Le but de cette thèse est l'identification des modules élastiques dans une structure inhomogène en élasticité statique en petits déformations. Il s'agit d'un problème inverse, dans lequel il faut déterminer la distribution intérieure des modules élastiques à partir des mesures simultanées des forces et des déplacements sur la frontière. Le premier chapitre introduit le problème mathématique par analogie avec le problème d'identification de la conductivité électrique. L'application qui donne consistance au problème est l'application de Dirichlet-Neumann. Elle est équivalente à l'application "énergie de déformation" et son expression fait intervenir la fonction de Green du domaine. Se posent alors les problèmes d'unicité et de stabilité. Le problème est mal posé en ce qui concerne la stabilité. L'unicité pose de problèmes dans le cas de l'élasticité anisotrope. Le deuxième chapitre présent une méthode numérique de reconstruction fondée sur la notion d'erreur en loi de comportement. La méthode exploite une décomposition des champs impliqués utilisant les modules et les tenseurs propres, qui sont les "valeurs propres" et les "vecteurs propres" du tenseur de l'élasticité. Le troisième chapitre illustre par des exemples le processus de minimisation de l'erreur en loi de comportement de manière a obtenir la distribution des modules élastiques. Ceci est fait pour l'élasticité bi-dimensionnelle isotrope ou à symétrie cubique. Un problème inverse lié à la mesure des contraintes résiduelles est traité dans une annexe. Il s'agit de la reconstruction des contraintes résiduelles à partir des mesures faites en surface par la méthode des rayon X après un enlèvement de matière.

La thèse est consacrée à l'étude des problèmes inverses liés à la localisation des sources acoustiques et élastiques dans des milieux atténués à partir de mesures à la frontière, et de leurs applications à l'imagerie médicale. Nous présentons des algorithmes efficaces et stables pour compenser les effets d'atténuation sur la résolution d'image. Nous développons des algorithmes basés sur la transformée de Radon pour récupérer la distribution de pression initiale dans les milieux atténués, avec et sans conditions aux limites imposées. Nous appliquons le théorème de phase stationnaire à un opérateur d'atténuation mal conditionné pour corriger l'effet d'atténuation et nous utilisons des méthodes de régularisation TV-Tikhonov pour traiter les problèmes de mesure partielle. Nous revisitons les méthodes de retournement temporel pour les milieux idéaux (sans perte d'énergie) et nous les étendons aux milieux atténuées. Comme des ondes atténuées ne sont pas réversibles en temps, nous utilisons la stratégie de back-propagation des approximations régulières des ondes adjointes atténuées pour reconstituer les sources de façon stable avec une correction d'atténuation d'ordre 1. Pour les milieux acoustiques, nous présentons une stratégie alternative basée sur un pré-traitement des données pour les corrections d'ordre supérieur. Aux milieux élastiques, les données consistent en des ondes de cisaillement et des pressions couplées. Nous proposons une approche originale basée sur la décomposition de Helmholtz avec des poids. En outre, nous introduisons des algorithmes efficaces d'imagerie avec des poids pour localiser les sources de bruit acoustique par des techniques de cross-corrélation et en utilisant une version régularisée de back-propagateurs pour corriger l'atténuation. Nous avons également localisé les sources de bruit spatialement corrélées, et nous estimons la matrice de corrélation entre eux. Afin d'étendre les algorithmes de détection d'anomalies élastiques aux milieux visco-élastiques, nous dérivons une expression de la fonction de Green visco-élastique isotrope. Ensuite, nous proposons une technique de correction d'atténuation pour un milieu quasi-incompressible et prouver que l'on peut accéder à la fonction de Green idéale (non visqueux) à partir de la fonction de Green visco-élastique en inversant un opérateur différentiel ordinaire. Enfin, nous fournissons quelques fonctions de Green visco-élastiques anisotropes, dans le but d'étendre nos résultats aux milieux anisotropes.