Moderne Methoden für maschinelles Lernen (ML) spielen heutzutage eine wichtige Rolle in der Wissenschaft und Industrie. Viele umfangreiche ML-Modelle basieren auf tiefen künstlichen neuronalen Netzen (KNN), welche großartige Erfolge erzielen, wenn große Datenmengen zur Verfügung stehen. In Fällen von spärlichen Datenmengen werden KNNe übertroffen von ML-Methoden, welche auf Gaußschen Prozessen (GP) basieren, aufgrund ihrer Interpretierbarkeit, Widerständigkeit gegenüber Überanpassung (Overfitting) und der Bereitstellung von verlässlichen Fehlermaßen. GPe wurden bereits erfolgreich angewandt für Mustererkennung und deren Extrapolation. Letztere ist kontrollierbar aufgrund der kleinen Anzahl von interpretierbaren Hyperparametern. In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir eine Methode basierend auf GPen für die Extraktion von diabatischen Mustern aus Energiespektren, welche sich adiabatisch unter der Variation eines Parameters des Hamiltonoperators verhalten. Die resultierenden diabatischen Mannigfaltigkeiten (oder Energieflächen) weisen Kreuzungen auf, wohingegen die originalen (adiabatischen) Energiespektren Kreuzungen vermeiden. Im Bezug auf hoch angeregte, klassisch chaotische Dynamik demonstrieren wir, dass unsere Methode vollständige diabatische Spektren generiert anhand von zwei Beispielsystemen: zwei gekoppelte Morse-Oszillatoren und Wasserstoff im Magnetfeld. In beiden Fällen werden GPe trainiert anhand weniger klassischer Trajektorien, um deren Wirkungen zu interund extrapolieren über den gesamten Energie- und Parameterraum, und Punkte identifiziert, an denen die semiklassische Einstein-Brillouin-Keller (EBK)-Quantisierungsbedingung erfüllt ist. Obwohl die EBK-Methode auf reguläre klassische Dynamik beschränkt ist, erlaubt die Interpretierbarkeit von GPen eine kontrollierte Extrapolation zu Regionen, in denen keine Regularität mehr vorhanden ist. Dadurch können semiklassische diabatische Spektren ins chaotische Regime fortgesetzt werden, in welchem diese nicht mehr wohldefiniert sind. Des Weiteren untersuchen wir den Ursprung resonanter Dynamik im System zweier gekoppelter Morse-Oszillatoren und deren Beitrag zu den semiklassischen Spektren, welche Energien entlang stark abgestoßener adiabatischer Flächen liefern. Im Fall von Wasserstoff im Magnetfeld zeigen wir, dass eine geeignete Skalierung der Koordinaten durch die Feldstärke die Generierung einer unendlichen Folge von semiklassischen Energien mit nur einer EBK-quantisierten Trajektorie erlaubt. Die Implementierung von Randbedingungen in GPen, sowie Skaliermethoden für höhere Dimensionen und deren Eigenschaften werden diskutiert. / Modern supervised machine learning (ML) techniques have taken a prominent role in academia and industry due to their powerful predictive capabilities. While many large-scale ML models utilize deep artificial neural networks (ANNs), which have shown great success if large amounts of data are provided, ML methods employing Gaussian processes (GPs) outperform ANNs in cases with sparse training data due to their interpretability, resilience to overfitting, and provision of reliable uncertainty measures. GPs have already been successfully applied to pattern discovery and extrapolation. The latter can be done in a controlled manner due to their small numbers of interpretable hyperparameters. In this work we develop an approach based on GPs to extract diabatic patterns from energy spectra, adiabatic under variation of a parameter of the Hamiltonian. The emerging diabatic manifolds (or energy surfaces) exhibit crossings where the original (adiabatic) energy spectra avoid to cross. In the context of highly excited, classically chaotic dynamics, we demonstrate that our GP regression approach can generate complete diabatic energy spectra with two exemplary systems: two coupled Morse oscillators and hydrogen in a magnetic field. For both we train GPs with few classical trajectories in order to inter- and extrapolate actions throughout the whole energy and parameter range to identify all points where the semiclassical Einstein-Brillouin-Keller (EBK) quantization condition is fulfilled. While the direct EBK method is restricted to regular classical dynamics, the interpretability of the GPs allow for controlled extrapolation into regions where no more regular trajectories exist due to irregular motion. Hence, semiclassical diabatic spectra can be continued into chaotic regions, where such manifolds are no longer well-defined. Further, we investigate the origin of resonant motion in the coupled Morse oscillator system and their contributions to the semiclassical spectra, which provide energies along strongly repelled adiabatic surfaces. For the hydrogen atom in a magnetic field we show that a proper scaling of the coordinates by the magnetic field strength allows for the extraction of an infinite series of semiclassical energies with one single trajectory which fulfills the EBK condition. The implementation of boundary conditions into GPs, as well as scaling techniques to higher dimensions and their properties are discussed.

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Latente Gauß-Prozess-Modelle (latent Gaussian process models) werden von Wissenschaftlern benutzt, um verborgenen Muster in Daten zu er- kennen, Expertenwissen in probabilistische Modelle einfließen zu lassen und um Vorhersagen über die Zukunft zu treffen. Diese Modelle wurden erfolgreich in vielen Gebieten wie Robotik, Geologie, Genetik und Medizin angewendet. Gauß-Prozesse definieren Verteilungen über Funktionen und können als flexible Bausteine verwendet werden, um aussagekräftige probabilistische Modelle zu entwickeln. Dabei ist die größte Herausforderung, eine geeignete Inferenzmethode zu implementieren. Inferenz in probabilistischen Modellen bedeutet die A-Posteriori-Verteilung der latenten Variablen, gegeben der Daten, zu berechnen. Die meisten interessanten latenten Gauß-Prozess-Modelle haben zurzeit nur begrenzte Anwendungsmöglichkeiten auf großen Datensätzen. In dieser Doktorarbeit stellen wir eine neue effiziente Inferenzmethode für latente Gauß-Prozess-Modelle vor. Unser neuer Ansatz, den wir augmented variational inference nennen, basiert auf der Idee, eine erweiterte (augmented) Version des Gauß-Prozess-Modells zu betrachten, welche bedingt konjugiert (conditionally conjugate) ist. Wir zeigen, dass Inferenz in dem erweiterten Modell effektiver ist und dass alle Schritte des variational inference Algorithmus in geschlossener Form berechnet werden können, was mit früheren Ansätzen nicht möglich war. Unser neues Inferenzkonzept ermöglicht es, neue latente Gauß-Prozess- Modelle zu studieren, die zu innovativen Ergebnissen im Bereich der Sprachmodellierung, genetischen Assoziationsstudien und Quantifizierung der Unsicherheit in Klassifikationsproblemen führen. / Latent Gaussian process (GP) models help scientists to uncover hidden structure in data, express domain knowledge and form predictions about the future. These models have been successfully applied in many domains including robotics, geology, genetics and medicine. A GP defines a distribution over functions and can be used as a flexible building block to develop expressive probabilistic models. The main computational challenge of these models is to make inference about the unobserved latent random variables, that is, computing the posterior distribution given the data. Currently, most interesting Gaussian process models have limited applicability to big data. This thesis develops a new efficient inference approach for latent GP models. Our new inference framework, which we call augmented variational inference, is based on the idea of considering an augmented version of the intractable GP model that renders the model conditionally conjugate. We show that inference in the augmented model is more efficient and, unlike in previous approaches, all updates can be computed in closed form. The ideas around our inference framework facilitate novel latent GP models that lead to new results in language modeling, genetic association studies and uncertainty quantification in classification tasks.