Les travaux réalisés dans cette thèse concernent l’étude de problèmes quasi-linéaires paraboliques et elliptiques singuliers. Par singularité, nous signifions que le problème fait intervenir une non linéarité qui explose au bord du domaine où l’équation est posée. La présence du terme singulier entraine un manque de régularité des solutions. Ce défaut de régularité génère en conséquence un manque de compacité qui ne permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques d’analyse non linéaires pour démontrer l’existence de solutions et discuter les propriétés de régularité et de comportement asymptotique des solutions. Pour contourner cette difficulté dans le contexte des problèmes que nous avons étudiés, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliées au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes d’interpolation dans les espaces de Sobolev, méthodes de point fixe. / In this thesis I have studied the Evolution p-laplacian equation with singular nonlinearity. We start by studying the corresponding elliptic problem and then by defining a proper cone in a suitable Sobolev space find the uniqueness of the solution. Taking that into account and using the semi discretization in time we arrive at the uniqueness and existence result. Next we prove some regularity theorem using tools from Nonlinear Semigroup theory and Interpolation spaces. We also establish some related result for the laplacian case where we improve our result on the existence and regularity, due to the non degeneracy of the laplacian. In another related work we work with a semilinear equation with singular nonlinearity and using the moving plane method prove the symmetry properties of any classical solution. We also give some related apriori estimates which together with the symmetry provide us the existence of solution using the bifurcation result.

Cette thèse, comporte deux parties distinctes.Dans la première partie, on étudie l'existence et l'inexistence d'une inégalité qu'on a appelée l'inégalité de Hopf Uniforme (IHU), pour une équation linéaire de la forme Lv = f à coefficients bornés mesurables et sous les conditions de Dirichlet homogènes. L'IHU est une variante du principe de maximum, on l'a appliquée dans la preuve de la régularité W1;p 0 pour un problème semi-linéaire singulier : Lu = F(u) où les coefficients de L sont dans l'espace vmor (fonctions à oscillation moyenne évanescente) et F(u) est singulier en u = 0 F(0) = +∞. De plus, si les coefficients sont lipschitziens, on prouve que la régularité optimale du gradient de la solution u est bmor (fonctions à oscillation moyenne bornée i.e Grad u dans bmor).Dans la seconde partie, on s'intéresse à la régularité du système d'élasticité (équations stationnaires des ondes élastiques) avec une fonction source singulière au sens qu'elle n’est qu'intégrable par rapport à la fonction distance au bord du domaine. Via la dualité, nous montrons, selon ~f , que le problème admet une solution dite très faible dont le gradient n'est pas nécessairement intégrable sur tout le domaine mais uniquement localement. Nous déterminons aussi les fonctions vectorielles ~f pour lesquelles, ~u a son gradient intégrable sur tout l'espace de travail. / We discuss the existence and non existence of the so called Hopf uniform Inequality (variant of a maximum principle) for the linear equation Lv = f with measurable coefficients and under the homogeneous Dirichlet Boundary condition. Then we apply such inequality to prove the W1;p 0 -regularity of a semi linear problem Lu = F(u), singular at u = 0, with the coefficients of the main operator of L in the space of vanishing mean oscillation. Moreover, when those coefficients are Lipschitz, we show that the gradient of the solution is at most in the space of bounded mean oscillation : bmor. In the last part of this thesis, we are concerned with the linear easticity system (Stationnary equation of the waves elasticity). But, here the second terms varies with respect to the distance function until the boundary.Using the duality method, we study the regularity of the solution of the elasticity system for the data belonging to various weighted spaces.