Presente em diversos processos industriais, que variam desde pequenas confecções até grandes indústrias da área de metal-mecânica, os problemas de empacotamento visam definir o posicionamento de itens menores sobre objetos maiores minimizando, frequentemente, a perda de material utilizado. O problema de empacotamento de peças irregulares em faixas, estudado nesta pesquisa, tem como principal característica, e obstáculo, possuir itens irregulares. Em algumas indústrias surge, após a determinação do empacotamento, um segundo problema: a determinação do caminho mínimo de corte. Embora a solução do primeiro influencie fortemente a resolução do segundo, não é de nosso conhecimento que existam, até o momento, estratégias que integrem esses problemas. Neste trabalho, são propostos dois modelos integrados de empacotamento de peças irregulares e caminho de corte. O primeiro modelo busca minimizar o caminho de corte entre as peças considerando um ponto fixo de início de corte (vértice fixo) para cada peça, enquanto que o segundo considera o corte por peça a partir de um vértice qualquer das peças. Testes computacionais mostram que é vantajosa a integração dos problemas contudo, como ambos são problemas de difícil solução, o problema integrado é pelo menos tão difícil quanto os problemas isolados, logo apenas instâncias de pequeno porte foram resolvidas de forma exata. Uma matheurística, baseada no algoritmo genético de chaves aleatórias viciadas, é proposta para o problema de empacotamento de peças irregulares em faixa em domínio contínuo e, em seguida, estendida para o problema integrado. Os resultados são promissores, pois a matheurística consegue encontrar solução para instâncias que não haviam sido resolvidas através dos modelos integrados previamente propostos. / Having great applicability in industries, ranging from small clothing industries to large metal mechanic ones, packing problems aim to determine the positioning of small pieces over a large object minimizing, for instance, raw material waste. The main characteristic and obstacle of the irregular strip packing problem, studied in this research, is the irregular shape of its pieces. In some industries, after a layout of pieces has been defined, a second problem arises: the cutting path determination problem. Although the solution of the first strongly influences the resolution of the second, to the best of our knowledge, there are no strategy to integrate these problems. Here, we propose two irregular strip packing and cutting path integrated models. The first one minimizes the cutting path between the pieces considering that the cutting starts at a fixed vertex for each piece, while the second considers the cutting start point in any vertex of the pieces. Computational tests show that it is advantageous to integrate the problems, however, as both are difficult to solve, the integrated one is at least as difficult as each of them, so only small instances were solved to optimality. A matheuristic, based on the biased random-key genetic algorithm, is proposed for the continuos irregular strip packing problem and then extended to the integrated problem. The results are promising, the matheuristics is able to find solution for instances that had not been solved through the previously proposed integrated models.

The two-dimensional irregular cutting and packing problems (aka nesting problems) have been studied over the past six decades and consist in cutting (packing) convex and non-convex small pieces from (in) large boards without overlapping. There are several variants of this problem that are defined according to the board shapes and the objective of each problem. There are a number of heuristics proposed in the literature to solve irregular cutting and packing problems, but only few mixed-integer programming models. Specifically, these models were developed for the irregular strip packing problem, that consists in packing pieces into a single board with fixed width and length to be minimized. For the other problem variants, there is no exact methods presented in the literature. The main difficulty in solving irregular cutting and packing problems is how to handle with the geometric constraints. These constraints depend on the type of placement of the pieces on the board that can be continuous or discrete. In this thesis, we present two mixed-integer programming models for the irregular strip packing problem in which the pieces can be continuously placed on the board. These models do not demand complex structures to be built. We also present a new dot data structure to store the information on the placement of the pieces and overlapping positions bringing flexibility and efficiency to discrete approaches. Using this structure, a matheuristic is proposed, combining the advantages of the models with discrete and continuous placement positions for the pieces on the board. Furthermore, constraint programming models for several variants of irregular cutting and packing problems are exploited. For some variants, these models are the first modelling representation. A new global constraint is developed to eliminate the overlap among pieces. Computational experiments were conducted to evaluate the developed approaches. / Os problemas de corte e empacotamento de peças irregulares bidimensionais vêm sendo estudados há décadas e consistem em cortar (empacotar) peças menores, convexas e não convexas, a partir de (em) placas maiores de forma a não se sobreporem. Existem diversas variantes deste problema, definidas de acordo com o formato da placa e objetivo de cada problema. Na literatura, muitas heurísticas foram propostas para a resolução dos problemas de corte e empacotamento de peças irregulares, porém, poucos modelos de programação inteira mista podem ser encontrados. Especificamente, estes modelos foram desenvolvidos para o problema de empacotamento em faixa, que consiste em empacotar as peças em uma placa de largura fixa e comprimento a ser minimizado. Para as demais variantes do problema, não existem métodos exatos propostos na literatura. A principal dificuldade na resolução dos problemas de corte e empacotamento de peças irregulares está na manipulação das restrições geométricas. Estas restrições dependem do tipo de posicionamento das peças na placa, que pode ser discreto ou contínuo. Nesta tese, apresentamos dois modelos de programação inteira mista para o problema de empacotamento de peças em faixa, no qual cada peça pode ser alocada de forma contínua na placa. Estes modelos não demandam estruturas complexas para serem construídos. Também apresentamos uma nova estrutura de dados para armazenar informações sobre o posicionamento das peças e as posições de sobreposição, trazendo flexibilidade e eficiência para abordagens discretas. Utilizando esta estrutura, uma matheuristica foi proposta, combinando as vantagens dos modelos com alocação discreta e contínua das peças na placa. Além disso, modelos de programação por restrições para diversas variantes dos problemas de corte e empacotamento de peças irregulares foram explorados. Para algumas variantes, estes modelos são a primeira representação via modelagem. Uma nova restrição global foi desenvolvida para eliminar a sobreposição entre as peças. Experimentos computacionais foram realizados para avaliar as abordagens propostas.

The two-dimensional irregular cutting and packing problems (aka nesting problems) have been studied over the past six decades and consist in cutting (packing) convex and non-convex small pieces from (in) large boards without overlapping. There are several variants of this problem that are defined according to the board shapes and the objective of each problem. There are a number of heuristics proposed in the literature to solve irregular cutting and packing problems, but only few mixed-integer programming models. Specifically, these models were developed for the irregular strip packing problem, that consists in packing pieces into a single board with fixed width and length to be minimized. For the other problem variants, there is no exact methods presented in the literature. The main difficulty in solving irregular cutting and packing problems is how to handle with the geometric constraints. These constraints depend on the type of placement of the pieces on the board that can be continuous or discrete. In this thesis, we present two mixed-integer programming models for the irregular strip packing problem in which the pieces can be continuously placed on the board. These models do not demand complex structures to be built. We also present a new dot data structure to store the information on the placement of the pieces and overlapping positions bringing flexibility and efficiency to discrete approaches. Using this structure, a matheuristic is proposed, combining the advantages of the models with discrete and continuous placement positions for the pieces on the board. Furthermore, constraint programming models for several variants of irregular cutting and packing problems are exploited. For some variants, these models are the first modelling representation. A new global constraint is developed to eliminate the overlap among pieces. Computational experiments were conducted to evaluate the developed approaches. / Os problemas de corte e empacotamento de peças irregulares bidimensionais vêm sendo estudados há décadas e consistem em cortar (empacotar) peças menores, convexas e não convexas, a partir de (em) placas maiores de forma a não se sobreporem. Existem diversas variantes deste problema, definidas de acordo com o formato da placa e objetivo de cada problema. Na literatura, muitas heurísticas foram propostas para a resolução dos problemas de corte e empacotamento de peças irregulares, porém, poucos modelos de programação inteira mista podem ser encontrados. Especificamente, estes modelos foram desenvolvidos para o problema de empacotamento em faixa, que consiste em empacotar as peças em uma placa de largura fixa e comprimento a ser minimizado. Para as demais variantes do problema, não existem métodos exatos propostos na literatura. A principal dificuldade na resolução dos problemas de corte e empacotamento de peças irregulares está na manipulação das restrições geométricas. Estas restrições dependem do tipo de posicionamento das peças na placa, que pode ser discreto ou contínuo. Nesta tese, apresentamos dois modelos de programação inteira mista para o problema de empacotamento de peças em faixa, no qual cada peça pode ser alocada de forma contínua na placa. Estes modelos não demandam estruturas complexas para serem construídos. Também apresentamos uma nova estrutura de dados para armazenar informações sobre o posicionamento das peças e as posições de sobreposição, trazendo flexibilidade e eficiência para abordagens discretas. Utilizando esta estrutura, uma matheuristica foi proposta, combinando as vantagens dos modelos com alocação discreta e contínua das peças na placa. Além disso, modelos de programação por restrições para diversas variantes dos problemas de corte e empacotamento de peças irregulares foram explorados. Para algumas variantes, estes modelos são a primeira representação via modelagem. Uma nova restrição global foi desenvolvida para eliminar a sobreposição entre as peças. Experimentos computacionais foram realizados para avaliar as abordagens propostas.

O problema de empacotamento em faixas de peças irregulares consiste em cortar um conjunto de peças bidimensionais a partir de um objeto de largura fixa utilizando o menor comprimento possível. Apesar de sua importância econômica para diversos setores industriais, há poucos trabalhos que abordam o problema de forma exata devido a sua dificuldade de resolução. Recentemente, Toledo et al. (2013) propuseram um modelo inteiro misto para este problema, no qual as peças são posicionadas em uma malha de pontos. Este modelo obteve bons resultados, provando a otimalidade para instâncias com até 21 peças. No entanto, o modelo possui um grande número de restrições de não-sobreposição, que cresce rapidamente de acordo com a discretização utilizada e a quantidade de peças distintas que devem ser alocadas. Neste trabalho, são propostas novas formulações matemáticas baseadas neste modelo, com o objetivo de reduzir o número de restrições. Na primeira abordagem, são propostos dois modelos reduzidos que mostraram ser eficientes para instâncias com poucas repetições de peças. Na segunda abordagem, foi proposto um modelo de cobertura por cliques para o problema. Este modelo obteve desempenho igual ou superior ao modelo da literatura para todas as instâncias avaliadas, obtendo uma solução ótima para instâncias com até 28 peças. / The irregular strip packing problem consists of cutting a set of two-dimensional pieces from an object of fixed width using the smallest possible length. Despite its economic importance for many industrial sectors, few exact studies have been made on this problem due to its difficulty of resolution. Recently, Toledo et al. (2013) proposed a mixed-integer model to this problem in which the pieces are placed on a grid. This model has worked successfully proving the optimality for instances up to 21 pieces. However, the model has a large number of non-overlapping constraints, which grows quickly in accordance with the discretization resolution and number of distinct pieces. In this work, we propose new mathematical formulations based on this model in order to reduce the number of constraints. In the first approach, we present two reduced models that have shown to be effective for instances with few repetitions of pieces. In the second approach, it was proposed a clique covering model for the problem. This model achieved a greater or equal performance than the literature for all instances, getting an optimal solution for instances up to 28 pieces.

O problema de empacotamento em faixas de peças irregulares consiste em cortar um conjunto de peças bidimensionais a partir de um objeto de largura fixa utilizando o menor comprimento possível. Apesar de sua importância econômica para diversos setores industriais, há poucos trabalhos que abordam o problema de forma exata devido a sua dificuldade de resolução. Recentemente, Toledo et al. (2013) propuseram um modelo inteiro misto para este problema, no qual as peças são posicionadas em uma malha de pontos. Este modelo obteve bons resultados, provando a otimalidade para instâncias com até 21 peças. No entanto, o modelo possui um grande número de restrições de não-sobreposição, que cresce rapidamente de acordo com a discretização utilizada e a quantidade de peças distintas que devem ser alocadas. Neste trabalho, são propostas novas formulações matemáticas baseadas neste modelo, com o objetivo de reduzir o número de restrições. Na primeira abordagem, são propostos dois modelos reduzidos que mostraram ser eficientes para instâncias com poucas repetições de peças. Na segunda abordagem, foi proposto um modelo de cobertura por cliques para o problema. Este modelo obteve desempenho igual ou superior ao modelo da literatura para todas as instâncias avaliadas, obtendo uma solução ótima para instâncias com até 28 peças. / The irregular strip packing problem consists of cutting a set of two-dimensional pieces from an object of fixed width using the smallest possible length. Despite its economic importance for many industrial sectors, few exact studies have been made on this problem due to its difficulty of resolution. Recently, Toledo et al. (2013) proposed a mixed-integer model to this problem in which the pieces are placed on a grid. This model has worked successfully proving the optimality for instances up to 21 pieces. However, the model has a large number of non-overlapping constraints, which grows quickly in accordance with the discretization resolution and number of distinct pieces. In this work, we propose new mathematical formulations based on this model in order to reduce the number of constraints. In the first approach, we present two reduced models that have shown to be effective for instances with few repetitions of pieces. In the second approach, it was proposed a clique covering model for the problem. This model achieved a greater or equal performance than the literature for all instances, getting an optimal solution for instances up to 28 pieces.