Telescoping sums very naturally lead to probability distributions on ℤ+. But are these distributions typically cosmetic and devoid of motivation? In this paper we give three examples of 'first occurrence' distributions, each defined by telescoping sums, and each arising from concrete questions about the structure of permutations.

Dans de multiples domaines, des structures qui semblent à première vue très simples sont très mal comprises. Un exemple qui nous vient vite à l'esprit, c'est la structure de l'ADN qui n'est qu'une suite d'un alphabet de quatre bases azotées, mais dont la combinaison cache encore de nombreux mystères. Dans ce mémoire nous nous sommes attardés à la rotation, la réflexion et à la permutation des lettres d'un mot. Si l'on ne prend que la rotation, l'ensemble de tous les mots que l'on peut fabriquer par rotation des lettres d'un mot donné est appelé collier. Cette notion mathématique bien connu revient, dans le concret, à écrire notre mot donné sur les perles d'un collier et à constater que le fait de tourner le collier autour de notre cou ne change pas l'objet lui-même. En ajoutant la réflexion à la rotation, on obtient les bracelets. Toutefois, lorsque l'on combine la permutation des lettres de l'alphabet aux bracelets ou aux colliers, on obtient des objets beaucoup moins connus et moins bien compris. Au cours de ce mémoire, nous nous sommes donc intéressés aux mots dont la permutation des lettres est combinée à d'autres actions. Deux principaux problèmes ont occupés nos recherches: le comptage de ces objets ainsi que l'énumération de ceux-ci. Ces deux avenues ont été fructueuses et nous ont donné de nouveaux résultats. Nous avons de plus trouvé divers domaines où ces objets semblent être un modèle pertinent et où nos résultats pourraient s'appliquer. / Simple structures seem to emerge from many different sciences. However, we still have a limited undertanding of those structures. A good exemple is DNA structure which is simply a series of nitrogenous bases taken from a four letter alphabet. Unfortunately, even if its structure is very simple, DNA still keeps many secrets to the scientific community. A better understanding of basic structures seems to be the basis to a better understanding of our environment. This is why we have focused on words under the action of rotation, reflexion and permutation of letters. Words under the action of rotation are called necklaces and are well studied. If the reflection is added to necklaces, bracelets are obtained. However, if we combine alphabet permutation with rotation and/or reflection, less understood objects are obtained. We focused on two major problems: counting objets and generating them. In both directions we have found interesting new results. We also found some fields in which our results could contribute.

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Generating unbiased permutations at run time has traditionally been accomplished through application specific optimized combinational logic and has been limited to very small permutations. For generating unbiased permutations of any larger size, variations of the memory dependent Fisher-Yates algorithm are known to be an optimal solution in software and have been relied on as a hardware solution even to this day. However, in hardware, this thesis proves Fisher-Yates to be a suboptimal solution. This thesis will show variations of Fisher-Yates to be suboptimal by proposing an alternate method that does not rely on memory and outperforms Fisher-Yates based permutation generators, while still able to scale to very large sized permutations. This thesis also proves that this proposed method is unbiased and requires a minimal input. Lastly, this thesis demonstrates a means to scale the proposed method to any sized permutations and also to produce optimal partial permutations. / Master of Science / In computing, some applications need the ability to shuffle or rearrange items based on run time information during their normal operations. A similar task is a partial shuffle where only an information dependent selection of the total items is returned in a shuffled order. Initially, there may be the assumption that these are trivial tasks. However, the applications that rely on this ability are typically related to security which requires repeatable, unbiased operations. These requirements quickly turn seemingly simple tasks to complex. Worse, often they are done incorrectly and only appear to meet these requirements, which has disastrous implications for security. A current and dominating method to shuffle items that meets these requirements was developed over fifty years ago and is based on an even older algorithm refer to as Fisher-Yates, after its original authors. Fisher-Yates based methods shuffle items in memory, which is seen as advantageous in software but only serves as a disadvantage in hardware since memory access is significantly slower than other operations. Additionally, when performing a partial shuffle, Fisher-Yates methods require the same resources as when performing a complete shuffle. This is due to the fact that, with Fisher-Yates methods, each element in a shuffle is dependent on all of the other elements. Alternate methods to meet these requirements are known but are only able to shuffle a very small number of items before they become too slow for practical use. To combat the disadvantages current methods of shuffling possess, this thesis proposes an alternate approach to performing shuffles. This alternate approach meets the previously stated requirements while outperforming current methods. This alternate approach is also able to be extended to shuffling any number of items while maintaining a useable level of performance. Further, unlike current popular shuffling methods, the proposed method has no inter-item dependency and thus offers great advantages over current popular methods with partial shuffles.

Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz / This thesis is meant to be a digest, adressed to the combinatorician community, of some tools developped to tackle the problem of Hurwitz, as well as an exhibition of the thus-harvested results. The problem of Hurwitz consists of computing, in a symmetric group, the (so-called Hurwitz) number of transitive factorisations of the identity permutation whose factors have prescribed cyclic types. We first describe the topological layout of this problem through the enumeration of the ramified coverings of the sphere. We also present a natural algebraic frame, the monoid of split permutations, which allows to describe Hurwitz numbers as structure coeffcients of the algebra of this monoid, more precisely of the subalgebra spanned by the conjugacy classes, whose natural basis is indexed by multipartitions (or split partitions). The representation theory of this algebra yields an algoithm to compute one-partition Hurwitz numbers whose complexity (minimal, uniform and exponential) is far better than that of a naive edging about. This algebraic frame yields a formula describing several-partition Hurwitz series as polynomials in one-partition Hurwitz series. We secondly present the geometric frame in which are been expressed on the one hand the ELSV formula, which describes one-partition Hurwitz numbers as functions of some integrals, one the other hand a theorem of M. Kazarian expressing one-partition Hurwitz series as polynomials in some formal power series whose asymptotics is completly understood. Once the using of this integration frame has been described, we derive the asymptotics of all Hurwitz numbers

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des matrices aléatoires en lien avec des permutations. Nous abordons l'étude de leurs spectres de plusieurs manières, et à différentes échelles d'observation. Dans un premier temps, nous prolongeons l'étude de Wieand à propos des nombres de valeurs propres appartenant à certains arcs fixés du cercle unité. Pour cela nous tirons parti des travaux réalisés par Ben Arous et Dang sur les statistiques linéaires du spectre de matrices de permutation pour une famille de lois à un paramètre englobant le cas de la loi uniforme sur le groupe symétrique, appelée famille des lois d'Ewens. Une partie innovante de notre travail réside dans la généralisation à des arcs non nécessairement fixés. Nous obtenons en effet des résultats similaires en autorisant les longueurs des arcs à décroître lentement vers zéro avec la taille des matrices. Dans un deuxième temps, nous regardons le spectre à échelle microscopique. En nous inspirant des travaux de Najnudel et Nikeghbali en rapport avec la convergence de mesures empiriques des angles propres normalisés, nous commençons par donner un sens à la convergence en terme de comptages de points sur des intervalles fixés. A partir du processus ponctuel limite, nous montrons que le nombre de points dans un intervalle a des fluctuations asymptotiquement gaussiennes lorsque la longueur de l'intervalle tend vers l'infini. Enfin, nous adaptons certains résultats de Chhaibi, Najnudel et Nikeghbali sur le polynôme caractéristique de matrices du CUE à échelle microscopique, et les développons dans notre cadre. De manière analogue mais avec d'autres techniques de preuves, nous obtenons des convergences des polynômes caractéristiques vers des fonctions entières, et cela pour une grande famille de lois pour le tirage des permutations, incluant les lois d'Ewens. / In this thesis, our goal is to study random matrices related to permutations. We tackle the study of their spectra in various ways, and at different scales. First, we extend the work of Wieand about the numbers of eigenvalues lying in some fixed arcs of the unit circle. We take advantage of the results of Ben Arous and Dang on the linear statistics of the spectrum of permutation matrices for a one-parameter family of deformations of the uniform law on the symmetric group, called Ewens' measures. One of the most innovative parts of our work is the generalization to non-fixed arcs. Indeed we get similar results when we let the lengths of the arcs decrease to zero slower than 1/n. Then, we look at the spectrum at microscopic scale. Inspired by the work of Najnudel and Nikeghbali about the convergence of empirical measures of rescaled eigenangles, we give a meaning to the convergence in terms of indicator functions of intervals. From the limiting point process, we show that the number of points in any interval is asymptotically normal as the length of the interval goes to infinity. Finally, we adapt some results of Chhaibi, Najnudel and Nikeghbali on the characteristic polynomial of the CUE at microscopic scale, and develop them in our framework. Analogously but with different techniques of proof, we get that the characteristic polynomials converge to entire functions, and this for a large family of laws including the Ewens' measures.

Un code de permutations G(n,d) un sous-ensemble C de Sym(n) tel que la distance de Hamming D entre deux éléments de C est supérieure ou égale à d. Dans cette thèse, le groupe des isométries de (Sym(n),D) est déterminé et il est prouvé que ces isométries sont des automorphismes du schéma d'association induit sur Sym(n) par ses classes de conjugaison. Ceci mène, par programmation linéaire, à de nouveaux majorants de la taille maximale des G(n,d) pour n et d fixés et n compris entre 11 et 13. Des algorithmes de génération avec rejet d'objets isomorphes sont développés. Pour classer les G(n,d) non isométriques, des invariants ont été construits et leur efficacité étudiée. Tous les G(4,3) et les G(5,4) ont été engendrés à une isométrie près, il y en a respectivement 61 et 9445 (dont 139 sont maximaux et décrits explicitement). D’autres classes de G(n,d) sont étudiées. A permutation code G(n,d) is a subset C of Sym(n) such that the Hamming distance D between two elements of C is larger than or equal to d. In this thesis, we characterize the isometry group of the metric space (Sym(n),D) and we prove that these isometries are automorphisms of the association scheme induced on Sym(n) by the conjugacy classes. This leads, by linear programming, to new upper bounds for the maximal size of G(n,d) codes for n and d fixed and n between 11 and 13. We develop generating algorithms with rejection of isomorphic objects. In order to classify the G(n,d) codes up to isometry, we construct invariants and study their efficiency. We generate all G(4,3) and G(4,5)codes up to isometry; there are respectively 61 and 9445 of them. Precisely 139 out of the latter codes are maximal and explicitly described. We also study other classes of G(n,d)codes.

Orientador: José Plínio de Oliveira Santos / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T10:24:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 FeresJunior_Jorge_M.pdf: 656533 bytes, checksum: f89557654d48cebb7328f9f5ebbc8d0f (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Nesta dissertação estudamos permutações que evitam determinados padrões. Mais especificamente, nosso foco é a contagem de tais permutações. Dentre as várias formas de descrever uma permutação, adotamos a ''representação posicional em linha'', apresentando um tratamento sistemático nesta área de padrão proibido, estudando operações, simetrias, estruturas, transformações, e principalmente, técnicas de contagem para este fim / Abstract: In this dissertation, we study permutations avoiding certain patterns. More specifically, our focus is on counting such permutations. Among the many ways to describe a permutation, we adopted the "positional representation in line" presenting a systematic treatment of this area of forbidden pattern, studying operations, symmetries, structures, transformations, and especially counting techniques for this purpose / Mestrado / Matematica Aplicada / Mestre em Matemática Aplicada