Este trabalho aborda um estudo, a nível introdutório, sobre processos de Markov reversíveis, onde seguimos a exposição de Stroock [24]. Mais especificamente, estudamos cadeias de Markov sobre S (espaço de estados) finito que sejam reversíveis com respeito a uma dada distribuição inicial ¹. Analisamos também a validade do limite limt!1 kPtf ¡ hfi¹ k2;¹ = 0, nos preocupando, principalmente, com a taxa de tal convergência. Por fim, propomos uma Dinâmica de Glauber para o Estado de Gibbs μ(ß) e damos uma cota superior e inferior para a taxa de convergência λß do limite limt!1 kPtf ¡ hfi¹(ß) k2;¹(ß) = 0. Concluindo, apresentamos aplicações, em modelos físicos, da teoria desenvolvida ao longo desta dissertação. / This work approach a study, in introductory level, about reversible Markov processes, where we follow the Stroock´s exposition [24]. More specifically, we study Markov chains about S (space of states) finite that is reversible with respect a initial distribution μ give. Too we analysis the validate of limit limt!1 kPtf ¡ hfi¹ k2;¹ = 0, preoccupying, principally, with the rate of convergence. Finish, we propose a Glauber Dynamics to Gibbs States μ(ß) and we give a lower and upper boundary to rate of convergence λß of the limit limt!1 kPtf ¡ hfi¹(ß) k2;¹(ß) = 0. Concluding, we presents applications, in physical models, of the developed theory in the course these dissertation.

Resumo não disponível

Os controladores industriais que usam controle preditivo baseado em modelo, ou MPC (Model Predictive Control), frequentemente sofrem de perda de performance ao longo do tempo, decorrente de alterações no processo e da falta de atualização dos modelos. Os métodos habitualmente utilizados para a identificação, que são os testes monovariáveis, com perturbação degrau e malha aberta, gastam muito tempo e têm custo elevado para o processo, podendo comprometer a qualidade dos produtos ou a segurança, portanto a atualização do modelo costuma ser evitada por longos períodos. Além disso, existem processos mal condicionados de difícil identificação, pois apresentam direcionalidades nas suas variáveis. Neste trabalho, primeiramente foi feita uma comparação entre os métodos de projeto de perturbações não correlacionadas em um caso de sistema mal condicionado. Na comparação nenhum dos métodos foi capaz de identificar com confiabilidade a direção de menor ganho do sistema, porém para a direção de maior ganho algumas diferenças entre os métodos foram levantadas. A metodologia GBN (Generalized Binary Noise) conseguiu identificar melhor a direção de maior ganho para uma faixa maior de frequências. O método Degrau identificou bem somente em baixas frequências, enquanto o método PBRS (Pseudo Random Binary Sequence) identificou bem somente em altas frequências. Por este motivo, a perturbação GBN foi utilizada como base para a metodologia proposta. Uma metodologia de projeto de perturbações correlacionadas foi desenvolvida utilizando as perturbações GBN como base visando a maximização da amplitude de perturbação nas direções de menor ganho, evitando assim que as variáveis de entrada e saída do sistema ultrapassem suas restrições. Essa maximização da amplitude é feita iterativamente através de um problema de otimização que utiliza o modelo identificado na iteração anterior para projetar as perturbações da nova iteração. Também foi proposto um fator de confiabilidade, w, que permite verificar o grau de evolução da qualidade do modelo ao longo das iterações. Este fator se mostrou útil como critério de parada do processo iterativo. O método proposto foi comparado com métodos de perturbações correlacionadas conhecidos na literatura e que apresentam bons resultados na identificação de processos mal condicionados. A metodologia proposta apresentou uma melhora significativa na identificação da direção de menor ganho, porém foi necessário um tempo maior de identificação. Em poucos momentos as variáveis do processo ultrapassaram suas restrições, demonstrando maior confiabilidade do processo de identificação. / Industrial controllers using MPC (Model Predictive Control) frequently suffer from loss of performance over time due to process alterations and the non-updating of the models. The methods most often used for identification, which are single variable tests with step perturbation and open-loop, require a lot of time and have high costs for the process, and might even compromise product quality and safety, so the models update is often delayed over long periods of time. Besides, there are illconditioned processes that are difficult to identify, because they may present directionalities in their variables. In this paper, a comparison was carried out between non-correlated perturbation design methods considering an ill-conditioned system. None of the methods was capable of solidly trustworthily identify the system’s low-gain direction, however, considering the high gain direction, some differences were noticed. The GBN (Generalized Binary Noise) method was the one which best identified the most-gain direction for the upper band of frequencies. The Step method could identify well only in low frequencies, whereas the PBRS (Pseudo Random Binary Sequence) method identified well only in high frequencies. For this reason, the proposed method was based on the GBN perturbation. A method for correlated perturbation building was developed based on the GBN perturbations, aiming for maximum perturbation amplitude in the low-gain direction, avoiding that system input and output variables surpass their restrictions. This maximizing of the amplitude is made iteratively through an optimization problem which uses the model identified in the previous iteration to predict the perturbations of the upcoming iteration. In addition, a reliability factor w was proposed, which allows the verification of the model’s quality evolution throughout iterations. This factor was useful as a criterion for stopping the iteration process. The proposed method was compared to well-known correlated perturbation methods which present solid results in the identification of ill-conditioned processes. The method showed significant improvement on the identification of the low-gain direction, but it required longer identification time. Within few moments the process variables surpassed their restrictions, that bringing more reliability to the identification process.

Este trabalho aborda um estudo, a nível introdutório, sobre processos de Markov reversíveis, onde seguimos a exposição de Stroock [24]. Mais especificamente, estudamos cadeias de Markov sobre S (espaço de estados) finito que sejam reversíveis com respeito a uma dada distribuição inicial ¹. Analisamos também a validade do limite limt!1 kPtf ¡ hfi¹ k2;¹ = 0, nos preocupando, principalmente, com a taxa de tal convergência. Por fim, propomos uma Dinâmica de Glauber para o Estado de Gibbs μ(ß) e damos uma cota superior e inferior para a taxa de convergência λß do limite limt!1 kPtf ¡ hfi¹(ß) k2;¹(ß) = 0. Concluindo, apresentamos aplicações, em modelos físicos, da teoria desenvolvida ao longo desta dissertação. / This work approach a study, in introductory level, about reversible Markov processes, where we follow the Stroock´s exposition [24]. More specifically, we study Markov chains about S (space of states) finite that is reversible with respect a initial distribution μ give. Too we analysis the validate of limit limt!1 kPtf ¡ hfi¹ k2;¹ = 0, preoccupying, principally, with the rate of convergence. Finish, we propose a Glauber Dynamics to Gibbs States μ(ß) and we give a lower and upper boundary to rate of convergence λß of the limit limt!1 kPtf ¡ hfi¹(ß) k2;¹(ß) = 0. Concluding, we presents applications, in physical models, of the developed theory in the course these dissertation.

Os controladores industriais que usam controle preditivo baseado em modelo, ou MPC (Model Predictive Control), frequentemente sofrem de perda de performance ao longo do tempo, decorrente de alterações no processo e da falta de atualização dos modelos. Os métodos habitualmente utilizados para a identificação, que são os testes monovariáveis, com perturbação degrau e malha aberta, gastam muito tempo e têm custo elevado para o processo, podendo comprometer a qualidade dos produtos ou a segurança, portanto a atualização do modelo costuma ser evitada por longos períodos. Além disso, existem processos mal condicionados de difícil identificação, pois apresentam direcionalidades nas suas variáveis. Neste trabalho, primeiramente foi feita uma comparação entre os métodos de projeto de perturbações não correlacionadas em um caso de sistema mal condicionado. Na comparação nenhum dos métodos foi capaz de identificar com confiabilidade a direção de menor ganho do sistema, porém para a direção de maior ganho algumas diferenças entre os métodos foram levantadas. A metodologia GBN (Generalized Binary Noise) conseguiu identificar melhor a direção de maior ganho para uma faixa maior de frequências. O método Degrau identificou bem somente em baixas frequências, enquanto o método PBRS (Pseudo Random Binary Sequence) identificou bem somente em altas frequências. Por este motivo, a perturbação GBN foi utilizada como base para a metodologia proposta. Uma metodologia de projeto de perturbações correlacionadas foi desenvolvida utilizando as perturbações GBN como base visando a maximização da amplitude de perturbação nas direções de menor ganho, evitando assim que as variáveis de entrada e saída do sistema ultrapassem suas restrições. Essa maximização da amplitude é feita iterativamente através de um problema de otimização que utiliza o modelo identificado na iteração anterior para projetar as perturbações da nova iteração. Também foi proposto um fator de confiabilidade, w, que permite verificar o grau de evolução da qualidade do modelo ao longo das iterações. Este fator se mostrou útil como critério de parada do processo iterativo. O método proposto foi comparado com métodos de perturbações correlacionadas conhecidos na literatura e que apresentam bons resultados na identificação de processos mal condicionados. A metodologia proposta apresentou uma melhora significativa na identificação da direção de menor ganho, porém foi necessário um tempo maior de identificação. Em poucos momentos as variáveis do processo ultrapassaram suas restrições, demonstrando maior confiabilidade do processo de identificação. / Industrial controllers using MPC (Model Predictive Control) frequently suffer from loss of performance over time due to process alterations and the non-updating of the models. The methods most often used for identification, which are single variable tests with step perturbation and open-loop, require a lot of time and have high costs for the process, and might even compromise product quality and safety, so the models update is often delayed over long periods of time. Besides, there are illconditioned processes that are difficult to identify, because they may present directionalities in their variables. In this paper, a comparison was carried out between non-correlated perturbation design methods considering an ill-conditioned system. None of the methods was capable of solidly trustworthily identify the system’s low-gain direction, however, considering the high gain direction, some differences were noticed. The GBN (Generalized Binary Noise) method was the one which best identified the most-gain direction for the upper band of frequencies. The Step method could identify well only in low frequencies, whereas the PBRS (Pseudo Random Binary Sequence) method identified well only in high frequencies. For this reason, the proposed method was based on the GBN perturbation. A method for correlated perturbation building was developed based on the GBN perturbations, aiming for maximum perturbation amplitude in the low-gain direction, avoiding that system input and output variables surpass their restrictions. This maximizing of the amplitude is made iteratively through an optimization problem which uses the model identified in the previous iteration to predict the perturbations of the upcoming iteration. In addition, a reliability factor w was proposed, which allows the verification of the model’s quality evolution throughout iterations. This factor was useful as a criterion for stopping the iteration process. The proposed method was compared to well-known correlated perturbation methods which present solid results in the identification of ill-conditioned processes. The method showed significant improvement on the identification of the low-gain direction, but it required longer identification time. Within few moments the process variables surpassed their restrictions, that bringing more reliability to the identification process.

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Considere (E, r) espaço métrico completo e o espaço De[0, alfa) das funções x : [0, alfa) -> E contínuas à direita e com limite à esquerda. Neste trabalho vamos apresentar a métrica, d, de Skorohod no espaço De[0, alfa). Vamos mostrar que (De[0, alfa),d) é completo. / Consider (E, r) a complete metric space and the space De[0, alfa) of right continuous functions x : [0, alfa) -> E with left limits. In this work we will introduce the metric d of Skorohod on the space De[0, alfa). We will show that (De[0,alfa),d) is complete.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2007. / Texto parcialmente liberado pelo autor. / Submitted by mariana castro (nanacastro0107@hotmail.com) on 2009-12-14T18:42:19Z No. of bitstreams: 1 2007_KariseGoncalvesOliveira_parcial.pdf: 32209 bytes, checksum: ab2051ea869ee86cb340e01f97cef94c (MD5) / Approved for entry into archive by Lucila Saraiva(lucilasaraiva1@gmail.com) on 2010-01-08T23:01:39Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2007_KariseGoncalvesOliveira_parcial.pdf: 32209 bytes, checksum: ab2051ea869ee86cb340e01f97cef94c (MD5) / Made available in DSpace on 2010-01-08T23:01:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2007_KariseGoncalvesOliveira_parcial.pdf: 32209 bytes, checksum: ab2051ea869ee86cb340e01f97cef94c (MD5) Previous issue date: 2007-02-27 / Apresentamos demonstrações dos seguintes teoremas, que são encontrados em Hoffman, Osserman e Schoen [11]. Seja S uma superfície completa de curvatura média constante em R3, tal que a sua imagem pela aplicação de Gauss está contida em um hemisfério fechado, então S é um cilindro circular reto ou um plano. Seja S uma superfície completa em R4, com vetor curvatura média paralelo e não nulo, tal que a sua imagem por qualquer projeção da aplicação de Gauss generalizada está contida em um hemisfério fechado, então S é um cilindro circular reto em algum R3 ½ R4 ou um produto de círculos. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT / We proof the theorems below, that are found in Hoffman, Osserman and Schoen [11]. Let S be a complete surface of constant mean curvature in R3, such that the image under its Gauss map lies in a closed hemisphere, then S will be a right circular cylinder or a plane. Let S be a complete surface in R4, whose mean curvature vector is parallel and non-zero, such that its image under any projection of the generalized Gauss map lies in a closed hemisphere, then S is a right circular cylinder in some R3 ½ R4, or a product of circles.

Considere (E, r) espaço métrico completo e o espaço De[0, alfa) das funções x : [0, alfa) -> E contínuas à direita e com limite à esquerda. Neste trabalho vamos apresentar a métrica, d, de Skorohod no espaço De[0, alfa). Vamos mostrar que (De[0, alfa),d) é completo. / Consider (E, r) a complete metric space and the space De[0, alfa) of right continuous functions x : [0, alfa) -> E with left limits. In this work we will introduce the metric d of Skorohod on the space De[0, alfa). We will show that (De[0,alfa),d) is complete.

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