Cette thèse se décompose en trois parties. Dans la première, nous proposons une formule explicite en termes de comptage de chemins sur un graphe de Cayley, pour le calcul de tous les moments de la mesure de Haar sur le groupe unitaire. Ce résultat fournit un théorème général de liberté asymptotique pour des matrices aléatoires, ainsi que des résultats de convergence d'intégrales matricielles unitaires. En particulier, nous donnons une interprétation combinatoire de la limite de l'intégrale d'Itzykson-Zuber, ainsi qu'un lien avec la $R$-transformée de Voiculescu. Dans une deuxième partie, complètement différente, nous définissons un cadre en probabilités non-commutatives dans lequel nous prouvons que la théorie de Martin s'étend et qu'elle permet une représentation intégrale de toute fonction harmonique positive. Comme application de ces résultats purement quantiques, nous calculons les frontières de Martin de certaines marches au hasard classiques dans une chambre de Weyl. L'exemple d'une marche au hasard sur $SU_q(2)$ est aussi traité de manière exhaustive. Dans la troisième partie, nous proposons une approche analytique des asymptotiques de la mesure de Haar sur un groupe compact. Nous calculons l'image de la mesure de Haar du groupe unitaire par contraction par un projecteur. Ceci nous permet de retrouver et d'interpréter de manière combinatoire certaines asymptotiques obtenues dans la première partie. Par ailleurs, nous établissons que le carré la partie radiale d'une contraction d'une matrice unitaire aléatoire est un ensemble de Jacobi. Une méthode de polynômes orthogonaux permet alors de renforcer des résultats de convergence asymptotiques prédits par les probabilités libres, et d'établir des propriétés d'universalité des valeurs propres.

Les travaux effectués dans ma thèse portent sur la discrétisation de processus dans un domaine et sur les méthodes numériques probabilistes pour les EDP paraboliques quasilinéaires. En ce qui concerne le premier sujet, nous avons d'abord montré un résultat d'encadrement de l'erreur faible associée à un processus de diffusion hypoelliptique tué approché par son schéma d'Euler tué à temps discret, cf. Chapitre 1. Ensuite, dans le cadre non markovien des processus d'Itô, nous avons obtenu une borne pour l'erreur faible associée à la discrétisation du temps de sortie à l'aide de techniques originales de martingales, cf. Chapitre 2. Nous avons enfin, dans le cas particulier du mouvement Brownien dans un orthant, obtenu un développement de l'erreur et une méthode d'accélération de la convergence basée sur une correction adéquate du domaine, cf. Chapitre 3. Par rapport au deuxième sujet, nous avons proposé un algorithme probabiliste simple à implémenter pour approcher la solution d'EDP paraboliques quasilinéaires et nous avons établi sa vitesse de convergence. Cette méthode consiste à discrétiser l'équation différentielle stochastique progressive rétrograde (EDSPR) qui permet de donner une représentation probabiliste de l'EDP, cf. Chapitre 4.

An important element of successful engineering design is the effective management of resources to support design decisions. Design decisions can be thought of as having two phasesa formulation phase and a solution phase. As part of the formulation phase, engineers must decide how much information to collect and which models to use to support the design decision. Since more information and more accurate models come at a greater cost, a cost-benefit trade-off must be made. Previous work has considered such trade-offs in decision problems when all aspects of the decision problem can be represented using precise probabilities, an assumption that is not justified when information is sparse. In this thesis, we use imprecise probabilities to manage the information cost-benefit trade-off for two decision problems in which the quality of the information is imprecise: 1) The decision of when to stop collecting statistical data about a quantity that is characterized by a probability distribution with unknown parameters; and 2) The selection of the most preferred model to help guide a particular design decision when the model accuracy is characterized as an interval. For each case, a separate novel approach is developed in which the principles of information economics are incorporated into the information management decision. The problem of statistical data collection is explored with a pressure vessel design. This design problem requires the characterization of the probability distribution that describes a novel material's strength. The model selection approach is explored with the design of an I-beam structure. The designer must decide how accurate of a model to use to predict the maximum deflection in the span of the structure. For both problems, it is concluded that the information economic approach developed in this thesis can assist engineers in their information management decisions.

The aim of nuclear structure studies is to observe and describe the structures and associated symmetries in nuclei, which in turn help us in understanding the nature of nucleon-nucleon interactions in a nucleus as a many-body quantum system. The protons and neutrons as constituents of a nucleus and their interactions are responsible for nuclear properties. The evolution of nuclear structure as a function of valence nucleon number, i.e., the number of nucleons beyond a magic number, can be inferred from the experimental level scheme and transition rates. In particular, the studies of low-lying, low-spin excited states in stable nuclei provide valuable information on the interplay of valence neutrons and protons in nuclear structure. The decay scheme and knowledge of transition strengths in the low-lying states become a benchmark for testing theoretical model predictions and understanding the underlying microscopic foundations of nuclear structure. Along with the experimental techniques, theoretical models have been developed to explain and describe the observed nuclear properties, e.g., shell model, Fermi-gas model, optical and liquid-drop models, and several “collective” models. 94/40Zr50 nucleus with 2 protons and 4 neutrons above the shell closures of the 88/38Sr50 core nucleus is considered as a nearly spherical nucleus. Such nuclei present a vibrational structure; surface vibration of the nucleus about a spherical shape. In addition to the symmetric excitations, in which proton and neutron oscillations are in phase, there are another class of excitations in which the wave function is not fully symmetric with respect to the exchange of protons and neutrons. These states are so called mixed-symmetry (MS) states. Such excitations have been observed in the N= 52 neighboring isotones. In this study, the low-lying structure of 94/40Zr has been studied with the (n, n'ƴ) reaction at the University of Kentucky and Triangle Universities Nuclear Laboratories (TUNL) facilities, to identify symmetric and MS excitations in this nucleus. A decay scheme has been established based on excitation function and coincidence measurements. Branching ratios, multipole mixing ratios, and spin assignments have been determined from angular distribution measurements at En= 2.3, 2.8, and 3.5 MeV. Lifetimes of levels up to 3.4 MeV were measured by the Doppler-shift attenuation method (DSAM), and for many transitions reduced transition probabilities were determined. The experimental results were used for the identification of collective symmetric and mixed-symmetric (MS) multiphonon excitations. The 2+/2 state at 1671.4 keV has been identified as the lowest MS state in 94Zr; B(M1; 2+/ms → 2+/1 ) = 0.31(3) μ2/N. This state has an anomalous decay behavior, i.e., B(E2; 2+/ ms → 0+/1 ) = 7.8(7) W.u., which is unusually large compared to the B(E2; 2+/1 → 0+/1 ) = 4.9(3) W.u. More anomalies were identified in the states above the 2+/ms state. For example, the 4+/2 state at 2330 keV decays strongly to the 2+/1 state, B(E2; 4+/2 → 2+/1 ) = 20+3/−2 W.u., compared to the 4+/1 state at 1469 keV, B(E2; 4+/1 → 2+/1 ) = 0.878(23) W.u. The experimental results revealed additional interesting and unusual properties of the low-lying states in 94Zr. Shell model calculations were performed with the Oxbash code, using the Vlow k interaction. Also, the IBM-2 predictions in the vibrational limit were compared with the experimental results. The results from neither of these nuclear models were in good agreement with the observed transition strengths, e.g., the B(E2; 2+/ms → 0+/1 ) value. These observations may indicate that the contributions of valence nucleons in the low-lying excited states of 94Zr differ from what has been perscribed by the shell model and the IBM-2 model. The effects of the Z = 40 and N = 56 subshell closures should be also considered. In a simple interpretation, the excited states are classified in two distinct categories, i.e., those populating the 2+/2 state and those decaying to the 2+/1 state. This approach suggests that in 94Zr the low-lying states may be related to two-configurations coexistence.

Cette thèse est dédiée à l'étude de divers problèmes se situant à la frontière entre combinatoire et théorie des probabilités. Elle se compose de deux parties indépendantes : la première concerne l'étude asymptotique de certaines familles de \cartes" (en un sens non traditionnel), la seconde concerne l'étude d'une extension stochastique naturelle d'un processus dynamique classique sur un graphe appelé modèle du tas de sable. Même si ces deux parties sont a priori indépendantes, elles exploitent la même idée directrice, à savoir les interactions entre les probabilités et la combinatoire, et comment ces domaines sont amenés à se rendreservice mutuellement. Le Chapitre introductif 1 donne un bref aperçu des interactions possibles entre combinatoire et théorie des probabilités, et annonce les principaux résultats de la thèse. Le Chapitres 2 donne une introduction au domaine de la convergence des cartes. Les contributions principales de cette thèse se situent dans les Chapitres 3, 4 (pour les convergences de cartes) et 5 (pour le modèle stochastique du tas de sable). / This Thesis studies various problems located at the boundary between Combinatorics and Probability Theory. It is formed of two independent parts. In the first part, we study the asymptotic properties of some families of \maps" (from a non traditional viewpoint). In thesecond part, we introduce and study a natural stochastic extension of the so-called Sandpile Model, which is a dynamic process on a graph. While these parts are independent, they exploit the same thrust, which is the many interactions between Combinatorics and Discrete Probability, with these two areas being of mutual benefit to each other. Chapter 1 is a general introduction to such interactions, and states the main results of this Thesis. Chapter 2 is an introduction to the convergence of random maps. The main contributions of this Thesis can be found in Chapters 3, 4 (for the convergence of maps) and 5 (for the Stochastic Sandpile model).

Cette thèse porte sur deux modèles de marches aléatoires. Notre premier modèle appartient à la famille des marches aléatoires en environnement aléatoire. Nous nous plaçons dans la situation où le graphe sur lequel évolue la marche est un arbre régulier ou de Galton-Watson, et nous intéressons aux propriétés asymptotiques de cette marche. Dans le cas transient, nous étudions la vitesse de la marche aléatoire. Nous obtenons un critère explicite pour avoir une vitesse non nulle, et donnons l'ordre de grandeur de la distance à la racine dans le régime à vitesse nulle. Nous appliquons nos résultats aux marches renforcées sur un arbre. Nous traitons ensuite des probabilités de grandes déviations de la marche. Nous évaluons le coût d'avoir une situation atypique de ralentissement ou d'accélération. Sous la probabilité annealed, nous distinguons les différents régimes de grandes déviations. La deuxième partie de ce travail présente un modèle de marches aléatoires branchantes avec absorption. Nous modélisons l'évolution d'une population se déplaçant sur l'axe des réels positifs, et dont les membres meurent lorsqu'ils passent l'origine. Deux régimes existent suivant la survie ou non de la population. En cas d'extinction totale de la population, nous trouvons les équivalents asymptotiques des probabilités de survie au temps n.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal