In dieser Arbeit werden zwei parametrische Aufgaben untersucht, Optimierungsprobleme und Variationsungleichungen. Beide Probleme werden unter der urspruenglich fuer einparametrische Optimierungsprobleme definierten Regularitaet im Sinne von Jongen, Jonker und Twilt betrachtet. Unter der oben genannten Regularitaet bezueglich Optimierungsproblemen werden zwei spezielle Einbettungen studiert. Ausgehend von der Kenntnis eines inneren Punktes des zulaessigen Bereiches eines Optimierungsproblems P wird eine Einbettung definiert, deren parametrische zulaessige Menge fuer t<1 in Inneren von P ist. Fuer t=0 ist die Loesung trivial und fuer t=1 wird das Problem P erzeugt. Die Erreichbarkeit des Parameterwertes t=1 bei der Benutzung von Kurvenverfolgungsverfahren mit Spruengen wird eroertert. Durch die Unterscheidung der verschiedenen Richtungen in t, in denen ein Rueckkehrpunkt auftreten kann, wird bewiesen, dass die genannte Methode erfolgreich ist (bei erfolgreichen Spruengen). Fuer diese Einbettung wird die Voraussetzung der Regularitaet untersucht und ein Rechtfertigungssatz bewiesen. Durchgefuehrt wird ein kurzer Vergleich mit einer aehnlichen Homotopie in der Literatur. Fuer die zweite untersuchte Einbettung (eine Penalty-Einbettung aus der Literatur) wird ein Satz zur Rechtfertigung der Regularitaetsvoraussetzung bewiesen. Die Regularitaet im Sinne von Jongen, Jonker und Twilt wird fuer den Fall von Variationsungleichungen definiert und die 5 Typen neu beschrieben. Die Unterschiede zu den Typen bei Optimierungsproblemen ergeben sich aus der Tatsache, dass die Symmetrie der Hessematrix der Lagrangefunktion bezueglich x verloren geht. Das erfordert die sorfaeltige Umformulierung einiger Bedingungen. Auss erdem musste bei den Beweisen der lokalen Eigenschaften (geometrische Struktur, Aenderung der charakteristischen Groessen) diese neue Situation beruecksichtigt werden. Ebenfalls wird der generische Charakter dieser Regularitaet nachgewiesen. Aussagen ueber die Existenz verbindender Kurven zwischen t=0 und t=1 unter der Voraussetzung der Regularitaet werden angefuehrt. Die gesamte Betrachtung der genannten Regularitaet fuer einparametrische Variationsungleichungen und die daraus resultierenden Schluss folgerungen liefern einen nuetzlichen Beitrag zur Untersuchung von Variationsungleichungen. / We consider two types of one-parametric problems: optimization problems and variational inequalities. Both are studied in relationship with the regularity approach due to Jongen, Jonker and Twilt (JJT-regularity), which was defined initially only for one-parametric optimization problems. The properties of two special embeddings are analysed under the assumption of JJT-regularity. Given an optimization problem P, the first embedding analysed is defined with use of an interior point of the feasible set. It holds for this embedding, that the parametric feasible set for tglobal approach. Statements concerning the existence of solution curves connecting problems (for instance t=0 and t=1) under the defined regularity are studied in the last section. The consideration of JJT-regularity for the case of variational inequalities is a new and usefull aspect for the study of this problem.

Diese Arbeit ist motiviert durch das allgemeine Interesse an den Modulräumen von basierten SU(r)-Instantonen auf der vierdimensionalen Sphäre und auf der zusammenhängenden Summe von komplexen projektiven Ebenen, welche als Modulräume von gerahmten holomorphen Vektorbündeln auf Aufblasungen von Regelflächen interpretiert werden können. Genauer gesagt, betrachten wir Modulräume von basierten SU(r)-Instantonen auf all denjenigen selbstdualen vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten, welche eine Fläche vom Grad 1 enthalten, die selbst wiederum eine Twistorfaser enthält. Dies trifft zum Beispiel für die wohluntersuchte Klasse von LeBrun-Twistorräumen zu. Es erfolgt eine Darstellung des notwendigen Hintergrundes dieses Zusammenhanges. Inspiriert durch Hurtubise's Artikel "Instantons and Jumping Lines" untersuchen wir das lokale Sprungverhalten dieser gerahmten Vektorbündel und führen den Begriff des gerahmten exzeptionellen lokalen Sprunges ein. Wir beschreiben die gerahmten gewöhnlichen und exzeptionellen Sprünge durch Monaden und untersuchen die geometrischen Eigenschaften ihrer feinen Modulräume. Aufbauend auf dieser Untersuchung und den Resultaten von Boyer, Hurtubise, Mann, Milgram und Tian, worin die Atiyah-Jones-Vermutung für basierte SU(r)-Instantonen auf der vierdimensionalen Sphäre bewiesen wird, zeigen wir homologische und homotopische Charge-Stabilität für alle betrachteten Modulräume basierter SU(r)-Instantonen. Darüberhinaus stellen wir eine glatte Kompaktifizierung dieser Modulräume vor. / This work is motivated by the general interest in moduli spaces of based SU(r)-instantons on the four dimensional sphere and on the connected sum of complex projective planes, which can be interpreted as moduli spaces of framed holomorphic vector bundles on blown up ruled surfaces. To be precise, we consider moduli of based SU(r)-instantons over all self-dual four dimensional manifolds, where the twistor fibration contains a surface of degree 1 which itself contains a twistor fibre. This applies for instance to the well-examined class of LeBrun-twistor spaces. We display the necessary background of this relationship. Inspired by Hurtubise's paper "Instantons and Jumping Lines", we study the local jumping behaviour of such framed vector bundles and introduce the concept of framed exceptional local jumps. We describe framed ordinary and exceptional jumps by monads and examine the geometric properties of their fine moduli spaces. Based on this examination and on the results of Boyer, Hurtubise, Mann, Milgram and Tian, where the Atiyah-Jones conjecture for based SU(r)-instantons on the four dimensional sphere is proved, we show homological and homotopical charge stability for all considered moduli of based SU(r)-instantons. Moreover, we present a smooth compactification of these moduli spaces.

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Velleman beweist die Konsistenz der Existenz vereinfachte Gap 2 Moraste (ein Begriff gleichwertig zu den ursprünglichen Morasten, geschafft von Jensen). Wir haben einen noch einfachen Begriff des vereinfachten Morastes in der Dissertation vorgeschlagen, Details aufgefüllt und wesentlich auch einen verschiedenen Beweis des Satzes erfunden und zwar in beide Stufe des Forcingverfahrens. Wir benötigen auch keine Squarefunktionereihenfolge (die ganz Kohärenzvoraussetzung fehlt aber ist linear und konfinal) sondern ein ``erratendes'' Verfahren für Sequenze, das nicht fest ist und nicht die ganze Kohärenzbedigung erfüllt wie bei Velleman. Wir hoffen, wir haben so eingelegt die Basis für einen zukunftigen Beweis des allgemeines Falls n in ZFC. / Velleman proved the consistency of the existence of simplified gap 2 morasses (equivalent to the concrete morasses defined by Jensen) using a two stage forcing. We give an essentially different proof of the same result and fill up some details from Velleman's paper which were not clear or imcomplete. In fact the proof uses a simpler definition of simplified gap 2 morasses. We have also eliminated the use of square-like sequences in the second stage, employing a ``guessing'' procedure for sequences which are not fixed and do not satisfy full coherence requirement. With these steps we hope to have laid the foundation for a future proof of gap n morasses in ZFC.

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Es wird sowohl das klassischen Kreisproblem als auch dessen Verallgemeinerung auf geometrisch endliche Fuchssche Gruppen betrachten. Insbesondere werden obere und untere Schranken für die jeweiligen Zählfunktionen angeben. Mit einem Computerprogramm wird die Zählfunktion einer Heckegruppe bestimmt und damit eine Abschätzung ihres Konvergenzexponenten gegeben.

Die hier dargelegte Dissertation ist motiviert durch die Vorschläge von Joyce, Doan und Walpuski zur Definitionen enumerativer Invarianten für G2-Mannigfaltigkeit, durch das Zählen gewisser kalibrierter Untermannigfaltigkeiten, sogenannter assoziativen Untermannigfaltigkeiten. In Kapitel 1, werde ich Definitionen und grundlegende Fakten über G2-Mannigfaltigkeit und deren assoziative Untermannigfaltigkeit wiederholen. Darüber hinaus erläutere ich die Konstruktion von G2-Mannigfaltigkeit als verdrehte verbundener Summe. Kapitel 2 schafft die nötige Grundlage für das darauf folgende dritte Kapitel. Hier definiere ich den Modul-Raum der asymptotisch zylindrischen assoziativen Untermannigfaltigkeiten zusammen mit seiner natürlichen Topologie und zeige, dass der Modul-Raum lokal homeomorph zur Urbild-Menge der Null einer glatten Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Räu- men ist. In besonderen Fällen ist dieser Modul-Raum eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit des Modul Raums der holomorphen Kurven einer asymptotisch zylindrischen Calabi-Yau Man- nigfaltigkeit. In Kapitel 3 beweise ich ein Klebe-Theorem für ein Paar von asymptotisch zylindrischen as- soziativen Untermannigfaltigkeiten in einem zusammenpassenden Paar von asymptotisch zylin- drischen G2-Mannigfaltigkeiten. Hiermit konstruiere ich neue geschlossene und starre (rigid) assoziative Untermannigfaltigkeiten in verdrehten verbundenen Summe G2-Mannigfaltigkeiten. In Kapitel 4 untersuche ich den Modul-Raum der konisch singulären assoziativen Un- termannigfaltigkeiten in G2-Mannigfaltigkeiten. Durch das Umformulieren des Indexes des Operators, der die Deformationstheorie kontrolliert, in bestimmte Stabilität-Indizes des zu- grundeliegenden assoziativen Kegels begründe ich, dass in einem generischen Pfad in dem Raum der ko-geschlossenen G2-Strukturen keine asymptotisch konischen assoziative Unter- mannigfaltigkeiten existieren, die mindestens eine Singularität besitzen, die auf einem Kegel mit Stabiltätsindex größer als eins modeliert werden. Dieses Resultat lässt sich auf alle speziellen Lagrangesche-Kegel außer den Harvey-Lawson-T2-Kegel und die Vereinigung zweier speziellen Lagrangesche-Flächen anwenden. Zusätzlich lässt sich das Ergebnis auch auf alle konischen assoziativen Untermannigfaltigkeiten anwenden, deren zugrundeliegende Verschlingung (link) holomorphe Kurven mit Null-Torsion in S6 sind. Des Weiteren dienen Teile des vierten Kapitels als Grundlage für das darauf folgende Kapitel 5. Aufgrund einiger Übergangsphänomene entlang eines generischen Pfades von G2-Strukturen, führt das naive Zählen von assoziativen Untermannigfaltigkeiten zu keiner Invariante. Tat- sächlich wurde vermutet, dass a) eine assoziative Untermannigfaltigkeit aus einer assoziativen Untermannigfaltigkeit mit Selbstsschnitt (self-intersection) geboren werden kann, und, dass b) drei assoziative Untermannigfaltigkeiten aus einer konisch singulären assoziativen Un- termannigfaltigkeit, deren Singularität durch den Harvey-Lawson-T2-Kegel modelliert wird, entspringen. In Kapitel 5, beweise ich ein Desingularitätstheorem für konisch singulären assoziative Untermannigfaltigkeit entlang eines Pfades von ko-geschlossenen G2-Strukturen. Somit verifiziere ich Vermutung b) bewiesen und teilweise auch Vermutung a). / The dissertation presented here is motivated from the proposals made by Joyce, Doan and Walpuski to define enumerative invariants of G2-manifolds by counting certain calibrated submanifolds, called associative submanifolds. In Chapter 1, I review the definitions and basic facts of G2-manifolds and associative submanifolds. Moreover, I explain the construction of G2-manifolds as twisted connected sums. Chapter 2 serves as a necessary groundwork for Chapter 3. Here, I define the moduli space of asymptotically cylindrical associative submanifolds with its natural topology and prove that the moduli space is locally homeomorphic to the zero set of a smooth map between two finite-dimensional spaces. In the best scenario, this moduli space is a Lagrangian submanifold of the moduli space of holomorphic curves in the asymptotic Calabi-Yau 3-fold. In Chapter 3, I prove a gluing theorem for a pair of asymptotically cylindrical associative submanifolds in a matching pair of asymptotically cylindrical G2-manifolds. Using this I construct new closed and rigid associative submanifolds of twisted connected sum G2-manifolds. In Chapter 4, I study the moduli space of conically singular associative submanifolds in G2-manifolds. By reformulating the index of the operator that controls the deformation theory in terms of certain stability-index of the associative cones, I establish that in a generic path of co-closed G2-structures there are no conically singular associative submanifolds that have at least one singularity modeled on a cone of stability-index greater than one. This result applies to all special Lagrangian cones, except the Harvey-Lawson T2-cone and a union of two special Lagrangian planes. Additionally, it applies to all associative cones whose links are null-torsion holomorphic curves in S6. Furthermore, parts of Chapter 4 also serve as a necessary groundwork for Chapter 5. The naive counting of associative submanifolds does not lead to an invariant due to several transitions that may occur along a generic path of G2-structures. In fact it was conjectured that a) an associative submanifold born out of an associative submanifold with self intersection, and b) three associative submanifolds arise from a conically singular associative submanifold whose singularity is modeled on Harvey-Lawson T2-cone. In Chapter 5, I prove a desingularization theorem for conically singular associative submanifolds along a path of co-closed G2-structures. Consequently, I verify conjecture b) and partially confirm conjecture a).

In dieser Arbeit wird eine detaillierte Analysis des konsistenten kinetischen Modells zum Kornwachstum von Fradkov durchgeführt. Dieses Modell beschreibt - basierend auf dem von Neumann--Mullins Gesetz - die Flächenänderung eines Korns abhängig von seiner Topologieklasse, d.h. der Anzahl der Kanten. Topologieänderungen werden durch Kopplungsterme zwischen den Gleichungen für die Anzahldichten der verschiedenen Topologieklassen beschrieben. Daraus resultiert ein unendlich-dimensionales System von Transportgleichungen mit tridiagonaler Kopplungsstruktur. Durch eine spezielle Wahl des Kopplungsgewichts, welche die Gleichungen nichtlinear und räumlich nichtlokal macht, wird das Modell konsistent. Nach einer Einführung wird das Modell von Fradkov im zweiten Kapitel hergeleitet; formale Rechnungen zeigen die Konsistenz des Modells auf. Im dritten Kapitel wird das Kopplungsgewicht a priori beschränkt. Dadurch kann im ersten Teil des vierten Kapitels Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für endlich-dimensionale Systeme gezeigt werden. Weitere Schranken an die Anzahldichten im fünften Kapitel ermöglichen den Grenzübergang hinsichtlich der Anzahl der Gleichungen im zweiten Teil des vierten Kapitels. Die Existenz von Lösungen des unendlich-dimensionalen Systems wird somit über eine geeignete Approximation gezeigt. Energiemethoden liefern Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit von den Daten. Im sechsten Kapitel wird das Langzeitverhalten untersucht. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf stationären Lösungen eines reskalierten Systems als Kandidaten für selbstähnliche Lösungen. Abschließend wird das Lewis''sche Gesetz asymptotisch verifiziert. / The subject matter of this thesis is a detailed analysis of the self--consistent kinetic model for grain growth introduced by Fradkov. The model is based on the von Neumann--Mullins law describing the change of area of grains according to their topological class, i.e. the number of edges they have. Topological events are performed by coupling terms between equations for the number densities of different topological classes. The resulting system of transport equations is infinite-dimensional with a tridiagonal coupling structure. Self-consistency of this kinetic model is achieved by introducing a coupling''s weight making the equations nonlinear and nonlocal in space. We start with an introduction in the first chapter. Afterwards in the second chapter we derive Fradkov''s model and carry out formal calculations to illustrate self-consistency. In the third chapter we present a priori calculations mainly allowing us to bound the nonlinearity. This enables us to prove existence and uniqueness of solutions to finite-dimensional systems in the first part of the fourth chapter. Further bounds on the number densities established in the fifth chapter allow for passing to the limit concerning the number of equations in the second part of the fourth chapter. Therefore we prove existence of solutions to the infinite-dimensional system by a suitable approximation procedure. Uniqueness and continuous dependence on the data is then provided by energy methods. The sixth chapter focusses on long-time behaviour and mainly on stationary solutions of a rescaled system as candidates for self-similar solutions. Finally we prove Lewis'' law asymptotically.

Im Gegensatz zur den monomeren Leaderpeptidasen der bakteriellen Plasmamembran bestehen die eukaryotischen Signalpeptidasen der ER-Membran aus einem heteromeren Protein-Komplex. In der Hefe S. cerevisiae setzt sich die Signalpeptidase aus den vier Membranproteinen Sec11p, Spc1p, Spc2p und Spc3p zusammen. Neben der zur prokaryontischen Leaderpeptidase homologen Untereinheit Sec11p wird auch Spc3p benötigt um die Spaltungsfunktion in der Zelle auszuüben. Die Deletion von SPC3 führt zu einer lethalen Akkumulation von sekretorischen Vorstufenproteinen in vivo, sowie zum Verlust der Spaltungsaktivität in vitro. Spc1p und Spc2p sind nicht essentiell für die Hefe. Für Spc2p konnte jedoch gezeigt werden, daß die Signalpeptidase über die Spc2p Untereinheit mit den b-Untereinheiten des Sec61-Komplexes und des Ssh1-Komplexes interagiert. Vermutlich wird es so dem Komplex ermöglicht, während des Translokationsprozesses engen Kontakt zu der im Translokationskanal befindlichen Signalsequenz aufzunehmen. Im zweiten Teil der Arbeit wurden neue Komponenten aus der ER Membran von Säugern aufgereinigt. Dabei wurde ein ribosomenfreier Sec61-Komplex entdeckt, der mit zwei weiteren Membranproteinen assoziiert ist. Die beiden neuen Membranproteine weisen Homologien zu essentiellen Untereinheiten des postranslational aktiven Sec-Komplexes der Hefe S. cerevisiae auf. Die Rolle des neu entdeckten Säugerkomplexes während der Proteintranslokation ist noch unbekannt, in der Arbeit werden mögliche Funktionen des Komplexes diskutiert. / In contrast to the monomer leaderpeptidase of the prokaryotic plasmamembrane, the eukaryotic signalpeptidase of the ER-membrane is a heteromer protein complex. In yeast the signalpeptidase consist of the four subunits Sec11p, Spc1p, Spc2p and Spc3p. Additional to Sec11p also Spc3p is essential for cell growth and cell life. The depletion of Spc3p cause lethal accumulation of precursor proteins in vivo and lost of cleavage activity in vitro. Spc1p and Spc2p are not essential for the cell. We show here, that the Spc2p subunit interacts with the ß-subunits of the Sec61- and the Ssh1-complex. These data implicate that Spc2p facilitates the interactions between different components of the translocation site. In yeast, efficient protein transport across the endoplasmic reticulum (ER) membrane may occurco-translationally or post-translationally. The latter process is mediated by a membrane protein complex that consists of the Sec61p complex and the Sec62p-Sec63p subcomplex. In contrast, in mammalian cells protein translocation is almost exclusively co-translational. This transport depends on the Sec61 complex, which is homologous to the yeast Sec61p complex and has been identified in mammals as a ribosome-bound pore-forming membrane protein complex. We report here the existence of ribosome-free mammalian Sec61 complexes that associate with two ubiquitous proteins of the ER membrane. According to primary sequence analysis both proteins display homology to the yeast proteins Sec62p and Sec63p and are therefore named Sec62 and Sec63, respectively. The probable function of the mammalian Sec61-Sec62-Sec63 complex is discussed with respect to its abundance in ER membranes, which, in contrast to yeast ER membranes, apparently lack efficient post-translational translocation activity.