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Neste trabalho, inicialmente, apresentamos uma classe de núcleos positivos definidos, os núcleos de Mercer. As funções nesta classe se enquadram na representação de núcleos dada pelo conhecido Teorema de Mercer. Exploramos algumas de suas propriedades convenientes para o contexto do trabalho e construímos seu espaço nativo. Em seguida, tratamos dos núcleos em multiescalas, um caso particular dos núcleos de Mercer. Após estabelecer algumas propriedades interessantes destes núcleos, analisamos o operador integral gerado por um núcleo em multiescalas, no contexto \'L POT.2\' , considerando os seguintes aspectos: limitação, compacidade e positividade do operador, especificidades da imagem do operador e informações sobre seus autovalores e autofunções. Analisamos ainda algumas propriedades do operador integral envolvendo o espaço nativo do núcleo em multiescalas / We study Mercer like kernels, a very special class of positive definite kernels possessing the description given by many results labeled as Mercer\'s Theorem. We explore some of their properties which are needed in the development of this work and construct their native space. In the second half of the work, we consider Mercer kernels defined by a multi-scale procedure. After establishing some of its properties, we analyze integral operators generated by multi-scale kernels, in the \'L POT.2\' context, centering on the following aspects: boundedness, compactness, positiveness, eigenvalues and eigen- functions. We also consider additional properties of the operator, mainly those involving the native space of the multi-scale kernel

Neste trabalho, inicialmente, apresentamos uma classe de núcleos positivos definidos, os núcleos de Mercer. As funções nesta classe se enquadram na representação de núcleos dada pelo conhecido Teorema de Mercer. Exploramos algumas de suas propriedades convenientes para o contexto do trabalho e construímos seu espaço nativo. Em seguida, tratamos dos núcleos em multiescalas, um caso particular dos núcleos de Mercer. Após estabelecer algumas propriedades interessantes destes núcleos, analisamos o operador integral gerado por um núcleo em multiescalas, no contexto \'L POT.2\' , considerando os seguintes aspectos: limitação, compacidade e positividade do operador, especificidades da imagem do operador e informações sobre seus autovalores e autofunções. Analisamos ainda algumas propriedades do operador integral envolvendo o espaço nativo do núcleo em multiescalas / We study Mercer like kernels, a very special class of positive definite kernels possessing the description given by many results labeled as Mercer\'s Theorem. We explore some of their properties which are needed in the development of this work and construct their native space. In the second half of the work, we consider Mercer kernels defined by a multi-scale procedure. After establishing some of its properties, we analyze integral operators generated by multi-scale kernels, in the \'L POT.2\' context, centering on the following aspects: boundedness, compactness, positiveness, eigenvalues and eigen- functions. We also consider additional properties of the operator, mainly those involving the native space of the multi-scale kernel

Esta tese propõe uma metodologia baseada em métodos de kernel, teoria fuzzy e probabilidade para tratar conjuntos de dados cujas observações são conjuntos de pontos. As medidas de probabilidade e os conjuntos fuzzy são usados para modelar essas observações. Posteriormente, graças a kernels definidos sobre medidas de probabilidade, ou em conjuntos fuzzy, é feito o mapeamento implícito dessas medidas de probabilidade, ou desses conjuntos fuzzy, para espaços de Hilbert com kernel reproduzível, onde a análise pode ser feita com algum método kernel. Usando essa metodologia, é possível fazer frente a uma ampla gamma de problemas de aprendizado para esses conjuntos de dados. Em particular, a tese apresenta o projeto de modelos de descrição de dados para observações modeladas com medidas de probabilidade. Isso é conseguido graças ao mergulho das medidas de probabilidade nos espaços de Hilbert, e a construção de esferas envolventes mínimas nesses espaços de Hilbert. A tese apresenta como esses modelos podem ser usados como classificadores de uma classe, aplicados na tarefa de detecção de anomalias grupais. No caso que as observações sejam modeladas por conjuntos fuzzy, a tese propõe mapear esses conjuntos fuzzy para os espaços de Hilbert com kernel reproduzível. Isso pode ser feito graças à projeção de novos kernels definidos sobre conjuntos fuzzy. A tese apresenta como esses novos kernels podem ser usados em diversos problemas como classificação, regressão e na definição de distâncias entre conjuntos fuzzy. Em particular, a tese apresenta a aplicação desses kernels em problemas de classificação supervisionada em dados intervalares e teste kernel de duas amostras para dados contendo atributos imprecisos. / This thesis proposes a methodology based on kernel methods, probability measures and fuzzy sets, to analyze datasets whose individual observations are itself sets of points, instead of individual points. Fuzzy sets and probability measures are used to model observations; and kernel methods to analyze the data. Fuzzy sets are used when the observation contain imprecise, vague or linguistic values. Whereas probability measures are used when the observation is given as a set of multidimensional points in a $D$-dimensional Euclidean space. Using this methodology, it is possible to address a wide range of machine learning problems for such datasets. Particularly, this work presents data description models when observations are modeled by probability measures. Those description models are applied to the group anomaly detection task. This work also proposes a new class of kernels, \\emph{the kernels on fuzzy sets}, that are reproducing kernels able to map fuzzy sets to a geometric feature spaces. Those kernels are similarity measures between fuzzy sets. We give from basic definitions to applications of those kernels in machine learning problems as supervised classification and a kernel two-sample test. Potential applications of those kernels include machine learning and patter recognition tasks over fuzzy data; and computational tasks requiring a similarity measure estimation between fuzzy sets.

Esta tese propõe uma metodologia baseada em métodos de kernel, teoria fuzzy e probabilidade para tratar conjuntos de dados cujas observações são conjuntos de pontos. As medidas de probabilidade e os conjuntos fuzzy são usados para modelar essas observações. Posteriormente, graças a kernels definidos sobre medidas de probabilidade, ou em conjuntos fuzzy, é feito o mapeamento implícito dessas medidas de probabilidade, ou desses conjuntos fuzzy, para espaços de Hilbert com kernel reproduzível, onde a análise pode ser feita com algum método kernel. Usando essa metodologia, é possível fazer frente a uma ampla gamma de problemas de aprendizado para esses conjuntos de dados. Em particular, a tese apresenta o projeto de modelos de descrição de dados para observações modeladas com medidas de probabilidade. Isso é conseguido graças ao mergulho das medidas de probabilidade nos espaços de Hilbert, e a construção de esferas envolventes mínimas nesses espaços de Hilbert. A tese apresenta como esses modelos podem ser usados como classificadores de uma classe, aplicados na tarefa de detecção de anomalias grupais. No caso que as observações sejam modeladas por conjuntos fuzzy, a tese propõe mapear esses conjuntos fuzzy para os espaços de Hilbert com kernel reproduzível. Isso pode ser feito graças à projeção de novos kernels definidos sobre conjuntos fuzzy. A tese apresenta como esses novos kernels podem ser usados em diversos problemas como classificação, regressão e na definição de distâncias entre conjuntos fuzzy. Em particular, a tese apresenta a aplicação desses kernels em problemas de classificação supervisionada em dados intervalares e teste kernel de duas amostras para dados contendo atributos imprecisos. / This thesis proposes a methodology based on kernel methods, probability measures and fuzzy sets, to analyze datasets whose individual observations are itself sets of points, instead of individual points. Fuzzy sets and probability measures are used to model observations; and kernel methods to analyze the data. Fuzzy sets are used when the observation contain imprecise, vague or linguistic values. Whereas probability measures are used when the observation is given as a set of multidimensional points in a $D$-dimensional Euclidean space. Using this methodology, it is possible to address a wide range of machine learning problems for such datasets. Particularly, this work presents data description models when observations are modeled by probability measures. Those description models are applied to the group anomaly detection task. This work also proposes a new class of kernels, \\emph{the kernels on fuzzy sets}, that are reproducing kernels able to map fuzzy sets to a geometric feature spaces. Those kernels are similarity measures between fuzzy sets. We give from basic definitions to applications of those kernels in machine learning problems as supervised classification and a kernel two-sample test. Potential applications of those kernels include machine learning and patter recognition tasks over fuzzy data; and computational tasks requiring a similarity measure estimation between fuzzy sets.