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In dieser Arbeit wird eine detaillierte Analysis des konsistenten kinetischen Modells zum Kornwachstum von Fradkov durchgeführt. Dieses Modell beschreibt - basierend auf dem von Neumann--Mullins Gesetz - die Flächenänderung eines Korns abhängig von seiner Topologieklasse, d.h. der Anzahl der Kanten. Topologieänderungen werden durch Kopplungsterme zwischen den Gleichungen für die Anzahldichten der verschiedenen Topologieklassen beschrieben. Daraus resultiert ein unendlich-dimensionales System von Transportgleichungen mit tridiagonaler Kopplungsstruktur. Durch eine spezielle Wahl des Kopplungsgewichts, welche die Gleichungen nichtlinear und räumlich nichtlokal macht, wird das Modell konsistent. Nach einer Einführung wird das Modell von Fradkov im zweiten Kapitel hergeleitet; formale Rechnungen zeigen die Konsistenz des Modells auf. Im dritten Kapitel wird das Kopplungsgewicht a priori beschränkt. Dadurch kann im ersten Teil des vierten Kapitels Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für endlich-dimensionale Systeme gezeigt werden. Weitere Schranken an die Anzahldichten im fünften Kapitel ermöglichen den Grenzübergang hinsichtlich der Anzahl der Gleichungen im zweiten Teil des vierten Kapitels. Die Existenz von Lösungen des unendlich-dimensionalen Systems wird somit über eine geeignete Approximation gezeigt. Energiemethoden liefern Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit von den Daten. Im sechsten Kapitel wird das Langzeitverhalten untersucht. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf stationären Lösungen eines reskalierten Systems als Kandidaten für selbstähnliche Lösungen. Abschließend wird das Lewis''sche Gesetz asymptotisch verifiziert. / The subject matter of this thesis is a detailed analysis of the self--consistent kinetic model for grain growth introduced by Fradkov. The model is based on the von Neumann--Mullins law describing the change of area of grains according to their topological class, i.e. the number of edges they have. Topological events are performed by coupling terms between equations for the number densities of different topological classes. The resulting system of transport equations is infinite-dimensional with a tridiagonal coupling structure. Self-consistency of this kinetic model is achieved by introducing a coupling''s weight making the equations nonlinear and nonlocal in space. We start with an introduction in the first chapter. Afterwards in the second chapter we derive Fradkov''s model and carry out formal calculations to illustrate self-consistency. In the third chapter we present a priori calculations mainly allowing us to bound the nonlinearity. This enables us to prove existence and uniqueness of solutions to finite-dimensional systems in the first part of the fourth chapter. Further bounds on the number densities established in the fifth chapter allow for passing to the limit concerning the number of equations in the second part of the fourth chapter. Therefore we prove existence of solutions to the infinite-dimensional system by a suitable approximation procedure. Uniqueness and continuous dependence on the data is then provided by energy methods. The sixth chapter focusses on long-time behaviour and mainly on stationary solutions of a rescaled system as candidates for self-similar solutions. Finally we prove Lewis'' law asymptotically.

Im Gegensatz zur den monomeren Leaderpeptidasen der bakteriellen Plasmamembran bestehen die eukaryotischen Signalpeptidasen der ER-Membran aus einem heteromeren Protein-Komplex. In der Hefe S. cerevisiae setzt sich die Signalpeptidase aus den vier Membranproteinen Sec11p, Spc1p, Spc2p und Spc3p zusammen. Neben der zur prokaryontischen Leaderpeptidase homologen Untereinheit Sec11p wird auch Spc3p benötigt um die Spaltungsfunktion in der Zelle auszuüben. Die Deletion von SPC3 führt zu einer lethalen Akkumulation von sekretorischen Vorstufenproteinen in vivo, sowie zum Verlust der Spaltungsaktivität in vitro. Spc1p und Spc2p sind nicht essentiell für die Hefe. Für Spc2p konnte jedoch gezeigt werden, daß die Signalpeptidase über die Spc2p Untereinheit mit den b-Untereinheiten des Sec61-Komplexes und des Ssh1-Komplexes interagiert. Vermutlich wird es so dem Komplex ermöglicht, während des Translokationsprozesses engen Kontakt zu der im Translokationskanal befindlichen Signalsequenz aufzunehmen. Im zweiten Teil der Arbeit wurden neue Komponenten aus der ER Membran von Säugern aufgereinigt. Dabei wurde ein ribosomenfreier Sec61-Komplex entdeckt, der mit zwei weiteren Membranproteinen assoziiert ist. Die beiden neuen Membranproteine weisen Homologien zu essentiellen Untereinheiten des postranslational aktiven Sec-Komplexes der Hefe S. cerevisiae auf. Die Rolle des neu entdeckten Säugerkomplexes während der Proteintranslokation ist noch unbekannt, in der Arbeit werden mögliche Funktionen des Komplexes diskutiert. / In contrast to the monomer leaderpeptidase of the prokaryotic plasmamembrane, the eukaryotic signalpeptidase of the ER-membrane is a heteromer protein complex. In yeast the signalpeptidase consist of the four subunits Sec11p, Spc1p, Spc2p and Spc3p. Additional to Sec11p also Spc3p is essential for cell growth and cell life. The depletion of Spc3p cause lethal accumulation of precursor proteins in vivo and lost of cleavage activity in vitro. Spc1p and Spc2p are not essential for the cell. We show here, that the Spc2p subunit interacts with the ß-subunits of the Sec61- and the Ssh1-complex. These data implicate that Spc2p facilitates the interactions between different components of the translocation site. In yeast, efficient protein transport across the endoplasmic reticulum (ER) membrane may occurco-translationally or post-translationally. The latter process is mediated by a membrane protein complex that consists of the Sec61p complex and the Sec62p-Sec63p subcomplex. In contrast, in mammalian cells protein translocation is almost exclusively co-translational. This transport depends on the Sec61 complex, which is homologous to the yeast Sec61p complex and has been identified in mammals as a ribosome-bound pore-forming membrane protein complex. We report here the existence of ribosome-free mammalian Sec61 complexes that associate with two ubiquitous proteins of the ER membrane. According to primary sequence analysis both proteins display homology to the yeast proteins Sec62p and Sec63p and are therefore named Sec62 and Sec63, respectively. The probable function of the mammalian Sec61-Sec62-Sec63 complex is discussed with respect to its abundance in ER membranes, which, in contrast to yeast ER membranes, apparently lack efficient post-translational translocation activity.

Ziel dieser Arbeit ist theoretische Eigenschaften verschiedener Bootstrap Methoden zu untersuchen. Als Ergebnis führen wir die Konvergenzraten des Bootstrap-Verfahrens ein, die sich auf die Differenz zwischen der tatsächlichen Verteilung einer Statistik und der Resampling-Näherung beziehen. In dieser Arbeit analysieren wir die Verteilung der l2-Norm der Summe unabhängiger Vektoren, des Summen Maximums in hoher Dimension, des Wasserstein-Abstands zwischen empirischen Messungen und Wassestein-Barycenters. Um die Bootstrap-Konvergenz zu beweisen, verwenden wir die Gaussche Approximations technik. Das bedeutet dass man in der betrachteten Statistik eine Summe unabhängiger Vektoren finden muss, so dass Bootstrap eine erneute Abtastung dieser Summe ergibt. Ferner kann diese Summe durch Gaussche Verteilung angenähert und mit der Neuabtastung Verteilung als Differenz zwischen Kovarianzmatrizen verglichen werden. Im Allgemeinen scheint es sehr schwierig zu sein, eine solche Summe unabhängiger Vektoren aufzudecken, da einige Statistiken (zum Beispiel MLE) keine explizite Gleichung haben und möglicherweise unendlich dimensional sind. Um mit dieser Schwierigkeit fertig zu werden, verwenden wir einige neuartige Ergebnisse aus der statistischen Lerntheorie. Darüber hinaus wenden wir Bootstrap bei Methoden zur Erkennung von Änderungspunkten an. Im parametrischen Fall analysieren wir den statischen Likelihood Ratio Test (LRT). Seine hohen Werte zeigen Änderungen der Parameter Verteilung in der Datensequenz an. Das Maximum von LRT hat eine unbekannte Verteilung und kann mit Bootstrap kalibriert werden. Wir zeigen die Konvergenzraten zur realen maximalen LRT-Verteilung. In nicht parametrischen Fällen verwenden wir anstelle von LRT den Wasserstein-Abstand zwischen empirischen Messungen. Wir testen die Genauigkeit von Methoden zur Erkennung von Änderungspunkten anhand von synthetischen Zeitreihen und Elektrokardiographiedaten. Letzteres zeigt einige Vorteile des nicht parametrischen Ansatzes gegenüber komplexen Modellen und LRT. / The objective of this thesis is to explore theoretical properties of various bootstrap methods. We introduce the convergence rates of the bootstrap procedure which corresponds to the difference between real distribution of some statistic and its resampling approximation. In this work we analyze the distribution of Euclidean norm of independent vectors sum, maximum of sum in high dimension, Wasserstein distance between empirical measures, Wassestein barycenters. In order to prove bootstrap convergence we involve Gaussian approximation technique which means that one has to find a sum of independent vectors in the considered statistic such that bootstrap yields a resampling of this sum. Further this sum may be approximated by Gaussian distribution and compared with the resampling distribution as a difference between variance matrices. In general it appears to be very difficult to reveal such a sum of independent vectors because some statistics (for example, MLE) don't have an explicit equation and may be infinite-dimensional. In order to handle this difficulty we involve some novel results from statistical learning theory, which provide a finite sample quadratic approximation of the Likelihood and suitable MLE representation. In the last chapter we consider the MLE of Wasserstein barycenters model. The regularised barycenters model has bounded derivatives and satisfies the necessary conditions of quadratic approximation. Furthermore, we apply bootstrap in change point detection methods. In the parametric case we analyse the Likelihood Ratio Test (LRT) statistic. Its high values indicate changes of parametric distribution in the data sequence. The maximum of LRT has a complex distribution but its quantiles may be calibrated by means of bootstrap. We show the convergence rates of the bootstrap quantiles to the real quantiles of LRT distribution. In non-parametric case instead of LRT we use Wasserstein distance between empirical measures. We test the accuracy of change point detection methods on synthetic time series and electrocardiography (ECG) data. Experiments with ECG illustrate advantages of the non-parametric approach versus complex parametric models and LRT.

Im Rahmen dieser Arbeit wird der Aufbau einer neuartigen Anlage zur breitbandigen Messung zeitaufgelöster Fluoreszenzspektren durch Summenfreqnzbildung ("Fluorescence Upconversion") beschrieben. Breitbandig heißt hier, dass der spektrale Bereich von 425 bis 610 nm (Delta nu = 7200 1/cm) in einem einzigen Messgang erfasst wird. Die Zeitauflösung der Messung liegt nach Dispersionskorrektur bei 100 fs. Die Erfüllung der geometrischen und optischen Randbedingungen ("Phase matching") für die Summenfrequenzbildung über einen so breiten spektralen Bereich wurde durch die Wahl eines dünnen, niederdispersiven, nichtlinearen Kristalls (KDP, 100 mikrometer) und eines infraroten Torpulses ermöglicht. Erste Messungen wurden an einem System durchgeführt, dessen Fluoreszenzverhalten aus der Literatur sehr gut bekannt ist, Coumarin 153 in Acetonitril. Aus der dynamischen Stokes-Verschiebung wurde die Solvations-Korrelations-Funktion für Acetonitril bestimmt. Die aus der Literatur bekannten Werte wurden reproduziert. Daraus wurde geschlossen, dass mit der Apparatur zuverlässig gemessen werden kann. Als zweites System wurde 4-Dimethylamino-4'-cyanostilben (DCS) in Acetonitril untersucht. Aus der Literatur ist es bekannt für duale Fluoreszenz: unmittelbar nach der Anregung des Moleküls wächst eine Fluoreszenzbande an und schwindet wieder, während gleichzeitig zur ersten rotverschoben eine neue Bande anwächst. Mit Messungen der zeitaufgelösten Fluoreszenz bei verschiedenen Schichtdicken und der zeitaufgelösten Absorption sowie quantenmechanischen Rechnungen konnte dieses Phänomen auf eine starke Absorptionsbande im ersten elektronisch angeregten Zustand zurückgeführt werden. DCS besitzt also nur scheinbar duale Fluoreszenz. Bei genügend geringer Schichtdicke ist es möglich das wahre Emissionsverhalten zu beobachten, nämlich eine von der Lösungsmittel-Antwort bestimmte dynamische Rotverschiebung. / In this work a new experimental design is presented that allows upconversion of a fluorescence band in a broad range of 7200 1/cm without readjusting optical elements, thus allowing measurements with a single pump-gate scan. This broad phase matching could be achieved by utilizing a thin, nonlinear optical crystal (KDP, 100 mikron) and an infrared gate wavelength. The setup provides a time-resolution of 100 fs. First measurements were performed on a system which emission behaviour has been extensively described in literature, the laser dye coumarin 153 (c153)in acetonitrile. From dynamical Stokes-shift the solvation correlation function of acetonitrile could be obtained. Data known from literature were reproduced. From this it was concluded that with this new setup measurements can be performed reliably. The second system investigated was 4-dimethylamino-4'-cyanostilbene (dcs) in acetonitrile. In literature it was discussed in terms of dual fluorescence: immediately after excitation of the dye an first emission band rises in the blue and decays while synchronously a second band rises at longer wavelengths. By measuring time-resolved fluorescence at different sample thickness, time-resolved absorption as well as quantum mechanical calculations dual emission could be excluded, instead a new explanation was found. A strong transition from the S$_1$ state to higher states overlaps with the transient emission signal. The optical density of this transition scales with concentration, thickness of the sample and intensity of the pump-pulse. If the optical density is high then re-absorption gives the impression of dual emission; but if it is kept low then the true spectral behaviour of DCS can be revealed: pure solvation dynamics.

In dieser Dissertation lösen wir eine Klasse stochastischer Kontrollprobleme und konstruieren optimale Handelsstrategien in illiquiden Märkten. In Kapitel 1 betrachten wir einen Investor, der sein Portfolio nahe an einer stochastischen Zielfunktion halten möchte. Gesucht ist eine Strategie (aus aktiven und passiven Orders), die die Abweichung vom Zielportfolio und die Handelskosten minimiert. Wir zeigen Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Strategie. Wir beweisen eine Version des stochastischen Maximumprinzips und leiten damit ein Kriterium für Optimalität mittels einer gekoppelten FBSDE her. Wir beweisen eine zweite Charakterisierung mittels Kauf- und Verkaufregionen. Das Portfolioliquidierungsproblem wird explizit gelöst. In Kapitel 2 verallgemeinern wir die Klasse der zulässigen Strategien auf singuläre Marktorders. Wie zuvor zeigen wir Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Strategie. Im zweiten Schritt beweisen wir eine Version des Maximumprinzips im singulären Fall, die eine notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung liefert. Daraus leiten wir eine weitere Charakterisierung mittels Kauf-, Verkaufs- und Nichthandelsregionen ab. Wir zeigen, dass Marktorders nur benutzt werden, wenn der Spread klein genug ist. Wir schließen dieses Kapitel mit einer Fallstudie über Portfolioliquidierung ab. Das dritte Kapitel thematisiert Marktmanipulation in illiquiden Märkten. Wenn Transaktionen einen Einfluß auf den Aktienpreis haben, dann können Optionsbesitzer damit den Wert ihres Portfolios beeinflussen. Wir betrachten mehrere Agenten, die europäische Derivate halten und den Preis des zugrundeliegenden Wertpapiers beeinflussen. Wir beschränken uns auf risikoneutrale und CARA-Investoren und zeigen die Existenz eines eindeutigen Gleichgewichts, das wir mittels eines gekoppelten Systems nichtlinearer PDEs charakterisieren. Abschließend geben wir Bedingungen an, wie diese Art von Marktmanipulation verhindert werden kann. / In this thesis we study a class of stochastic control problems and analyse optimal trading strategies in limit order markets. The first chapter addresses the problem of curve following. We consider an investor who wants to keep his stock holdings close to a stochastic target function. We construct the optimal strategy (comprising market and passive orders) which balances the penalty for deviating and the cost of trading. We first prove existence and uniqueness of an optimal control. The optimal trading strategy is then characterised in terms of the solution to a coupled FBSDE involving jumps via a stochastic maximum principle. We give a second characterisation in terms of buy and sell regions. The application of portfolio liquidation is studied in detail. In the second chapter, we extend our results to singular market orders using techniques of singular stochastic control. We first show existence and uniqueness of an optimal control. We then derive a version of the stochastic maximum principle which yields a characterisation of the optimal trading strategy in terms of a nonstandard coupled FBSDE. We show that the optimal control can be characterised via buy, sell and no-trade regions. We describe precisely when it is optimal to cross the bid ask spread. We also show that the controlled system can be described in terms of a reflected BSDE. As an application, we solve the portfolio liquidation problem with passive orders. When markets are illiquid, option holders may have an incentive to increase their portfolio value by using their impact on the dynamics of the underlying. In Chapter 3, we consider a model with competing players that hold European options and whose trading has an impact on the price of the underlying. We establish existence and uniqueness of equilibrium results and show that the equilibrium dynamics can be characterised in terms of a coupled system of non-linear PDEs. Finally, we show how market manipulation can be reduced.

Mit der vorliegenden Dissertation wollen wir einen Beitrag zur Theorie der konvexen Risikomaße und ihrer Dynamik leisten. Im Kapitel 1 beschäftigen wir uns zunächst mit unbedingten konvexen Risikomaßen. Wir erläutern die Eigenschaften dieser Funktionale und geben einen Überblick über die Möglichkeiten ihrer Darstellung. Anschließend diskutieren wir das Problem ihrer Fortsetzbarkeit. Im Kapitel 2 erklären wir, wie sich die Darstellungssätze auf bedingte konvexe Risikomaße übertragen lassen, und untersuchen, unter welchen Voraussetzungen eine reguläre bedingte Darstellung existiert. Auf polnischen Räumen beweisen wir die Existenz auf den Klassen der halbstetigen Funktionen. Für das bedingte Average Value at Risk zeigen wir, dass durch eine zugehörige Familie von unbedingten AVaR-Risikomaßen eine reguläre bedingte Darstellung sogar auf der Klasse aller beschränkten Auszahlungsprofile gegeben ist. Im Kapitel 3 untersuchen wir die intertemporale Struktur von dynamischen konvexen Risikomaßen. Zunächst analysieren wir verschiedene Formen der Akzeptanz- und Ablehnungskonsistenz, welche einem zeitlich rückwärts gerichteten Ansatz der Risikobewertung entsprechen und in der Regel zur Konstruktion von dynamischen konvexen Risikomaßen zu einer vorgegebenen Filtration verwendet werden. Als Alternative formulieren wir einen vorwärts gerichteten Ansatz, bei dem jedes bedingte konvexe Risikomaß als eine Konsequenz aus der vorherigen Risikobewertung und der eingehenden Information konstruiert wird. Dann diskutieren wir Aktualisierungsvorschriften für konvexe Risikomaße. Wir überprüfen, inwieweit die vorgestellten Bedingungen der zeitlichen Konsistenz in ihrer starken und schwachen Form oder die Bedingung der Konsequenz als Aktualisierungskriterium geeignet sind. In diesem Zusammenhang diskutieren wir abschließend auch das Problem der Unsicherheitsreduzierung nach dem Erhalt von Zusatzinformation. / This thesis is a contribution to the theory convex risk measures and their dynamics. In chapter 1 we consider unconditional convex risk measures. At first, we explain the properties of these functionals and present different possibilities of their representation. Then we discuss the extension problem for convex risk measures. In chapter 2 we study conditional convex risk measures and their representations. We also analyze under which conditions these functionals admit a regular conditional representation. On polish spaces we prove existence on the classes of semicontinuous functions. For the conditional Average Value at Risk, we show that a regular conditional representation is given by a corresponding family of unconditional AVaR risk measures on the class of all bounded payoff functions. In Chapter 3 we investigate the intertemporal structure of dynamic convex risk measures. We begin by considering different conditions of acceptance and rejection consistency which correspond to a backward approach of dynamic risk evaluation and which are used for the construction of dynamic convex risk measures with respect to some given filtration. We also introduce an alternative forward approach where each conditional convex risk measure is constructed as a consequence of the initial risk evaluation and the incoming information. Then we discuss update rules for convex risk measures. We analyze whether the conditions of strong and weak consistency and the condition of consecutivity are appropriate update criteria. In this context, we finally discuss how uncertainty may be reduced after receiving some additional information.

John Lott berechnete eine Signatur mit ganzzahligen Werten für den Orbitraum einer kompakten, orientierbaren (4k + 1)-Mannigfaltigkeit mit einer halbfreien S1-Wirkung. Diese Signatur ist eine Homotopieinvariante für den Orbitraum. Allerdings konstruierte er keinen Operator vom Dirac-Typ, der die Signatur als Index besitzt. In dieser Arbeit konstruieren wir einen solchen Operator auf dem Orbitraum der S1-Wirkung, einem Thom-Mather stratifizierten Raum mit einem singulären Stratum von positiver Dimension, und wir zeigen, dass der Operator im wesentlichen eindeutig bestimmt ist. Ferner zeigen wir, dass sein Index mit Lotts Signatur übereinstimmt, zumindest wenn der stratifizierte Raum die sogenannte Witt-Bedingung erfüllt. Wirnennendiesen Operator den induzierten Dirac-Schrödinger Operator. Unsere Konstruktionsstrategie ist es, einen geeigneten S1-invarianten transversal elliptischen Operator erster Ordnung auf den S1-invarianten Differentialformen zu definieren, der den gesuchten Operator auf den Differentialformen des Orbitraums induziert. Die Witt-Bedingung, eine topologische Bedingung, welche in diesem Fall von der Kodimension der betrachteten Punktmenge abhängt, lässt verschiedene analytische Schlussfolgerungen zu. Insbesondere ist, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, der Hodge-de Rham Operator auf dem Quotientenraum nicht notwendigerweise essentiell selbstadjungiert und die Wahl einer Randbedingung ist daher notwendig. Diese Wahlfreiheit erscheint unnatürlich in Anbetracht der Tatsache, dass Lotts Signatur unabhängig von der Witt-Bedingung wohldefiniert ist. Der Dirac-Schrödinger Operator, der in dieser Arbeit konstruiert wird, unterschei- det sich vom Hodge-de Rham Operator durch einen Term nullter Ordnung, welcher sicherstellt, dass der Operator wesentlich selbstadjungiert ist. Außerdem antikommutiert dieser Term nullter Ordnung mit der Signatur-Involution, wodurch der gesamte Operator zerfällt und so der Index berechnet werden kann, auch wenn die Witt-Bedingung nicht erfüllt ist. / John Lott has computed an integer-valued signature for the orbit space of a compact orientable (4k + 1) manifold with a semi-free S1-action, which is a homotopy invariant of that space, but he did not construct a Dirac type operator which has this signature as its index. In this Thesis, we construct such operator on the orbit space, a Thom-Mather stratified space with one singular stratum of positive dimension, and we show that it is essentially unique and that its index coincides with Lott’s signature, at least when the stratified space satisfies the so called Witt condition. We call this operator the induced Dirac-Schrödinger operator. The strategy of the construction is to “push down” an appropriate S1-invariant first order transversally elliptic operator to the quotient space. The Witt condition, a topological condition which in this case depends on the codi- mension of the fixed point set, has various analytic consequences. In particular, when not satisfied, the Hodge-de Rham operator on the quotient space does not need to be essentially self-adjoint and therefore a choice of boundary conditions is required. This choice freedom is not natural in view of the fact that Lott’s signature is well defined independently of the Witt condition. The Dirac-Schrödinger operator constructed in this Thesis differs from the Hodge-de Rham operator by a zero order term which ensures it to be essentially self-adjoint. Moreover, this zero order term anti-commutes with the chirality involution allowing the whole operator to split so that the index can be computed even if the Witt condition is not satisfied.