Cette thèse vise à approfondir les analogies entre les valeurs propres de matrices aléatoires sur les groupes compacts et les zéros de fonctions L, en particulier la fonction zêta.

A definir / A definir

Il est bien connu que divers solides amorphes ont de nombreuses propriétés universelles. L'une d'entre elles est la variation de la conductivité thermique en fonction de la température. Cependant, le mécanisme microscopique du transfert de chaleur dans le domaine de température supérieure à 20 K est encore mal compris. Simulations numériques récentes du silicium et de la silice amorphes montrent que les modes de vibration dans la gamme de fréquences correspondante (au-dessus de plusieurs THz) sont délocalisés. En même temps ils sont complètement différents des phonons acoustiques de basse fréquence, dits « diffusions ».Dans ce travail, nous présentons un modèle stable de matrice aléatoire d'un solide amorphe. Dans ce modèle, on peut faire varier le degré de désordre allant du cristal parfait jusqu'au milieu mou extrêmement désordonné sans rigidité macroscopique. Nous montrons que les solides amorphes réels sont proches du deuxième cas limite, et que les diffusions occupent la partie dominante du spectre de vibration. La fréquence de transition entre les phonons acoustiques et diffusons est déterminée par le critère Ioffe-Regel. Fait intéressant, cette fréquence de transition coïncide pratiquement avec la position du pic Boson. Nous montrons également que la diffusivité et la densité d'états de vibration de diffusons sont pratiquement constantes en fonction de la fréquence. Par conséquent, la conductivité thermique est une fonction linéaire de la température dans le domaine allant à des températures relativement élevées, puis elle sature. Cette conclusion est en accord avec de nombreuses données expérimentales. En outre, nous considérons un modèle numérique de matériaux de type de silicium amorphe et étudions le rôle du désordre pour les vibrations longitudinales et transverses. Nous montrons aussi que la théorie des matrices aléatoires peut être appliquée avec succès pour estimer la densité d'états vibrationnels des systèmes granulaires bloqués. / It is well known that various amorphous solids have many universal properties. One of them is the temperature dependence of the thermal conductivity. However, the microscopic mechanism of the heat transfer above 20 K is still poorly understood. Recent numerical simulations of amorphous silicon and silica show that vibrational modes in the corresponding frequency range (above several THz) are delocalized, however they are completely different from low-frequency acoustic phonons, called “diffusons”.In this work we present a stable random matrix model of an amorphous solid. In this model one can vary the strength of disorder going from a perfect crystal to extremely disordered soft medium without macroscopic rigidity. We show that real amorphous solids are close to the second limiting case, and that diffusons occupy the dominant part of the vibrational spectrum. The crossover frequency between acoustic phonons and diffusons is determined by the Ioffe-Regel criterion. Interestingly, this crossover frequency practically coincides with the Boson peak position. We also show that, as a function of frequency, the diffusivity and the vibrational density of states of diffusons are practically constant. As a result, the thermal conductivity is a linear function of temperature up to rather high temperatures and then saturates. This conclusion is in agreement with numerous experimental data.Further, we consider a numerical model of amorphous silicon-like materials and investigate the role of disorder for longitudinal and transverse vibrations. We also show that the random matrix theory can be successfully applied to estimate the vibrational density of states of granular jammed systems.

Les modèles de matrices aléatoires, d'abord introduits en physique pour décrire les statistiques de niveaux d'énergie en physique nucléaire, ont par la suite trouvé des applications dans des domaines extrêmement variés, du chaos quantique et de la physique mésoscopique, à la chromodynamique quantique, la théorie des cordes et la gravité quantique via les modèles de surfaces aléatoires. Bien que certains modèles de matrices soient bien compris, il s'agit principalement des cas particuliers de matrices couplées en chaîne, correspondant à des théories de gravité quantique ou des théories des cordes de charge centrale conforme inférieure ou égale à un. Ainsi, tout un pan des modèles de matrices aléatoires, les modèles de matrices de charge centrale c>1, nous échappe. J'ai cherché, au cours de mon travail de thèse, à mieux comprendre et à résoudre ces modèles. La méthode de groupe de renormalisation nous a permis, par l'étude de l'évolution des flots en fonction de la charge centrale conforme, de mieux comprendre le lien entre celle-ci et le comportement des modèles de matrices [G. Bonnet, F. David, Nucl. Phys. B552 (1999) 511-528, hep-th/9811216]. Par la méthode des équations de boucles, nous avons résolu [G. Bonnet, Phys. Lett. B 459 (1999) 575, hep-th/9904058; B. Eynard, G. Bonnet Phys. Lett. B 453 (1999) 273, hep-th/9906130] des modèles de matrices couplées deux à deux : les modèles de Potts-q sur réseau aléatoire. Cette résolution ouvre la voie à celle d'une classe de modèles plus vaste que les simples modèles de matrices couplées en chaîne. Enfin, bien que dans notre étude nous nous soyons intéressés principalement à la limite planaire, où la taille N des matrices tend vers l'infini, nous avons aussi étudié l'effet, sous-dominant dans la fonction de partition du modèle, de la discrétisation des valeurs propres. Nous avons montré [G. Bonnet, F. David, B. Eynard, cond-mat/0003324] que, dans le cas d'un modèle où le support des valeurs propres est non-connexe, il n'y a pas de développement topologique en puissances de N. L'influence de la discrétisation des valeurs propres devient alors d'ordre dominant dans les fonctions de corrélation à deux points ou au-delà. Nous allons commencer ici par la signification physique des modèles de matrices, puis nous parlerons des techniques classiques de résolution, enfin, nous décrirons les résultats que nous avons obtenus au cours de cette thèse.

Dans ce texte est présentée une sélection des travaux de l'auteur, portant, par exemple, sur la convolution libre rectangulaire, la transition de phase BBP, l'infinie divisibilité libre, les vecteurs propres de matrices de Wigner, etc...

Dans cette thèse, on aborde trois thèmes : problème de sélection de colonnes dans une matrice, distance de Banach-Mazur au cube et estimation de la covariance de matrices aléatoires. Bien que les trois thèmes paraissent éloignés, les techniques utilisées se ressemblent tout au long de la thèse. Dans un premier lieu, nous généralisons le principe d'invertibilité restreinte de Bourgain-Tzafriri. Ce résultat permet d'extraire un "grand" bloc de colonnes linéairement indépendantes dans une matrice et d'estimer la plus petite valeur singulière de la matrice extraite. Nous proposons ensuite un algorithme déterministe pour extraire d'une matrice un bloc presque isométrique c'est à dire une sous-matrice dont les valeurs singulières sont proches de 1. Ce résultat nous permet de retrouver le meilleur résultat connu sur la célèbre conjecture de Kadison-Singer. Des applications à la théorie locale des espaces de Banach ainsi qu'à l'analyse harmonique sont déduites. Nous donnons une estimation de la distance de Banach-Mazur d'un corps convexe de Rn au cube de dimension n. Nous proposons une démarche plus élémentaire, basée sur le principe d'invertibilité restreinte, pour améliorer et simplifier les résultats précédents concernant ce problème. Plusieurs travaux ont été consacrés pour approcher la matrice de covariance d'un vecteur aléatoire par la matrice de covariance empirique. Nous étendons ce problème à un cadre matriciel et on répond à la question. Notre résultat peut être interprété comme une quantification de la loi des grands nombres pour des matrices aléatoires symétriques semi-définies positives. L'estimation obtenue s'applique à une large classe de matrices aléatoires

Dans cette thèse, on aborde trois thèmes : problème de sélection de colonnes dans une matrice, distance de Banach-Mazur au cube et estimation de la covariance de matrices aléatoires. Bien que les trois thèmes paraissent éloignés, les techniques utilisées se ressemblent tout au long de la thèse. Dans un premier lieu, nous généralisons le principe d'invertibilité restreinte de Bourgain-Tzafriri. Ce résultat permet d'extraire un "grand" bloc de colonnes linéairement indépendantes dans une matrice et d'estimer la plus petite valeur singulière de la matrice extraite. Nous proposons ensuite un algorithme déterministe pour extraire d'une matrice un bloc presque isométrique c’est à dire une sous-matrice dont les valeurs singulières sont proches de 1. Ce résultat nous permet de retrouver le meilleur résultat connu sur la célèbre conjecture de Kadison-Singer. Des applications à la théorie locale des espaces de Banach ainsi qu'à l'analyse harmonique sont déduites. Nous donnons une estimation de la distance de Banach-Mazur d'un corps convexe de Rn au cube de dimension n. Nous proposons une démarche plus élémentaire, basée sur le principe d'invertibilité restreinte, pour améliorer et simplifier les résultats précédents concernant ce problème. Plusieurs travaux ont été consacrés pour approcher la matrice de covariance d'un vecteur aléatoire par la matrice de covariance empirique. Nous étendons ce problème à un cadre matriciel et on répond à la question. Notre résultat peut être interprété comme une quantification de la loi des grands nombres pour des matrices aléatoires symétriques semi-définies positives. L'estimation obtenue s'applique à une large classe de matrices aléatoires / In this thesis, we address three themes : columns subset selection in a matrix, the Banach-Mazur distance to the cube and the estimation of the covariance of random matrices. Although the three themes seem distant, the techniques used are similar throughout the thesis. In the first place, we generalize the restricted invertibility principle of Bougain-Tzafriri. This result allows us to extract a "large" block of linearly independent columns inside a matrix and estimate the smallest singular value of the restricted matrix. We also propose a deterministic algorithm in order to extract an almost isometric block inside a matrix i.e a submatrix whose singular values are close to 1. This result allows us to recover the best known result on the Kadison-Singer conjecture. Applications to the local theory of Banach spaces as well as to harmonic analysis are deduced. We give an estimate of the Banach-Mazur distance between a symmetric convex body in Rn and the cube of dimension n. We propose an elementary approach, based on the restricted invertibility principle, in order to improve and simplify the previous results dealing with this problem. Several studies have been devoted to approximate the covariance matrix of a random vector by its sample covariance matrix. We extend this problem to a matrix setting and we answer the question. Our result can be interpreted as a quantified law of large numbers for positive semidefinite random matrices. The estimate we obtain, applies to a large class of random matrices

Depuis une quinzaine d'années de nombreux travaux s'attachent à utiliser les systèmes MIMO afin d'augmenter la capacité de Shannon associée aux traditionnels systèmes SISO. Dans ce but, un problème crucial consiste en la conception de l'émetteur optimal au sens de la capacité de Shannon. Cette problématique a fait l'objet de nombreuses études dans le cas où le canal de transmission MIMO est non sélectif en fréquence ; elle est cependant nettement moins mature dans le cadre d'un canal MIMO sélectif en fréquence. Cette thèse s'intéresse ainsi dans une première partie à l'optimisation, au sens de la capacité ergodique, de la covariance du vecteur transmis, via la théorie des matrices aléatoires. L'utilisation de plusieurs antennes d'émission permet également d'augmenter les performances en réception grâce à la diversité induite. Dans une seconde partie, nous nous intéressons ainsi à la diversité liée aux récepteurs MMSE. A l'inverse des récepteurs ML ces récepteur sont sous-optimaux mais très simples à mettre en oeuvre. Dans un premier temps nous étudions la diversité de tels récepteurs à haut SNR pour des canaux sélectifs en fréquence, tandis que nous nous attardons dans un second temps sur un facteur de diversité, l'utilisation des codes spatio-temporels en bloc, plus spécifiquement l'utilisation du code d'Alamouti. Ainsi, nous proposons et analysons en contexte multi-utilisateur un nouveau récepteur MMSE robuste aux interférences car exploitant au mieux les degrés de liberté du canal / For fifteen years many studies have used MIMO systems to increase the Shannon capacity of the traditional SISO systems. To this end, a crucial problem is the design of transmitters which are optimal w.r.t. Shannon capacity, by the use of space-time codes or of prior knowledge on the transmission channel. These problems have been addressed by many studies in the case of frequency flat MIMO channels but are really less mature for frequency selective MIMO channels. This thesis focuses in the first part on the optimization, w.r.t. the ergodic capacity, of the covariance of the vector transmitted, via the Random Matrix Theory. Using multiple transmit antennas also gives rise to diversity, which improves the receiving performance. In the second part, we thus focus on the diversity, in the specific case of a MMSE receiver. Unlike the ML receiver, this receiver is suboptimal but very simple to implement. We first study the diversity at high SNR for frequency selective channels. We then focus on a diversity factor, the use of space-time codes in block (STBC), specifically the use of the Alamouti code. Thus, we propose and analyze in the multiuser context a new MMSE receiver robust to interference thanks to its ability to use optimally the degrees of freedom available in the channel

Cette thèse présente une étude des propriétés de la lumière émise par des diffuseurs atomiques distribués aléatoirement dans l'espace euclidien, et interagissant avec le champ électromagnétique. Dans ce cadre, une théorie ab initio des lasers aléatoires est formulée en terme des propriétés statistiques de la `matrice de Green'. Cette dernière appartient à la famille des matrices aléatoires euclidiennes (MAE) pour lesquelles nous développons une théorie analytique donnant notamment accès à la distribution de probabilité de leurs valeurs propres. Dans un premier temps, nous démontrons les équations quantiques microscopiques régissant la dynamique du champ électrique ainsi que celle des opérateurs atomiques, et explicitons comment la matrice de Green (dont les éléments sont égaux à la fonction de Green de l'équation de Helmholtz évaluée entre les différentes paires d'atomes constituant le milieu) émerge naturellement du formalisme quantique. Nous exprimons à la fois l'intensité et le spectre de la lumière en termes des propriétés de la matrice de Green, caractérisons les forces de Langevin quantiques, et montrons de quelle manière le seuil semi-classique d'un laser aléatoire est affecté par la prise en considération des fluctuations quantiques (chapitres 2 et 3). Une description mésoscopique et semi-classique de la lumière diffusée par un grand nombre d'atomes soumis à une pompe externe et distribués aléatoirement dans l'espace libre est présentée dans le quatrième chapitre. Après avoir établi une condition de seuil laser universelle, valide quelle que soit la configuration des atomes, nous démontrons une équation de transport obéie par l'intensité moyenne en présence de gain, discutons différentes approximations de cette dernière (équation de Bethe-Salpeter, équation de Boltzmann, équation de diffusion), établissons un `mapping' avec les MAE, et analysons la condition de seuil laser déduite de l'équation de transport. Poussés par la volonté de caractériser analytiquement les propriétés statistiques de la matrice de Green, nous développons dans les chapitres 5 et 6 une théorie générale des MAE, hermitiennes et non hermitiennes, valide dans la limite de grande taille matricielle. Nous obtenons des équations couplées pour la résolvante et le corrélateur des vecteur propres d'une MAE arbitraire, puis testons la validité de nos résultats sur trois matrices jouant un rôle important dans l'étude de la propagation des ondes en milieux désordonnés: la matrice de Green dans l'espace tridimensionnel, sa partie imaginaire, et sa partie réelle. D'un point de vue physique, nous sommes capables de décrire analytiquement avec une bonne précision la distribution de probabilité des taux d'émission lumineux dus à un grand nombre d'atomes, ainsi que celle du déplacement lumineux collectif dû à l'interaction lumière-matière. Par ailleurs, nous proposons d'utiliser la distribution des valeurs propres de la matrice de Green non hermitienne comme une carte unique sur laquelle peuvent s'identifier différents régimes de désordre (balistique, diffusif, localisé, milieu effectif, superradiance). Finalement, nous combinons les équations microscopiques de l'interaction lumière-matière avec nos résultats relatifs aux MAE non-hermitiennes afin de caractériser dans le détail le comportement des lasers aléatoires. Le seuil laser ainsi que l'intensité au delà du seuil sont calculés analytiquement dans l'approximation semi-classique, et le spectre de la lumière sous le seuil est évalué en prenant en compte les effets quantiques. Notre théorie s'applique aussi bien à basse densité qu'à haute densité de diffuseurs atomiques. / This thesis is devoted to the study of the properties of light emitted by a collection of atomic scatterers distributed at random positions in Euclidean space and interacting with the electromagnetic field. In this respect, an ab initio analytic theory of random lasing is formulated in terms of the statistical properties of the so-called `Green's matrix'. The latter belongs to the family of Euclidean random matrices (ERM's), for which we develop an analytic theory giving access to their eigenvalue distribution. First, we derive quantum microscopic equations for the electric field and atomic operators, and show how the non-Hermitian Green's matrix (a matrix with elements equal to the Green's function of the Hemholtz equation between pairs of atoms in the system) emerges in the quantum formalism. We provide expressions for the intensity and the spectrum of light in terms of the properties of the Green's matrix, characterize quantum Langevin forces, and reveal how the semiclassical random laser threshold is washed out by quantum fluctuations (chapters 2 and 3). A mesoscopic and semiclassical description of light scattered by an arbitrary large number of pumped atoms randomly distributed in free space is the subject of chapter 4. After deriving a universal lasing threshold condition valid for any configuration of atoms, we provide a microscopic derivation of transport equation in the presence of gain, discuss various approximations of the latter (Bethe-Salpeter, Boltzmann, diffusion equations), reveal a mapping to ERM's, and analyze the lasing threshold condition inferred from the transport equation. Facing the problem of characterizing analytically the statistical properties of the Green's matrix, we develop in chapters 5 and 6 a theory for Hermitian and non-Hermitian ERM's in the limit of large matrix size. We obtain self-consistent equations for the resolvent and the eigenvector correlator of arbitrary ERM and apply our results to three different ERM's relevant to wave propagation in random media: the three-dimensionnal Green's matrix, its imaginary part and its real part. From a physical point of view, we are able to describe analytically with a fair precision the full probability distribution of decay rates of light emitted by a large number of atoms, as well as of the collective frequency shift induced by the light-matter interaction. In addition, we promote the idea that the eigenvalue distribution of the Green's matrix can serve as a map on which signatures of various regimes of disorder can be distinguished (ballistic, diffusive, localized, effective medium, and superradiance regimes). Finally, we combine microscopic equations of motion of light-matter interaction with our results for non-Hermitian ERM's to tackle the problem of random lasing. Lasing threshold and the intensity of laser emission are calculated analytically in the semiclassical approximation, and the spectrum of light below threshold is computed by taking into account quantum effects. Our theory applies all the way from low to high density of atoms.

Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ''vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne).