L'objet de cette thèse est l'étude de problèmes faisant intervenir les extrema du mouvement brownien en dimension 1 et 2. En dimension 1, y sont obtenues, en particulier, les distributions jointes du maximum et du temps d'atteinte de ce maximum pour n mouvements browniens indépendants sur un intervalle de temps fixé. En dimension 2, à l'aide des résultats en dimension 1, sont obtenues les valeurs moyennes du périmètre et de l'aire de l'enveloppe convexe de n chemins browniens indépendants, ouverts ou fermés. Quelques applications de ces résultats théoriques sont également présentées.

Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ''vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne).

Une interface est une zone de l'espace qui sépare deux régions possédant des propriétés physiques différentes. La plupart des interfaces de la nature résultent d'un processus de croissance, mêlant une composante aléatoire et une dynamique déterministe régie par les symétries du problème. Le résultat du processus de croissance est un objet présentant des corrélations à longue portée. Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier la statistique d'extrême de différents types d'interfaces. Une première motivation est de raffiner la compréhension géométrique de tels objets, via leur maximum. Une seconde motivation s'inscrit dans la démarche plus générale de la statistique d'extrême de variables aléatoires fortement corrélées. A l'aide de méthodes analytiques d'intégrales de chemin nous analysons la distribution du maximum d'interfaces à l'équilibre, dont l'énergie es t purement élastique à courte portée. Nous attaquons ensuite le problème d'interfaces élastiques en milieu désordonné, principalement à l'aide de simulations numériques. Enfin nous étudierons une interface hors-équilibre dans son régime de croissance. L'équivalence de ce type d'interface avec le polymère dirigé en milieu aléatoire, un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés, donne une portée étendue aux résultats concernant la statistique du maximum de l'interface. Nous exposerons les résultats que nous avons obtenus sur un modèle de mouvements browniens qui ne se croisent pas, tout en explicitant le lien entre ce modèle, l'interface en croissance et le polymère dirigé.

Une interface est une zone de l'espace qui sépare deux régions possédant des propriétés physiques différentes. La plupart des interfaces de la nature résultent d'un processus de croissance, mêlant une composante aléatoire et une dynamique déterministe régie par les symétries du problème. Le résultat du processus de croissance est un objet présentant des corrélations à longue portée. Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier la statistique d'extrême de différents types d'interfaces. Une première motivation est de raffiner la compréhension géométrique de tels objets, via leur maximum. Une seconde motivation s'inscrit dans la démarche plus générale de la statistique d'extrême de variables aléatoires fortement corrélées. A l'aide de méthodes analytiques d'intégrales de chemin nous analysons la distribution du maximum d'interfaces à l'équilibre, dont l'énergie es t purement élastique à courte portée. Nous attaquons ensuite le problème d'interfaces élastiques en milieu désordonné, principalement à l'aide de simulations numériques. Enfin nous étudierons une interface hors-équilibre dans son régime de croissance. L'équivalence de ce type d'interface avec le polymère dirigé en milieu aléatoire, un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés, donne une portée étendue aux résultats concernant la statistique du maximum de l'interface. Nous exposerons les résultats que nous avons obtenus sur un modèle de mouvements browniens qui ne se croisent pas, tout en explicitant le lien entre ce modèle, l'interface en croissance et le polymère dirigé. / An interface is an area of space that separates two regions having different physical properties. Most interfaces in nature are the result of a growth process, mixing a random behavior and a deterministic dynamic derived from the symmetries of the problem. This growth process gives an object with extended correlations. In this thesis, we focus on the study of the extremum of different kinds of interfaces. A first motivation is to refine the geometric properties of such objects, looking at their maximum. A second motivation is to explore the extreme value statistics of strongly correlated random variables. Using path integral techniques we analyse the probability distribution of the maximum of equilibrium interfaces, possessing short range elastic energy. We then extend this to elastic interfaces in random media, with essentially numerical simulations. Finally we study a particular type of out-of-equilibrium interface, in its growing regime. Such interface is equivalent to the directed polymer in random media, a paradigm of the statistical mechanics of disordered systems. This equivalence reinforces the interest in the extreme value statistics of the interface. We will show the exact results we obtained for a non-intersecting Brownian motion model, explaining precisely the link with the growing interface and the directed polymer.

Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ``vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne). / This thesis presents a study of random matrices and some applications in physics, in particular in statistical physics and quantum physics. This work is mostly analytic, but I also performed some Monte Carlo numerical simulations. First I introduce random matrix theory: I define the main random matrix ensembles (in particular Gaussian ensembles) and describe their fundamental properties (distribution of the eigenvalues, density...). Then I study a physical system of interfaces at equilibrium that can be modeled by ``vicious walkers'', ie random walkers that can not meet each other.One can show that the distribution of the positions of the walkers at a given time is the same as the distribution of the eigenvalues of a random matrix. I also consider a problem coming from a very different field, the field of quantum information theory, but that is also closely related to random matrices: the distribution of entanglement for random states in a large bipartite quatum system (made of two parts). Finally I study some properties of random matrices such as the distribution of the number of positive eigenvalues or the one of the maximal eigenvalue (Tracy-Widom and large deviations).

Les systèmes vitreux sont caracterisés par un grand nombre d'états métastables. Cette thèse présente une étude de ces états dans les verres de spins en dimension finie - l'un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés - à l'aide de modèles simples, d'approches phénoménologiques et de calculs numériques utilisant l'optimisation combinatoire. Nous nous interressons particulièrement à la structure du paysage d'énergie, à la nature du diagramme des phases ainsi qu'à l'éventuelle présence de chaos en température. Nos résultats indiquent que la structure du paysage d'énergie est complexe et qu'il existe des excitations macroscopiques d'énergie O(1) comme prévu par la théorie champ moyen, correspondant à des amas spongieux dont la topologie est non-triviale. Le diagramme des phases semble par contre être trivial, contrairement à ces prédictions: l'éventuelle phase verre de spins sous champ magnétique ainsi que la phase mixte où coexistent ordre ferromagnétique et ordre verre de spins semblent être absentes. Un scenario nommé TNT, pour Trivial - Non Trivial, pour lequel ces propriétés sont attendues, est présenté et est compatible avec l'ensemble des résultats connus. La présence de chaos en température est mise en évidence dans deux modèles : un verre de spins sous l'approximation champ moyen de Curie-Weiss et un modèle avec énergies et entropies aléatoires soluble analytiquement. Enfin, des propriétés générales des fondamentaux de systèmes désordonnés ont été étudiées numériquement et analytiquement. Les excitations et leur nature, les effets de tailles finies, les fluctuations d'échantillon à échantillon, l'unversalité par rapport à la réalisation du désordre, la dimension critique inférieure ainsi que la nature des statistiques extrêmes ont ainsi été abordés.

Les résultats présentés dans ce mémoire d'habilitation à diriger les recherches s'appuient sur les travaux que j'ai effectués depuis 2006, date à laquelle j'ai rejoint le Laboratoire de Physique Théorique d'Orsay en tant que chargé de recherches au CNRS. J'ai choisi d'articuler ce mémoire autour de trois grandes thématiques : (i) les systèmes élastiques désordonnés, (ii) les propriétés de persistence, (iii) les statistiques d'extrêmes. La première partie s'inscrit dans la continuité des travaux que j'ai effectués lors de ma thèse puis mon post-doctorat. Elle s'articule autour des résultats que j'ai obtenus pour deux modèles élastiques désordonnés : le modèle SOS sur un substrat désordonné en deux dimensions, et le voisinage de la transition de dépiégage d'une ligne élastique, en dimension 1+1 dans un potentiel désordonné. A la fin de mon post-doctorat, j'ai commencé à m'intéresser aux problèmes de persistence, auxquels est consacrée la deuxième partie. Je présente donc mes travaux sur la persistence, dans des situations de dynamique hors d'équilibre mais aussi d'un point de vue un peu plus formel, en connexion avec les propriétés des racines réelles de polynômes aléatoires. Enfin ces propriétés de persistence m'ont amené à m'intéresser aux statistiques d'extrêmes, qui constituent la part la plus importante de ce mémoire, cette thématique étant actuellement mon sujet principal de recherche. Cette dernière partie s'ouvre sur une assez longue introduction sur les statistiques d'extrêmes, où sont présentés un certain nombre de résultats connus (et d'autres moins connus).