En este artículo describimos exhaustivamente las superficies de traslación con curvatura gaussiana intrínseca K constante en el espacio hiperbólico H³. Al igual que las superficies de traslación en el espacio euclidiano, que son los cilindros generalizados, estas superficies son generadas por curvas planas, pasando por cada punto de la curva generatriz una curva equidistante de la geodésica invariante que es ortogonal al plano totalmente geodésico que contiene la curva. En el espacio euclidiano todas las superficies de este tipo poseen K=O. En el espacio hiperbólico existe amplia variedad de superficies con K ≠O y, en general, para casi todos los valores de K no se obtienen superficies completas. Una excepción notable aparece cuando -1≤ K < O. Indagamos también el comportamiento de estas superficies en el borde ∂∞H³ ofrecemos gráficos elaborados en computador para la mayoría de los ejemplos hallados.

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In this paper we study the Gauss map of minimal surfaces in the Heisenberg group, H₃. We obtain a representation formula for minimal surfaces in H₃ by means of the Gauss map. As consequence we conclude that: The Gauss map of a minimal surface of H₃ is antiholomorphic if the minimal surface is a plane.

Discutiremos la existencia de las superficies umbílicas en el grupo de Heisenberg usando la aplicación normal de Gauss.

Este trabajo de tesis busca modelar las distribuciones espaciales conjuntas de las leyes de cobre soluble y cobre total en yacimientos cupríferos. El modelamiento descrito posee dos dificultades: la restricción lógica de las variables (la ley de cobre soluble debe ser menor o igual a la ley de cobre total) y la presencia de un muestreo preferencial: generalmente la ley de cobre soluble no es analizada químicamente a bajas leyes de cobre total, resultando en un sesgo al momento de estimar la distribución de los datos existentes de leyes de cobre soluble, mientras que la distribución de la ley de cobre total puede ser estimada sin sesgo alguno. La manera propuesta comienza con el modelamiento de distribuciones representativas para las leyes de cobre soluble e insoluble basado en la distribución representativa de la ley de cobre total y en una distribución teórica gamma bivariable. El conocimiento de las distribuciones de las leyes de cobre soluble e insoluble permite transformar la información disponible a valores gaussianos, lo que es requerido previamente para realizar la simulación geoestadística. El paso siguiente es cosimular las leyes de cobre soluble e insoluble en la zona de estudio, condicionado a los datos disponibles. Primero se realiza la cosimulación en los puntos con solo información de cobre total mediante un algoritmo iterativo (muestreador de Gibbs), luego se cosimula en los nodos de la grilla mediante un algoritmo de simulación gaussiana multivariable tradicional (bandas rotantes). Una vez obtenidas las leyes de cobre soluble e insoluble cosimuladas se obtiene la ley de cobre total cosimulada, obedeciendo a la relación de orden de estas variables. El método propuesto se aplica a un caso de estudio, correspondiente a un yacimiento cuprífero localizado en el norte de Chile, con el fin de demostrar su aplicación en el negocio minero. La metodología aplicada resulta ser eficiente, logrando una evaluación realista del yacimiento a través de las simulaciones. A su vez se compara y contrasta con el cokriging, metodología tradicional ocupada en la industria, el cual subestima los recursos del yacimiento. Además, las simulaciones permiten tener una visión de los riesgos del proyecto, no así el cokriging que entrega un caso promedio. Mediante el conocimiento de las leyes de cobre total y cobre soluble se puede implementar varias alternativas tanto en el proceso extractivo como en el metalúrgico, con lo cual se puede incrementar el beneficio del negocio minero del yacimiento.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / Multi-Output Gaussian Processes (MOGPs) are the multivariate extension of Gaussian processes (GPs \cite{Rasmussen:2006}), a Bayesian nonparametric method for univariate regression. MOGPs address the multi-channel regression problem by modeling the correlation in time and/or space (as scalar GPs do), but also across channels and thus revealing statistical dependencies among different sources of data. This is crucial in a number of real-world applications such as fault detection, data imputation and financial time-series analysis. Analogously to the univariate case, MOGPs are entirely determined by a multivariate covariance function, which in this case is matrix valued. The design of this matrix-valued covariance function is challenging, since we have to deal with the trade off between (i) choosing a broad class of cross-covariances and auto-covariances, while at the same time (ii) ensuring positive definiteness of the symmetric matrix containing these scalar-valued covariance functions. In the stationary univariate case, these difficulties can be bypassed by virtue of Bochner's theorem, that is, by building the covariance function in the spectral (Fourier) domain to then transform it to the time and/or space domain, thus yielding the (single-output) Spectral Mixture kernel \cite{Wilson:2013}. A classical approach to define multivariate covariance functions for MOGPs is through linear combinations of independent (latent) GPs; this is the case of the Linear Model of Coregionalization (LMC \cite{goo1997}) and the Convolution Model \cite{Alvarez:2008}. In these cases, the resulting multivariate covariance function is a function of both the latent-GP covariances and the linear operator considered, which usually results in symmetric cross-covariances that do not admit lags across channels. Due to their simplicity, these approaches fail to provide interpretability of the dependencies learnt and force the auto-covariances to have similar structure. The main purpose of this work is to extend the spectral mixture concept to MOGPs: We rely on Cram\'er's theorem \cite, the multivariate version of Bochner's theorem, to propose an expressive family of complex-valued square-exponential cross-spectral densities, which, through the Fourier transform yields the Multi-Output Spectral Mixture kernel (MOSM). The proposed MOSM model provides clear interpretation of all the parameters in spectral terms. Besides the theoretical presentation and interpretation of the proposed multi-output covariance kernel based on square-exponential spectral densities, we inquiry the plausibility of complex-valued t-Student cross-spectral densities. We validate our contribution experimentally through an illustrative example using a tri-variate synthetic signal, and then compare it against all the aforementioned methods on two real-world datasets.

La presente tesis busca aplicar una alternativa para el modelamiento de dependencia espacial de puntos georeferenciados o también conocido como datos geoestadísticos. La metodología con la que se busca abordar la autocorrelación espacial se basa en el uso de cópulas. En particular, las cópulas gaussianas brindan un marco matemático que permite definir una función de distribución conjunta acumulada a partir de la distribución marginal de la variable respuesta cuya distribución no es normal. A través de simulaciones se estudió la bondad de ajuste de los modelos geoestadísticos usando cópulas gaussianas para datos no normales. Finalmente, se aplicaron los modelos a dos bases de datos reales: i) para detectar yacimientos petrolíferos y ii) para estimar el nivel de contaminación en el aire. / This thesis applies an alternative to modelling spatial dependence of geo-referenced points also known as geostatistics data. The methodology focus on the development of spatial auto- correlation is based on using copulas. In particular, Gaussian copulas allow a mathematical framework to define a joint cumulative distribution function based on the marginal distribution of the response variable that is non Gaussian. The goodness of fit of the geostatistical models using Gaussian copulas for non-normal data was studied through simulations. Finally, the models were applied to two real databases: i) to detect oil fields and ii) to estimate the level of air pollution.

Los incendios forestales se han venido incrementando en las últimas cuatro décadas a nivel mundial. En el Perú de acuerdo a los datos del INDECI, en los últimos 10 años se evidencia una tendencia creciente. La ocurrencia de estos eventos representa la degradación de la calidad del aire, de la flora y pone en grave riesgo a muchas personas y zonas agrícolas. Para una adecuada evaluación de uno de los componentes del riesgo generado por estos eventos, se requiere analizar la intensidad de su ocurrencia a través de herramientas flexibles. En este contexto se estudia el patrón puntual de estos eventos, a través del modelo espacial bayesiano de Cox log-gaussiano (LGCP) bajo el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas (SPDE). Los distintos modelos que se evalúan corresponden a la clase de modelos gaussianos latentes y jerárquicos, lo cual nos permite realizar su estimación bajo inferencia bayesiana empleando la aproximación de Laplace anidada integrada (INLA), en tiempos que posibilitan una respuesta rápida y eficiente ante el riesgo generado por estos eventos. / Forest fires have been increasing in the last four decades worldwide. In Peru according to INDECI data, there has been an increasing trend in the last 10 years. The occurrence of these events represents the degradation of air quality, flora and puts many people and agricultural areas at serious risk. For an adequate evaluation of one of the risk components generated by these events, it is necessary to analyze the intensity of their occurrence through flexible tools. In this context, the point pattern of these events is studied, through the Bayesian spatial model of the log Gaussian Cox process(LGCP) under the approach of stochastic partial differential equations (SPDE). The different models that are evaluated correspond to the class of latent and hierarchical Gaussian models, which allows us to estimate them under Bayesian inference using the integrated nested Laplace approximation (INLA), in times that allow a quick and efficient response to the risk generated by these events.