\medskip\noindent{\it Résumé.~} En utilisant une méthode due à L. Schwartz, nous établissons une conjecture due à N. Kuhn qui affirme que l'action de l'algèbre de Steenrod sur la cohomologie d'un espace topologique à coefficients dans le corps premier $\mathbb{F} _2$ est soit localement finie, soit non polynômiale. Pour cela, nous construisons une suite spectrale d'Eilenberg-Moore dans le cadre de la théorie homotopique des espaces profinis de F. Morel (cette partie du travail est une collaboration avec F.-X. Dehon). \smallskip\noindent Nous démontrons pour cette suite spectrale, qui converge toujours au sens naïf, un théorème de convergence forte, dans l'esprit de celui de W. G. Dwyer. Nos preuves sont simplifiées par la propreté du calcul homotopique des espaces profinis, que nous établissons. \smallskip\noindent Nous montrons également qu'une algèbre instable connexe dont l'idéal d'augmentation n'est pas localement nilpotent admet une série de Loewy infinie 'aux nilpotents près'. \smallskip\noindent Enfin, nous donnons quelques exemples de modules instables non réalisables en utilisant des méthodes élémentaires.