In der Ramsey Theorie fuer Graphen haben Burr und Erdos vor nunmehr fast dreissig Jahren zwei Vermutungen formuliert, die sich als richtungsweisend erwiesen haben. Es geht darum diejenigen Graphen zu charakterisieren, deren Ramsey Zahlen linear in der Anzahl der Knoten wachsen. Diese Vermutungen besagen, dass Ramsey Zahlen linear fuer alle degenerierten Graphen wachsen und dass die Ramsey Zahlen von Wuerfeln linear wachsen. Ein Ziel dieser Dissertation ist es, abgeschwaechte Varianten dieser Vermutungen zu beweisen. In der topologischen Ramseytheorie bewies Kojman vor kurzem eine topologische Umkehrung des Satzes von Hindman und fuehrte gleichzeitig sogenannte Hindman-Raeume und van der Waerden-Raeume ein (beide sind eine Teilmenge der folgenkompakten Raeume), die jeweils zum Satz von Hindman beziehungsweise zum Satz von van der Waerden korrespondieren. In der Dissertation wird zum einen eine Verstaerkung der Umkehrung des Satzes von van der Waerden bewiesen. Weiterhin wird der Begriff der Differentialkompaktheit eingefuehrt, der sich in diesem Zusammenhang ergibt und der eng mit Hindman-Raeumen verknuepft ist. Dabei wird auch die Beziehung zwischen Differentialkompaktheit und anderen topologischen Raeumen untersucht. Im letzten Abschnitt des zweiten Teils werden kompakte dynamische Systeme verwendet, um ein klassisches Ramsey-Ergebnis von Brown und Hindman et al. ueber stueckweise syndetische Mengen ueber natuerlichen Zahlen und diskreten Halbgruppen auf lokal zusammenhaengende Halbgruppen zu verallgemeinern. / In graph Ramsey theory, Burr and Erdos in 1970s posed two conjectures which may be considered as initial steps toward the problem of characterizing the set of graphs for which Ramsey numbers grow linearly in their orders. One conjecture is that Ramsey numbers grow linearly for all degenerate graphs and the other is that Ramsey numbers grow linearly for cubes. Though unable to settle these two conjectures, we have contributed many weaker versions that support the likely truth of the first conjecture and obtained a polynomial upper bound for the Ramsey numbers of cubes that considerably improves all previous bounds and comes close to the linear bound in the second conjecture. In topological Ramsey theory, Kojman recently observed a topological converse of Hindman's theorem and then introduced the so-called Hindman space and van der Waerden space (both of which are stronger than sequentially compact spaces) corresponding respectively to Hindman's theorem and van der Waerden's theorem. In this thesis, we will strengthen the topological converse of Hindman's theorem by using canonical Ramsey theorem, and introduce differential compactness that arises naturally in this context and study its relations to other spaces as well. Also by using compact dynamical systems, we will extend a classical Ramsey type theorem of Brown and Hindman et al on piecewise syndetic sets from natural numbers and discrete semigroups to locally connected semigroups.

Latente Gauß-Prozess-Modelle (latent Gaussian process models) werden von Wissenschaftlern benutzt, um verborgenen Muster in Daten zu er- kennen, Expertenwissen in probabilistische Modelle einfließen zu lassen und um Vorhersagen über die Zukunft zu treffen. Diese Modelle wurden erfolgreich in vielen Gebieten wie Robotik, Geologie, Genetik und Medizin angewendet. Gauß-Prozesse definieren Verteilungen über Funktionen und können als flexible Bausteine verwendet werden, um aussagekräftige probabilistische Modelle zu entwickeln. Dabei ist die größte Herausforderung, eine geeignete Inferenzmethode zu implementieren. Inferenz in probabilistischen Modellen bedeutet die A-Posteriori-Verteilung der latenten Variablen, gegeben der Daten, zu berechnen. Die meisten interessanten latenten Gauß-Prozess-Modelle haben zurzeit nur begrenzte Anwendungsmöglichkeiten auf großen Datensätzen. In dieser Doktorarbeit stellen wir eine neue effiziente Inferenzmethode für latente Gauß-Prozess-Modelle vor. Unser neuer Ansatz, den wir augmented variational inference nennen, basiert auf der Idee, eine erweiterte (augmented) Version des Gauß-Prozess-Modells zu betrachten, welche bedingt konjugiert (conditionally conjugate) ist. Wir zeigen, dass Inferenz in dem erweiterten Modell effektiver ist und dass alle Schritte des variational inference Algorithmus in geschlossener Form berechnet werden können, was mit früheren Ansätzen nicht möglich war. Unser neues Inferenzkonzept ermöglicht es, neue latente Gauß-Prozess- Modelle zu studieren, die zu innovativen Ergebnissen im Bereich der Sprachmodellierung, genetischen Assoziationsstudien und Quantifizierung der Unsicherheit in Klassifikationsproblemen führen. / Latent Gaussian process (GP) models help scientists to uncover hidden structure in data, express domain knowledge and form predictions about the future. These models have been successfully applied in many domains including robotics, geology, genetics and medicine. A GP defines a distribution over functions and can be used as a flexible building block to develop expressive probabilistic models. The main computational challenge of these models is to make inference about the unobserved latent random variables, that is, computing the posterior distribution given the data. Currently, most interesting Gaussian process models have limited applicability to big data. This thesis develops a new efficient inference approach for latent GP models. Our new inference framework, which we call augmented variational inference, is based on the idea of considering an augmented version of the intractable GP model that renders the model conditionally conjugate. We show that inference in the augmented model is more efficient and, unlike in previous approaches, all updates can be computed in closed form. The ideas around our inference framework facilitate novel latent GP models that lead to new results in language modeling, genetic association studies and uncertainty quantification in classification tasks.