Orbitales, ont démontré que les multiplicités dans une representation induitetotale sont données par les valeurs en q = 1 des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés aux groupes symétriques. Dans ma thèse, j’ai introduit lanotion de dérivée partielle qui raffine celle de Zelevinksy et s’identifie enq = 1, à l’exponentielle formelle de la q-dérivée de Kashiwara sur l’algèbrequantique. A l’aide de cette notion et en explorant la géométrie des variétésorbitales, je construis une procédure de symétrisation des multisegments mepermettant, en particulier, de prouver une conjecture de Zelevinsky portantsur une propiété d’indépendance de l’induite parabolique totale. Je développepar ailleurs une stratégie afin de calculer les multiplicités dans une induiteparabolique générale en utilisant le produit de faisceaux pervers de Lusztig. / Ariki and Ginzburg, after the previous work of Zelevinsky on orbital varieties,proved that multiplicities in a total parabolically induced representations aregiven by the value at q = 1 of Kazhdan-Lusztig Polynomials associated to thesymmetric groups. In my thesis I introduce the notion of partial derivativewhich refines the Zelevinsky derivative and show that it can be identified withthe formal exponential of the q-derivative of Kashiwara with q=1. With thehelp of this notion, I exploit the geometry of the nilpotent orbital varietiesto construct a symmetrization process for the multi-segments, which allowsme to proove a conjecture of Zelevinsky on the property of the independenceof the total parabolic induction. On the other hand, I develop a strategyto calculate the multiplicity in a general parabolic induction by using theLusztig product of perverse sheaves.

La théorie des groupes de Coxeter, qui a pour origine l'étude des groupes<br /> d'isométries, permet de relier entre eux divers domaines d'algèbre et de<br /> géométrie, allant de la théorie des representations (des groupes de Coxeter<br /> et de Lie, des algèbres de Lie et de Hecke) et de la géométrie algébrique<br /> (variétés de Schubert) à la combinatoire (ordre de Bruhat). Les polynômes<br /> de Kazhdan-Lusztig apparaissent sous des formes assez différentes dans plusieurs<br /> de ces domaines : ces polynômes <br /> peuvent être définis comme coordonnées d'une base<br /> remarquable de l'algèbre de Hecke (ce qui donne une représentation non triviale<br /> de cette algèbre), leur valeur au point 1 intervient dans la décomposition de certains<br /> modules de Verma, et leur coefficients peuvent être interprétés comme des dimensions<br /> de certains espaces d'homologie locale. La définition originale de ces polynômes<br /> se traduit par une formule de récurrence compliquée qui conduit naturellement à<br /> s'interroger sur une éventuelle définition purement combinatoire. Ce rapport essaye<br /> de montrer quelques développements récents dans les tentatives de réponse à cette<br /> question. Notre résultat principal est le suivant : un isomorphisme entre<br /> deux intervalles initiaux préserve les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Nous explicitons <br /> également des arguments (théoriques et calculatoires)<br /> tendant à confirmer la conjecture que cela reste vrai pour un isomorphisme entre des intervalles<br /> complètement compressibles dans des groupes de Coxeter finis.\newline<br /><br /> Mots-clés : groupe de Coxeter, polynôme de Kazhdan-Lusztig,<br /> sous-groupe de réflections, intervalle de Bruhat, couplage distingué,<br /> intervalle complètement compressible