El objetivo de esta memoria es utilizar el método de perturbaciones singulares para probar existencia de ground states y soluciones singulares en ecuaciones elípticas no-lineales. .

Ingeniero Civil Matemático / En esta memoria se estudia el comportamiento asintótico de un problema elíptico singularmente perturbado que presenta diversos fenómenos de interés, entre los cuales destacan la formación de boundary layers y homogeneización. Este tipo de problemas aparece en el estudio de perturbaciones estocásticas pequeñas de sistemas Hamiltonianos, así como también en el contexto de fenómenos de transporte en fluídos sujetos a velocidades de advección de gran magnitud. Ambos tipos de problemas han sido estudiados anteriormente bajo distintas hipótesis estructurales, y en este trabajo se presentan nuevos resultados que permiten relacionar los distintos comportamientos exhibidos por el sistema. Por un lado, la aparición de boundary layers en este sistema ha sido estudiada en detalle en trabajos anteriores, habiéndose obtenido una descripción completa, si bien no menos compleja, en términos de la geometría del dominio y su relación con el término de advección, que es la fuente de la perturbación. En este trabajo se extienden los resultados mencionados a problemas no lineales, y se profundiza en la descripción de este fenómeno, particularmente en términos de la convergencia. Por otro lado, el orígen de la perturbación singular en sistemas Hamiltonianos ha sido explotado extensivamente mediante técnicas probabilísticas. Recientemente nuevos resultados han sido obtenidos mediante la introducción de técnicas de ecuaciones en derivadas parciales, las que han permitido establecer una caracterización explícita en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias del fenómeno de homogeneización que exhibe este problema. Además de la introducción de no linealidad en el sistema, en este trabajo se presenta una descripción detallada de la relación que existe entre la homogeneización y la formación de boundary layers. Finalmente, se describe un problema de otra naturaleza, relacionado con la ecuación de Fisher no local. Este problema ha suscitado considerable interés recientemente debido a la complejidad y diversidad de comportamientos que exhibe, particularmente en cuanto se refiere a las propiedades de las ondas viajeras presentes en el sistema.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Fluidodinámica / En este trabajo se presenta el problema del transporte de calor y masa para un sistema compuesto de dos fases fluidas en un medio poroso, el cual puede ser relevante en el uso de CO2 como fluido de trabajo en reservorios geotermales. El medio poroso fue modelado usando una celda Hele-Shaw, la cual es ampliamente usada para la visualización del transporte de escalares. Los objetivos de este trabajo son (a) investigar teórica y numéricamente las leyes de escalamiento que gobiernan los procesos de mezcla en un medio poroso, y (b) visualizar los procesos de transporte usando celdas Hele-Shaw y avanzadas técnicas de segmentación de imágenes. El modelo derivado es una extensión de la ecuación de Polubarinova-Kochina, la cual es válida para regímenes de flujos altos en medios porosos. El transporte de calor y masa en un medio poroso es gobernado por el número de Nusselt Nu' y la tasa de disipación media escalar h"'i_ = `mix/L , donde `mix es la longitud de mezcla y L es la longitud horizontal de la celda . La principal contribución de este trabajo es la demostración de la existencia de los escalamientos hNu'i_ _ Ran(_) ' y h"'i_ _ Ram(_) ' , respectivamente, donde Ra' es el número de Rayleigh sujeto a la definición del escalar ' , el cual puede ser temperatura o concentración, y _ es el cociente entre el espaciamiento de la celda y su altura. Ambas cantidades se relacionan a través del modelo hNu'i_ = _(_2Ra', _)Ra' h"'i_ , donde _ contiene información de los efectos de difusión lateral de mezcla. Esta contribución extiende los resultados más recientes publicados en la literatura. Dada la importancia del parámetro adimensional _ en la escala de laboratorio, se realizó un detallado análisis lineal de la convección termal y la inestabilidad de Rayleigh-Taylor, incorporando efectos de tensión interfacial ya que el CO2 es un fluido parcialmente miscible con el agua. Los resultados obtenidos usando métodos asintóticos corrigen los análisis descritos en la literatura, así como también entregan nuevas evidencias de que el inicio de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor depende completamente de los efectos interfaciales de la mezcla. Finalmente, para visualizar el transporte escalar, se realizaron experimentos de convección termal y mezcla por contraste de densidad. Se usaron técnicas de atenuación de luz y Schlieren sintético, además de métodos de segmentación de imágenes basados en principios variacionales, los cuales permitieron obtener interesantes resultados visuales del proceso de transporte. Se demostró que la aplicación del método optical flow permite reconstruir el mapa de temperaturas en celdas Hele-Shaw con una mejor resolución de imagen que el algoritmo PIV digital, obteniendo resultados acordes a lo esperando en sistemas geotermales sedimentarios. Además, se muestra experimentalmente que el uso de segmentación multifase es ideal para calcular propiedades físicas del proceso de mezcla, además de cantidades relacionadas con el transporte escalar, sin conocer a priori los valores de cantidades físicas tales como la densidad y velocidad de flujo