusif sur Z. La loi de Dirichlet apparaît naturellement du fait de son lien avec les marches renforcées. Certaines de ses spécificités permettent de plus d'obtenir des résultats sensiblement plus précis qu'en général. On démontre ainsi tout d'abord une caractérisation de l'intégrabilité des temps de sortie de parties finies de graphes quelconques, qui permet de raffiner un critère de balisticité dans Z^d. On prouve également que les marches aléatoires en environnement de Dirichlet sont transientes directionnellement, avec probabilité positive, dès que les paramètres ne sont pas symétriques. En dimension 1, la thèse se focalise sur le rôle des vallées profondes de l'environnement, en fournissant une nouvelle preuve du théorème de Kesten-Kozlov-Spitzer dans le cas sous-diffusif basée sur l'étude fine du comportement de la marche. Outre une meilleure compréhension de l'émergence de la loi limite, cette preuve a l'avantage de fournir la valeur explicite de ses paramètres.

Cette thèse est dédiée à l'étude des marches aléatoires en milieu aléatoire sur Zd. On s'intéresse tout particulièrement aux environnements qui sont elliptiques, mais pas uniformément elliptiques, et qui peuvent donc contenir des pièges sur lesquels la marche passe beaucoup de temps. Le premier résultat de cette thèse (chapitre 4) concerne les environnements de Dirichlet, qui forment une sous-classe de marches aléatoires en milieu aléatoire présentant des propriétés remarquables. On se place en dimension d≥ 3 et on étudie le cas où les pièges dus à la non-uniforme ellipticité sont prépondérants. Dans ce contexte, on montre l'équivalence des points de vue statique et dynamique pour une marche accélérée. Ceci permet de compléter les résultats de transience et récurrence directionnelles obtenus par Sabot, et de donner le degré polynomial de l'éloignement de la marche par rapport à l'origine dans le cas sous-balistique et transient. On se place ensuite (chapitre 5) dans le cas des marches transientes dans une direction, et on étudie les conditions sur la loi de l'environnement nécessaires pour assurer l'existence de moments pour les temps de renouvellement. On améliore ainsi les résultats obtenus par Campos et Ramírez. Dans la dernière partie (chapitre 6), on étudie les conditions d'application du théorème central limite quenched dans le cas des marches aléatoires balistiques. Sous la condition supplémentaire (T), on affaiblit les hypothèses sur l'intégrabilité des temps de renouvellement des travaux de Rassoul-Agha et Seppäläinen et de Berger et Zeitouni : on arrive à la condition E (τ12+ε) < +∞ (pour le théorème annealed la condition optimale est E (τ12) < +∞)

Cette thèse est dédiée à l'étude des marches aléatoires en milieu aléatoire sur Zd. On s'intéresse tout particulièrement aux environnements qui sont elliptiques, mais pas uniformément elliptiques, et qui peuvent donc contenir des pièges sur lesquels la marche passe beaucoup de temps. Le premier résultat de cette thèse (chapitre 4) concerne les environnements de Dirichlet, qui forment une sous-classe de marches aléatoires en milieu aléatoire présentant des propriétés remarquables. On se place en dimension d≥ 3 et on étudie le cas où les pièges dus à la non-uniforme ellipticité sont prépondérants. Dans ce contexte, on montre l'équivalence des points de vue statique et dynamique pour une marche accélérée. Ceci permet de compléter les résultats de transience et récurrence directionnelles obtenus par Sabot, et de donner le degré polynomial de l'éloignement de la marche par rapport à l'origine dans le cas sous-balistique et transient. On se place ensuite (chapitre 5) dans le cas des marches transientes dans une direction, et on étudie les conditions sur la loi de l'environnement nécessaires pour assurer l'existence de moments pour les temps de renouvellement. On améliore ainsi les résultats obtenus par Campos et Ramírez. Dans la dernière partie (chapitre 6), on étudie les conditions d'application du théorème central limite quenched dans le cas des marches aléatoires balistiques. Sous la condition supplémentaire (T), on affaiblit les hypothèses sur l'intégrabilité des temps de renouvellement des travaux de Rassoul-Agha et Seppäläinen et de Berger et Zeitouni : on arrive à la condition E (τ12+ε) < +∞ (pour le théorème annealed la condition optimale est E (τ12) < +∞) / In this thesis we study random walks in random environment on Zd. We are particularly interested in environments that are elliptic, but not uniformly elliptic. Those environments can contain traps on which the walk spends a lot of time. The first results in this thesis (chapter 4) deal with the particular case of Dirichlet environments. Random walks in Dirichlet environment form a sub-class of random walks in random environment with specific properties. We consider dimensions d 3 and we study the behavior of the walk when the traps created by the non-uniform ellipticity play an important part. In this context, we show the equivalence between the static and dynamic points of view for an accelerated walk. This completes the results of directional transience and recurrence obtained by Sabot, and it allows to find the polynomial order of the magnitude of the walk’s displacement in the sub-ballistic transient case. Then (chapter 5) we consider the case of directionally transient walks, and we study the conditions on the law of the environment that ensure the existence of moments for the regeneration times. We thus improve the results obtained by Campos and Ramírez. In the last section (chapter 6), we consider the case of ballistic random walks and we study the conditions under which a quenched central limit theorem holds. Under the additional assumption (T), we weaken the integrability of the regeneration times necessary for the works of Rassoul- Agha and Seppäläinen, and Berger and Zeitouni. We obtain the condition E (τ12+ε) < +∞ (whereas for the annealed theorem, the optimal condition is E (τ12) < +∞)

Les marches aléatoires en milieu aléatoire ont suscité un vif intérêt au cours de ces dernières années, tant en sciences appliquées, comme moyen notamment d'affiner des modèles par une prise en compte des fluctuations de l'environnement, qu'en mathématiques, de par la multiplicité et la richesse des comportements qu'elles présentent. Cette thèse est dédiée à l'étude de divers aspects de la transience des marches aléatoires en milieu aléatoire. Elle est composée de deux parties, la première consacrée au cas des environnements de Dirichlet sur Z^d, la seconde au régime transient sous-diffusif sur Z. La loi de Dirichlet apparaît naturellement du fait de son lien avec les marches renforcées. Certaines de ses spécificités permettent de plus d'obtenir des résultats sensiblement plus précis qu'en général. On démontre ainsi tout d'abord une caractérisation de l'intégrabilité des temps de sortie de parties finies de graphes quelconques, qui permet de raffiner un critère de balisticité dans Z^d. On prouve également que les marches aléatoires en environnement de Dirichlet sont transientes directionnellement, avec probabilité positive, dès que les paramètres ne sont pas symétriques. En dimension 1, la thèse se focalise sur le rôle des vallées profondes de l'environnement, en fournissant une nouvelle preuve du théorème de Kesten-Kozlov-Spitzer dans le cas sous-diffusif basée sur l'étude fine du comportement de la marche. Outre une meilleure compréhension de l'émergence de la loi limite, cette preuve a l'avantage de fournir la valeur explicite de ses paramètres. / Random walks in random environment have raised a great interest in the last few years, both among applied scientists, notably as a way to refine models by taking fluctuations of the surrounding environment into account, and among mathematicians, because of the variety and wealth of behaviours they display. This thesis aims at the study of miscellaneous aspects of the transience of random walks in random environment. A first part is dedicated to Dirichlet environments on Z^d and a second one to the transient subdiffusive regime on Z. Random walks in Dirichlet environment arise naturally as an equivalent model for oriented-edge reinforced reinforced random walks. Its specificities also allow for sensibly sharper results than in the general case. We thus prove a characterization of the integrability of exit times out of finite subsets of arbitrary graphs, which enables us to refine a ballisticity criterion on Z^d. We also prove that these random walks are transient with positive probability as soon as the parameters are non-symmetric. In dimension 1, the thesis focuses on the role of the deep valleys of the environment. We give a new proof of Kesten-Kozlov-Spitzer theorem in the subdiffusive regime based on a fine study of the behaviour of the walk. Together with a better understanding of the origin of the limit law, this proof also provides its explicit parameters.