abstract: Based on poor student performance in past studies, the incoherence present in the teaching of inverse functions, and teachers' own accounts of their struggles to teach this topic, it is apparent that the idea of function inverse deserves a closer look and an improved pedagogical approach. This improvement must enhance students' opportunity to construct a meaning for a function's inverse and, out of that meaning, produce ways to define a function's inverse without memorizing some procedure. This paper presents a proposed instructional sequence that promotes reflective abstraction in order to help students develop a process conception of function and further understand the meaning of a function inverse. The instructional sequence was used in a teaching experiment with three subjects and the results are presented here. The evidence presented in this paper supports the claim that the proposed instructional sequence has the potential to help students construct meanings needed for understanding function inverse. The results of this study revealed shifts in the understandings of all three subjects. I conjecture that these shifts were achieved by posing questions that promoted reflective abstraction. The questions and subsequent interactions appeared to result in all three students moving toward a process conception of function. / Dissertation/Thesis / M.A. Mathematics 2014

La microfiltration tangentielle sur membrane en céramique est étudiée dans ce travail comme une méthode de fractionnement de suspensions hétérogènes obtenues après hydrolyse acide d'amidon de maïs cireux pour la récupération en continu de nanocristaux d'amidon. Le but est d'évaluer la possibilité de coupler la microfiltration au procédé d'hydrolyse pour augmenter le rendement de production des nanocristaux d'amidon. Une caractérisation des suspensions (taille et charge) a été réalisée à différents stades de la production afin de comprendre l'évolution de la taille des particules au cours de l'hydrolyse et du post-traitement et de pouvoir choisir la bonne membrane pour un fractionnement efficace. Deux pilotes de filtration ont été conçus pour permettre l'étude du fractionnement des suspensions de nanocristaux d'une part à l'échelle laboratoire (membranes planes) et d'autre part à l'échelle semi-industrielle (membrane tubulaire). L'analyse de la suspension produite par le procédé d'hydrolyse classique a montré qu'elle était constituée majoritairement d'agrégats de nanoparticules et de résidu d'amidon partiellement hydrolysé, la quantité de nanocristaux individualisés ne représentant que 5 % de l'amidon initial. L'opération de microfiltration tangentielle a été optimisée (transmission maximale des SNC et colmatage minimum des membranes) en fonction des conditions opératoires grâce à la réalisation d'un plan d'expériences. Dans les conditions optimisées, il était possible de récupérer dans le perméat, 25 % des particules initialement introduites en gardant des flux de perméat important. Ces particules ont une taille inférieure à 300 nm. Dans ces mêmes conditions, il était possible de séparer des nanocristaux d'amidon directement à partir de la suspension acide après hydrolyse. La modélisation du colmatage à partir des essais de filtration frontale a montré que le colmatage se fait essentiellement par formation d'un gâteau à la surface. Nous avons abordé également dans ce travail la piste de la purification en continu des suspensions acides à travers un procédé de diafiltration sur membranes d'ultrafiltration permettant une industrialisation de la production des SNC. / The current work investigates the use of cross flow microfiltration using ceramic membrane to fractionate the heterogeneous suspension obtained after starch hydrolysis in order to isolate starch nanocrystals. The final aim is to evaluate the possibility of coupling the filtration step to the hydrolysis step in a single production loop in order to enhance the starch nanocrystal production yield. The characterizations of the suspension (particle size and charge) obtained with the classic production process indicates that it was a mixture of starch nanocrystal aggregates and starch residues, individualized starch nanocrystals represent only 5 % of the initial starch. The fractionation study was done using two pilot plans, in a dead end configuration at laboratory scale (plate membrane) and in a cross flow configuration at semi-industrial scale (tubular membrane). Design of experiments methodology was used to optimize the fractionation efficiency when filtering a neutral suspension considering the effect of filtration parameter on the transmission yield and membrane fouling. In the optimized condition, it was possible to recover 25 % of starch nanocrystals while keeping the permeate flux at its highest value. Mean diameter of the recovered particle was less than 300 nm. At this condition, it was also possible to recover the starch nanocrystals directly from the acidic mixture obtained at the end of the hydrolysis step. The analysis of fouling mechanism using dead end filtration experiments highlights that membrane fouling occurs because a cake bult up at the membrane surface. This study investigates also the use of ceramic ultrafiltration membrane in a diafiltration process in order to purify the acidic suspension from soluble molecules without modifying particle size distribution which is a promising technique for a large scale production.