In this thesis, we investigate the pathwise regularity of partial sum process of general orthogonal series, and prove that the partial sum process is a geometric 2-rough process under the same condition as in Menshov-Rademacher Theorem. For Fourier series, the condition can be improved, and an equivalent condition on the limit function is identified.

In this study we develop a new method for testing the null hypothesis that the predictor function in a canonical link regression model has a prescribed linear form. The class of models, which we will refer to as canonical link regression models, constitutes arguably the most important subclass of generalized linear models and includes several of the most popular generalized linear models. In addition to the primary contribution of this study, we will revisit several other tests in the existing literature. The common feature among the proposed test, as well as the existing tests, is that they are all based on orthogonal series estimators and used to detect departures from a null model. Our proposal for a new lack-of-fit test is inspired by the recent contribution of Hart and is based on a Laplace approximation to the posterior probability of the null hypothesis. Despite having a Bayesian construction, the resulting statistic is implemented in a frequentist fashion. The formulation of the statistic is based on characterizing departures from the predictor function in terms of Fourier coefficients, and subsequent testing that all of these coefficients are 0. The resulting test statistic can be characterized as a weighted sum of exponentiated squared Fourier coefficient estimators, whereas the weights depend on user-specified prior probabilities. The prior probabilities provide the investigator the flexibility to examine specific departures from the prescribed model. Alternatively, the use of noninformative priors produces a new omnibus lack-of-fit statistic. We present a thorough numerical study of the proposed test and the various existing orthogonal series-based tests in the context of the logistic regression model. Simulation studies demonstrate that the test statistics under consideration possess desirable power properties against alternatives that have been identified in the existing literature as being important.

Given two samples from two populations, one could ask how similar the populations are, that is, how close their probability distributions are. For absolutely continuous distributions, one way to measure the proximity of such populations is to use a measure of distance (metric) between the probability density functions (which are unknown given that only samples are observed). In this work, we work with the integrated squared distance as metric. To measure the uncertainty of the squared integrated distance, we first model the uncertainty of each of the probability density functions using a nonparametric Bayesian method. The method consists of estimating the probability density function f (or its logarithm) using Fourier series {f0;f1; :::;fI}. Assigning a prior distribution to f is then equivalent to assigning a prior distribution to the coefficients of this series. We used the prior suggested by Scricciolo (2006) (sieve prior), which not only places a prior on such coefficients, but also on I itself, so that in reality we work with a Bayesian mixture of finite dimensional models. To obtain posterior samples of such mixture, we marginalize out the discrete model index parameter I and use a statistical software called Stan. We conclude that the Bayesian Fourier series method has good performance when compared to kernel density estimation, although both methods often have problems in the estimation of the probability density function near the boundaries. Lastly, we showed how the methodology of Fourier series can be used to access the uncertainty regarding the similarity of two samples. In particular, we applied this method to dataset of patients with Alzheimer. / Dadas duas amostras de duas populações, pode-se questionar o quão parecidas as duas populações são, ou seja, o quão próximas estão suas distribuições de probabilidade. Para distribuições absolutamente contínuas, uma maneira de mensurar a proximidade dessas populações é utilizando uma medida de distância (métrica) entre as funções densidade de probabilidade (as quais são desconhecidas, em virtude de observarmos apenas as amostras). Nesta dissertação, utilizamos a distância quadrática integrada como métrica. Para mensurar a incerteza da distância quadrática integrada, primeiramente modelamos a incerteza sobre cada uma das funções densidade de probabilidade através de uma método bayesiano não paramétrico. O método consiste em estimar a função de densidade de probabilidade f (ou seu logaritmo) usando séries de Fourier {f0;f1; :::;fI}. Atribuir uma distribuição a priori para f é então equivalente a atribuir uma distribuição a priori aos coeficientes dessa serie. Utilizamos a priori sugerida em Scricciolo (2006) (priori de sieve), a qual não coloca uma priori somente nesses coeficientes, mas também no próprio I, de modo que, na realidade, trabalhamos com uma mistura bayesiana de modelos de dimensão finita. Para obter amostras a posteriori dessas misturas, marginalizamos o parâmetro (discreto) de indexação de modelos, I, e usamos um software estatístico chamado Stan. Concluímos que o método bayesiano de séries de Fourier tem boa performance quando comparado ao de estimativa de densidade kernel, apesar de ambos os métodos frequentemente apresentarem problemas na estimação da função de densidade de probabilidade perto das fronteiras. Por fim, mostramos como a metodologia de series de Fourier pode ser utilizada para mensurar a incerteza a cerca da similaridade de duas amostras. Em particular, aplicamos este método a um conjunto de dados de pacientes com doença de Alzheimer.

Given two samples from two populations, one could ask how similar the populations are, that is, how close their probability distributions are. For absolutely continuous distributions, one way to measure the proximity of such populations is to use a measure of distance (metric) between the probability density functions (which are unknown given that only samples are observed). In this work, we work with the integrated squared distance as metric. To measure the uncertainty of the squared integrated distance, we first model the uncertainty of each of the probability density functions using a nonparametric Bayesian method. The method consists of estimating the probability density function f (or its logarithm) using Fourier series {f0;f1; :::;fI}. Assigning a prior distribution to f is then equivalent to assigning a prior distribution to the coefficients of this series. We used the prior suggested by Scricciolo (2006) (sieve prior), which not only places a prior on such coefficients, but also on I itself, so that in reality we work with a Bayesian mixture of finite dimensional models. To obtain posterior samples of such mixture, we marginalize out the discrete model index parameter I and use a statistical software called Stan. We conclude that the Bayesian Fourier series method has good performance when compared to kernel density estimation, although both methods often have problems in the estimation of the probability density function near the boundaries. Lastly, we showed how the methodology of Fourier series can be used to access the uncertainty regarding the similarity of two samples. In particular, we applied this method to dataset of patients with Alzheimer. / Dadas duas amostras de duas populações, pode-se questionar o quão parecidas as duas populações são, ou seja, o quão próximas estão suas distribuições de probabilidade. Para distribuições absolutamente contínuas, uma maneira de mensurar a proximidade dessas populações é utilizando uma medida de distância (métrica) entre as funções densidade de probabilidade (as quais são desconhecidas, em virtude de observarmos apenas as amostras). Nesta dissertação, utilizamos a distância quadrática integrada como métrica. Para mensurar a incerteza da distância quadrática integrada, primeiramente modelamos a incerteza sobre cada uma das funções densidade de probabilidade através de uma método bayesiano não paramétrico. O método consiste em estimar a função de densidade de probabilidade f (ou seu logaritmo) usando séries de Fourier {f0;f1; :::;fI}. Atribuir uma distribuição a priori para f é então equivalente a atribuir uma distribuição a priori aos coeficientes dessa serie. Utilizamos a priori sugerida em Scricciolo (2006) (priori de sieve), a qual não coloca uma priori somente nesses coeficientes, mas também no próprio I, de modo que, na realidade, trabalhamos com uma mistura bayesiana de modelos de dimensão finita. Para obter amostras a posteriori dessas misturas, marginalizamos o parâmetro (discreto) de indexação de modelos, I, e usamos um software estatístico chamado Stan. Concluímos que o método bayesiano de séries de Fourier tem boa performance quando comparado ao de estimativa de densidade kernel, apesar de ambos os métodos frequentemente apresentarem problemas na estimação da função de densidade de probabilidade perto das fronteiras. Por fim, mostramos como a metodologia de series de Fourier pode ser utilizada para mensurar a incerteza a cerca da similaridade de duas amostras. Em particular, aplicamos este método a um conjunto de dados de pacientes com doença de Alzheimer.

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