Deux techniques sont utilisées pour vérifier que des tâches temps réel respectent bien leurs échéances temporelles : les tests d'ordonnançabilité qui renvoient un résultat binaire (ordonnançable ou non) et les calculs de temps de réponse (Response Time Analysis - RTA) qui déterminent la longueur du plus long intervalle de temps entre le réveil et la terminaison d'une tâche. Ces deux approches ont une complexité pseudo-polynomiale et notons qu'aucun algorithme polynomial n'est connu. Dans ce contexte, elles ne sont pas particulièrement appropriées pour la conception intéractive des systèmes temps réel ou pour analyser des systèmes distribués à l'aide d'une analyse holistique. Dans de tels scénarios, un algorithme pseudo-polynomial est lent, puisque les calculs des temps de réponse des tâches sont exécutées à de nombreuses reprises. De plus, pour certains systèmes temps réels, tels que dans les systèmes de contrôle-commande, il est nécessaire de connaître le pire temps de réponse des tâches et non seulement la décision binaire sur l'ordonnançabilité des tâches. Dans ce contexte, il peut être acceptable d'utiliser un algorithme plus rapide qui fournit une analyse approchée au lieu d'utiliser des analyses reposant sur des calculs exacts. Comme cette approximation va introduire du pessimisme dans le processus de décision, il est souhaitable de le quantifier d'une manière à définir un compromis entre le temps de calcul et l'exigence de ressource du processeur. C'est la raison pour laquelle, dans ce travail, nous proposons des algorithmes pour calculer efficacement des bornes supérieures des pires temps de réponse et nous présentons des résultats sur leurs qualités dans le pire cas (analyse de compétitivité avec augmentation de ressource) et en moyenne (simulations).

Dans nos travaux, nous nous sommes intéressés aux politiques d'ordonnancement en-ligne, pour lesquelles l'ordre d'exécution des tâches est déterminé sur la base des tâches actives dans le système et sans connaissance a priori des tâches qui arriveront dans le futur. Cette problématique s'étend aux réseaux informatiques pour ordonnancer les messages sur le réseau informatique interconnectant les diérents calculateurs du système temps réel. La première contribution concerne le placement et ordonnancement simultanés des tâches dans un système temps réel distribué, permettant de minimiser le nombre de processeurs nécessaires pour respecter les spécications temporelles des tâches. La seconde contribution concerne les tâches à criticité multiple. L'objectif de ce modèle est de prendre en compte la notion de criticité des diérentes tâches, comme par exemple dans la norme DO-178B utilisée en aéronautique. Enn, nous nous sommes intéressés aux systèmes multiprocesseurs ordonnancés par des algorithmes d'ordonnancement semi-partitionné. Cette classe d'algorithme utilise une stratégie par partitionnement pour répartir les tâches parmi les processeurs tout en autorisant la migration des tâches qui ne peuvent pas être aectées à un processeur donné sans violation d'échéance.

La maintenance et la production sont deux fonctions qui agissent sur les mêmes ressources. Cependant l'ordonnancement de leurs activités respectives est indépendant, et ne tient pas compte de cette contrainte. Les ressources (machines) sont toujours considérées comme disponibles à tout moment ou éventuellement durant certaines fenêtres de temps. Dès lors la planification de la maintenance n'est jamais prioritaire sur la production, pour effectuer des interventions préventives. Les travaux de cette thèse proposent quelques éléments de réponse au problème de la planification commune et intégrée des tâches de maintenance et de production, avec comme objectif le respect des contraintes intrinsèques au problème. L'objectif de notre travail est double. D'une part démontrer la nécessité de développer des heuristiques d'ordonnancement conjoint production/maintenance pour atteindre l'objectif d'optimisation de la sûreté de fonctionnement du système de production. Dans ce contexte nous avons proposé l'adaptation d'un certains nombre d'heuristiques des approches constructive, itérative et évolutive pour le cas de l'ordonnancement conjoint production/maintenance dans un atelier de type flowshop de permutation. D'autre part, nous avons étudié la contribution de la maintenance à la robustesse de ces ordonnancements conjoints. Le modèle proposé a pour objectif d'inscrire la génération d'ordonnancements conjoints comme une démarche proactive, et de démontrer que l'intégration de la maintenance lors de la génération des ordonnancements de production est à mettre au profit de la robustesse de ces derniers.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Diagnostic et tolérance aux défauts sont des enjeux importants pour les systèmes de contrôle, particulièrement dans les systèmes de sécurité fondamentaux. La théorie et l'application des approches classiques de diagnostic et tolérance aux défauts doivent être revisités lorsqu'il s'agit de SCR. L'objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles approches de diagnostic pour les systèmes contrôlés en réseau en considérant la perte de paquets et la contrainte de communication. De plus, les algorithmes de l'ordonnancement et de diagnostic proposés sont implémentés dans un mini hélicoptère / Fault diagnosis and fault-tolerant control are important issues for practical control systems, especially in safety-critical systems. The theory and application of classical approaches of fault diagnosis and fault tolerant control should be revised when dealing with NCSs. Objective of this thesis is proposing new approaches to design a fault detection and isolation (FDI) system with considering network-induced effects such as packet dropout and medium access constraints. In addition, proposed algorithms of scheduling and fault diagnosis are implemented in a mini helicopter

Ce sujet de thèse concerne de manière générale l'évaluation des performances et l'ordonnancement dans des systèmes de production flexibles et principalement les problèmes d'ordonnancement d'atelier de type Flow-Shop et Flow-Shop hybride. Le problème d'ordonnancement d'un Flow-Shop peut être défini ainsi : un ensemble de N jobs composés chacun de M opérations, doivent passer sur M machines dans le même ordre. Une machine peut exécuter une seule opération à la fois, chaque job ne peut avoir qu'une seule opération en cours de réalisation simultanément et la préemption n'est pas autorisée. Dans le cas des Flow-Shops hybrides, Mk machines identiques sont disponibles à chaque étage k en un ou plusieurs exemplaires. Pour cette étude, notre objectif est toujours de minimiser le temps total d'exécution aussi appelé makespan. Les problèmes d'ordonnancement les plus répandus sont de type Flow-Shop classique où les espaces de stockage entre les machines sont considérées comme infinies. D'autres problèmes sont caractérisés par des capacités de stockage limitées ou nulles qui engendre une seule contrainte de blocage. Cette contrainte peut être un blocage classique (de type RSb) ou particulier (de type RCb ou RCb*). Dans nos travaux de recherche, nous présentons un cas général qui peut être tiré de l'industrie et modélisé sous forme de systèmes de type Flow-Shop et Flow-Shop hybride soumis simultanément à plusieurs types de blocage. Pour résoudre ce genre de problèmes, nous avons étudié dans cette thèse la complexité de ces systèmes et nous avons proposé des méthodes exactes, des méthodes approchées ainsi que des bornes inférieures / This thesis deals mainly with makespan minimization in Flow-Shop and hybrid Flow-Shop scheduling problems where mixed blocking constraints are considered. In Flow-Shop scheduling problem, a set of N jobs must be executed on a set of M machines. All jobs require the same operation order that must be executed according to the same manufacturing process. Each machine can only execute one job at any time. Pre-emptive operation is not authorized in presented work. In case of hybrid Flow-Shop, at any processing stage k, there exist one or more identical machines Mk. Objective function consists in determining best schedule in order to reduce makespan, i.e. time where all operations are completed. The most common scheduling problem is classical flowshop where buffer space capacity between machines is considered as unlimited. Other problems are characterized by the fact that the storage capacity is limited or null and which generates one blocking constraint. This constraint can be a classical blocking (RSb) or particular blocking (RCb or RCb*). In our works, we present a general case which can be derived from industry and modeled as Flow-Shop and hybrid Flow-Shop systems subject simultaneously to different blocking. To solve these problems, we studied in this thesis complexity of these systems and we proposed exact methods, approached methods and lower bounds

Dans cette thèse nous étudions le problème d'ordonnancement temps réel multiprocesseur préemptif avec prise en compte du coût exact du système d'exploitation. Ce coût est formé de deux parties : une partie facile à déterminer, correspondant au coût de l'ordonnanceur et une partie difficile à déterminer, correspondant au coût de la préemption. Cette difficulté est due au fait qu'une préemption peut en engendrer une autre, pouvant ainsi créer un phénomène d'avalanche. Dans un premier temps, nous avons étudié l'ordonnancement hors ligne multiprocesseur de tâches indépendantes avec prise en compte du coût exact de la préemption et proposé une analyse d'ordonnançabilité fondée sur une heuristique d'ordonnancement multiprocesseur. Cette heuristique utilise la stratégie d'ordonnancement multiprocesseur par partitionnement. Pour prendre en compte le coût exact de la préemption sur chaque processeur nous avons utilisé la condition d'ordonnançabilité proposée par Meumeu et Sorel. Cette condition d'ordonnançabilité pour des tâches à priorités fixes, est basée sur une opération binaire d'ordonnancement qui permet de compter le nombre exact de préemption et d'ajouter leur coût dans l'analyse d'ordonnançabilité des tâches. L'heuristique proposée permet de maximiser le facteur d'utilisation restant afin de répartir équitablement les tâches sur les processeurs et de réduire leur temps de réponse. Elle produit une table d'ordonnancement hors ligne. Dans un second temps, nous avons étudié l'ordonnancement hors ligne multiprocesseur de tâches dépendantes avec prise en compte du coût exact de la préemption. Puisque la condition d'ordonnançabilité utilisée pour ordonnancer les tâches indépendantes ne s'applique qu'à des tâches à priorités fixes, elle ne permet pas de gérer les inversions de priorités que peuvent entraîner les tâches dépendantes. Nous avons donc proposé une nouvelle condition d'ordonnançabilité pour des tâches à priorités dynamiques. Elle prend en compte le coût exact de la préemption et les dépendances sans aucune perte de données. Ensuite en utilisant toujours la stratégie d'ordonnancement par partitionnement, nous avons proposé pour des tâches dépendantes une heuristique d'ordonnancement multiprocesseur qui réutilise cette nouvelle condition d'ordonnançabilité au niveau de chaque processeur. Cette heuristique d'ordonnancement prend en compte les coûts de communication inter-processeurs. Elle permet aussi de minimiser sur chaque processeur le makespan (temps total d'exécution) des tâches. Cette heuristique produit pour chaque processeur une table d'ordonnancement hors ligne contenant les dates de début et de fin de chaque tâches et de chaque commmunication inter-processeur. En supposant que nous avons une architecture multiprocesseur de type dirigée par le temps (Time-Triggered) pour laquelle tous les processeurs ont une référence de temps unique, nous avons proposé pour chacun des processeurs un ordonnanceur en ligne qui utilise la table d'ordonnancement produite lors de l'ordonnancement hors ligne. Cet ordonnanceur en ligne a l'avantage d'avoir un coût constant qui de plus est facile à déterminer de manière exacte. En effet il correspond uniquement au temps de lecture dans la table d'ordonnancement pour obtenir la tâche sélectionnée lors de l'analyse d'ordonnançabilité hors ligne, alors que dans les ordonnanceurs classiques en ligne ce coût correspond à mettre à jour la liste des tâches qui sont dans l'état prêt à l'exécution puis à sélectionner une tâche selon un algorithme, par exemple RM, DM, EDF, etc. Il varie donc avec le nombre de tâches prêtes à s'exécuter qui change d'une invocation à l'autre de l'ordonnanceur. C'est ce coût qui est utilisé dans les analyses d'ordonnançabilités évoquées ci-dessus. Un autre avantage est qu'il n'est pas nécessaire de synchroniser l'accès aux mémoires de données partagées par plusieurs tâches, car cette synchronisation a été déjà effectuée lors de l'analyse d'ordonnançabilité hors ligne. / In this thesis we studied the problem of multiprocessor preemptive real-time scheduling taking into account the exact cost of the operating system (OS). This cost is composed of two parts: a part easy to determine, corresponding to the scheduler cost and another part difficult to determine, corresponding to the preemption cost. This difficulty is due to the fact that a preemption can involve another one, being able to so create an avalanche phenomenon. First, we studied the off-line multiprocessor real-time scheduling of independent tasks taking into account the exact preemption cost. We proposed a schedulability analysis based on a multiprocessor scheduling heuristic. This heuristic uses the partitioned multiprocessor scheduling approach. In order to take into account the exact preemption cost on every processor we use the schedulability condition proposed by Meumeu and Sorel. This schedulability condition for fixed priorities tasks, is based on a binary scheduling operation which counts the exact number of preemptions and add their cost in the schedulability analysis. The proposed heuristic maximizes the remaining utilization factor to fairly distribute the tasks on processors and to reduce their response time. It produces an off-line scheduling table. Secondly, we studied the off-line multiprocessor real-time scheduling of dependent tasks taking into account the exact preemption cost. Because the schedulability condition used for scheduling independent tasks can be applied only to fixed priorities tasks, it does not allow to manage priorities inversions that are involved by dependent tasks. We proposed a new schedulability condition for dependent tasks which enables fixed and dynamic priorities. This schedulability condition takes into account the exact preemption cost and dependences between tasks without any loss of data. Always with the partitioned scheduling approach, we proposed for dependent tasks a multiprocessor scheduling heuristic which reuses, on every processor, the schedulability condition proposed previously. In addition, this scheduling heuristic takes into account the interprocessors communication costs. It also minimizes on every processor the makespan (total execution time of the tasks on all the processors). This heuristic produces for every processor an off-line scheduling table. Supposing that we have a time-triggered multiprocessor architecture such that all the processors have a unique time reference, we proposed for every processor an on-line scheduler which uses the scheduling table produced during the off-line schedulability analysis. This on-line scheduler has the advantage to have a constant cost that is easy to determine exactly.Indeed, this cost corresponds only to the time necessary to read in the scheduling table the task selected for execution. In the on-line classical scheduler, this cost corresponds to the time necessary to update the list of ready tasks in order to select a task, according to a given scheduling algorithm, for example RM, DM, EDF, etc. In this case, the cost for selecting a task varies with the number of ready tasks which changes from an invocation of the scheduler to another one. Another advantage of the proposed on-line scheduler is that it is not necessary to synchronize the access to the data shared by several tasks, because this synchronization was already done during the off-line schedulability analysis.

Dans cette thèse, nous considérons une famille des problèmes d’ordonnancement avec machine parallèle identique et contraintes de précédences. Ce champ de recherche fait l’objet de nombreuses études. Malgré tout, la complexité de ces problèmes varie selon de nombreux paramètres,notamment le type de graphe de précédence ou le critère retenu. De plus, il existe encore de nombreux problèmes ouverts. Nous étudions certains de ces problèmes dans cette thèse. Nous montrons notamment que le problème ouvert avec tâches de durée unitaires et graphe de précédence de type intree est NP-complet. Puis, nous prouvons que le problème avec graphe de précédence de type level order est NP-complet aussi. La preuve est ensuite étendue à des problèmes connexes. Par la suite, on améliore un algorithme exponentiel pour un problème spécifique qui est NP-complet. Enfin, nous proposons un modèle linéaire pour le problème avec contraintes de précédence quelconque, améliorant aussi les résultats de littérature. / The main problem studied in this thesis is that of parallel machine scheduling with precedence constraints. The complexity depends on the shape that the precedence graph takes and the objective function. We prove that one minimum-open problem of scheduling equal-processing-time jobs which subject to in-tree precedence constrains is NP complete while minimizing the total competition time.Then, we prove that the open problem of scheduling level-order precedence constrains is NP-complete too. We adapted the second proof to other scheduling problems as well.On the other hand, we improved an exponential algorithm designed for a specific NP-hard problem. At the end, we propose a linear programming model for the general scheduling problem with arbitrary precedence constraints and processing-time. We adapt the existing models which are originally designed for other scheduling problems to parallel scheduling problem and compare these models with ours.

Cette étude porte sur l’allocation de ressources radio dans les réseaux LTE à forte mobilité. En particulier, il s’agit de concevoir des stratégies d’allocation de ressources capables d’améliorer la qualité de service des flux multimédia dans un contexte de forte mobilité des terminaux. Pour atteindre ces objectifs, l’étude a été menée en deux étapes. Dans un premier temps les travaux se sont déroulés dans un contexte où l’aspect forte mobilité n’a pas été pris en compte. Cela a permis de bien maitriser tous les aspects liés à l’allocation de ressources dans le LTE tout en proposant de nouvelles méthodes meilleures que celles existantes. Une fois cette tâche accomplie, l’aspect forte mobilité a été ajouté au problème et des stratégies adaptées à ce contexte ont été proposées. Néanmoins, dû aux différences entre les liens montants et descendants, l’étude a été menée dans les deux directions. Comme première contribution, nous avons conçu deux stratégies pour améliorer l’allocation de ressources sur la liaison descendante dans un contexte où la forte mobilité n’a pas été prise en compte. La première méthode est un mécanisme qui améliore cette allocation en particulier dans les scénarios d’overbooking en faisant un compromis entre l’équité, le débit global du système et les exigences de qualité de service des applications. La seconde stratégie permet non seulement de satisfaire aux contraintes de délais mais également de garantir un très faible taux de perte de paquets aux services de type multimédias. Les performances des systèmes proposés ont été évaluées par des simulations en les comparant à d’autres mécanismes dans la littérature. Les analyses ont démontré leur efficacité et révélé qu’elles obtenaient les meilleures performances. Notre deuxième contribution a permis d’améliorer l’allocation de ressources toujours dans un contexte de non prise en compte de la forte mobilité, mais cette fois ci sur le lien montant et pour des flux de type vidéo téléphonie. Nous avons conçu un nouveau protocole qui réduit de façon considérable les retards causés par l’allocation dynamique des ressources. L’idée consiste à allouer des ressources à ces trafics en utilisant une stratégie semi-persistante associée à un processus de pré-allocation. Les performances de notre méthode ont été évaluées par simulations et les résultats ont montré qu’elle fournissait le meilleur support en qualité de service. La dernière partie de nos travaux s’est intéressée au problème d’allocation de ressources dans les scénarios de fortes mobilités des terminaux. Dans cette partie, nous avons élaboré deux stratégies efficaces convenant aux scénarios véhiculaires. La première méthode est une technique permettant de maintenir le niveau de qualité de service nécessaire pour le bon fonctionnement des applications vidéo des utilisateurs ayant les vitesses les plus élevées. Elle consiste à déterminer en fonction des différentes vitesses des utilisateurs, le taux minimum de rapports CQI à envoyer à la station de base. Quant à la seconde stratégie, c’est un procédé d’ordonnancement opportuniste qui améliore la qualité de service des applications vidéo des utilisateurs ayant les vitesses les plus élevées. Avec cette stratégie, ces utilisateurs obtiennent une plus grande priorité et acquièrent ainsi beaucoup plus de ressources. / Abstract Our thesis focuses on issues related to resources allocation in LTE Networks. In particular the purpose of this study is to design efficient scheduling algorithms to improve the QoS of real time flows in a context of high mobility of the users. To reach this goal, the study has been carried out in two steps. At first, in order to have an expert knowledge of the key facets of LTE scheduling, we conducted the study in a context where the high mobility aspect of the node was not taken into account. This helped not only to critically analyze the literature but also to propose new schemes to improve QoS of real time applications. After that, the high mobility parameter has been added and innovative methods dealing with this context have been designed. Nevertheless due to the existing differences between the downlink and the uplink, the issue was tackled in each of the aforementioned directions. We firstly addressed the problem of improving the scheduling of downlink communications in a context where the high mobility was not taken into account. Two major methods have been designed for this purpose. The first one is an innovative scheme which improves resources assignment in overbooking scenarios by doing a trade-off between fairness, overall system through put and QoS requirements. The second one is an enhanced scheduling scheme which provides strict delay bounds and guarantees very low packet loss rate to multimedia flows. The performance of the proposed schemes have been evaluated by simulations and compared to other schemes in the literature. The analyses demonstrated their effectiveness and showed that they outperformed the existing ones. The second contribution concerned the problem of improving the scheduling of uplink communications in a context where the high mobility was not taken into account. We designed a novel scheduling protocol which improves resources allocation for videotelephony flows and reduces the delay caused by dynamic scheduling. It consists in scheduling such traffics using a semi-persistent strategy associated with a provisioning process. The performance of our proposed method have been evaluated by simulations and results demonstrated its effectiveness by showing that it improved videotelephony flows performance and provided the best QoS support compared to the dynamic scheduling.The last contribution addressed the problem of resources allocation in high mobility scenarios. In this part, the high mobility aspect was taken into account for designing suitable schemes for vehicular scenarios. We proposed in this way two efficient strategies. The first one is a technique which maintains the required level of QoS for supporting video users at high velocities. It consists in identifying depending on the UEs velocity, the minimum CQI reports rate in order to maintain the required QoS. The second proposed strategy is an opportunistic method which improves the performance of high speed video users. With this strategy, more priority are given to the UEs having the highest velocity. Simulations results demonstrated its effectiveness and showed that it improved the QoS support of video users having the highest velocity.

Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul d'ordonnanceurs pour les systèmes hybrides. En fait, nous considérons deux sous-classes des systèmes hybrides, les systèmes temps-réels où des tâches doivent se partager l'accès à une ressource commune, et les systèmes à commutations où un choix doit être fait sur les dynamiques à choisir en fonction d'objectifs à atteindre. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons aux problèmes d'ordonnancement et prenons comme étude de cas l'ordonnancement de tâches périodiques sur des architectures multiprocesseurs. Nous nous intéressons plus particulièrement à déterminer si l'on peut modifier certaines valeur des paramètres du système tout en respectant les contraintes temporelles sans changer d'ordonnanceur. La méthode inverse permet de prouver de manière formelle la robustesse des systèmes temporisés paramétriques. Nous introduisons une méthode de réduction du nombre d'états nécessaire à la vérification. Cette réduction nous permet de traîter des études de cas intéressantes telle que celle proposée par Astrium EADS pour le lanceur Ariane 6. Nous montrons également comment la Cartographie Comportementale, une extension de la méthode inverse, permet de trouver la zone de l'espace des paramètres où l'on a l'existence d'un ordonnancement satisfaisant les contraintes temporelles. Nous comparons cette approche avec une méthode analytique pour montrer l'intérêt de notre approche. Dans la seconde partie de cette thèse, nous nous intéressons au contrôle de systèmes affines à commutation. Ces systèmes sont gouvernés par une famille d'équations différentielles linéaires et le contrôleur peut choisir laquelle va gouverner le système pendant le prochain pas de temps. Dans ce cadre, le contrôle peut être vu comme l'ordonnancement des dynamiques que le système va prendre. Le choix de la dynamique peut se faire pour des objectifs de stabilité ou d'accessibilité. Nous proposons une nouvelle méthode qui calcule un contrôleur dont la stratégie est la même pour des ensembles denses de points. Notre méthode utilise le calcul en avant, souvent préférable au calcul à rebours pour les systèmes contractants. Nous montrons que, sous certaines conditions, le système contrôlé évolue vers un comportement limite. Nous appliquons notre méthode sur plusieurs études de cas issues de la littérature ainsi qu'un exemple réel, un prototype de convertisseur de tension multiniveaux. Enfin, nous montrons que notre méthode s'étend aux systèmes comportant des perturbations ainsi qu'aux systèmes non linéaires. / In this thesis, we are interested in designing schedulers for hybrid systems. We consider two specific subclasses of hybrid systems, real-time systems where tasks are competing for the access to common resources, and sampled switched systems where a choice has to be made on dynamics of the system to reach goals. Scheduling consists in defining the order in which the tasks will be run on the processors in order to complete all the tasks before a given deadline. In the first part of this thesis, we are interested in the scheduling of periodic tasks on multiprocessor architectures. We are especially interested in the robustness of schedulers, i.e., to prove that some values of the system parameters can be modified, and until what value they can be extended while preserving the scheduling order and meeting the deadlines. The Inverse Method can be used to prove the robustness of parametric timed systems. In this thesis, we introduce a state space reduction technique which allows us to treat challenging case studies such as one provided by Astrium EADS for the launcher Ariane 6. We also present how an extension of the Inverse Method, the Behavioral Cartography, can solve the problem of schedulability, i.e., finding the area in the parametric space in which there exists a scheduler that satisfies all the deadlines. We compare this approach to an analytic method to illustrate the interest of our approach In the second part of this thesis, we are interested in the control of affine switched systems. These systems are governed by a finite family of affine differential equations. At each time step, a controller can choose which dynamics will govern the system for the next time step. Controlling in this sense can be seen as a scheduling on the order of dynamics the system will have to use. The objective for the controller can be to make the system stay in a given area of the state space (stability) or to reach a given region of the state space (reachability). In this thesis, we propose a novel approach that computes a scheduler where the strategy is uniform for dense subsets of the state space. Moreover, our approach only uses forward computation, which is better suited than backward computation for contractive systems. We show that our designed controllers, systems evolve to a limit cyclic behavior. We apply our method to several case studies from the literature and on a real-life prototype of a multilevel voltage converter. Moreover, we show that our approach can be extended to systems with perturbations and non-linear dynamics.