Dans cette thèse, on s'intéresse à une marche aléatoire simple<br />sur un amas infini issu d'un processus de percolation surcritique sur les arêtes de $\Z^d \ (d \geq 2)$ de loi $Q$. On étudie des<br /> transformées de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux de cette marche. Dans une première partie, on s'intéresse au cas particulier de la transformée de Laplace du nombre de points visités au temps $n$, noté $N_n$. On montre notamment que cette quantité a un comportement similaire au cas où la marche évolue dans $\Z^d$. Plus précisément, on établit que pour tout $0<\alpha<1$, il existe des constantes $C_i, \ C_s >0$ telles que pour presque toute réalisation de la percolation telle que l'origine appartienne à l'amas infini et pour $n$ assez grand, $$ e^{-C_i n^{ \frac{d}{d+2} } } \leq \E_0^{\omega} ( \alpha^{N_n} ) \leq e^{-C_sn^{ \frac{d}{d+2} }}.$$<br /> Dans une seconde partie, on généralise ce type d'estimées pour d'autres fonctionnelles. Dans ce type de problème, le point principal du travail réside dans l'obtention de la borne supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une famille d'inégalité <br />isopérimétrique sur l'amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet <br />alors d'obtenir une majoration de la probabilité de retour d'une certaine marche sur ce produit en couronne. L'introduction d'un produit en couronne est justement motivée par le fait que la probabilité de retour sur un tel graphe peut s'interprèter comme l'espérance de la transformée de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux pour un bon choix des fibres. <br />Enfin, dans la dernière partie, il est expliqué en détail et de manière générale, en suivant la stratégie d'A. Erschler, comment obtenir une inégalité isopérimétrique sur un produit en couronne de deux graphes à partir d'inégalité isopérimétrique de chacun des deux graphes.

Dans cette thèse on définit et étudie le produit en couronne libre d'un groupe quantique compact par un groupe quantique d'automorphismes, en généralisant la notion de produit en couronne libre par le groupe quantique symétrique introduit par Bichon.Notre recherche est divisée en deux parties. Dans la première, on définit le produit en couronne libre d'un groupe discret par un groupe quantique d'automorphismes. Ensuite, on montre comment décrire les entrelaceurs de ce nouveau objet à l'aide de partitions non-croisées et décorées; à partir de cela et grâce à un résultat de Lemeux, on déduise les représentations irréductibles et les règles de fusion. Ensuite, on prouve des propriétés des algèbres d'opérateurs associées à ce groupe quantique compact, comme la simplicité de la C*-algèbre réduite et la propriété d'Haagerup de l'algèbre de von Neumann.La deuxième partie est une généralisation de la première. D'abord, on définit la notion de produit en couronne libre d'un groupe quantique compact par un groupe quantique d'automorphismes. Après, on généralise la description des espaces des entrelaceurs donnée dans le cas discret et, en adaptant un résultat d'équivalence monoïdale de Lemeux et Tarrago, on trouve les représentations irréductibles et les règles de fusion. Ensuite, on montre des propriétés de stabilité de l'opération de produit en couronne libre. En particulier, on prouve sous quelles conditions deux produits en couronne libres sont monoïdalment équivalents ou ont le semi-anneau de fusion isomorphe. Enfin, on démontre certaines propriétés algébriques et analytiques du groupe quantique duale et des algèbres d'opérateurs associées à un produit en couronne. Comme dernier résultat, on prouve que le produit en couronne de deux groupes quantiques d'automorphismes est isomorphe à un quotient d'un particulier groupe quantique d'automorphismes. / In this thesis, we define and study the free wreath product of a compact quantum group by a quantum automorphism group and, in this way, we generalize the previous notion of free wreath product by the quantum symmetric group introduced by Bichon.Our investigation is divided into two part. In the first, we define the free wreath product of a discrete group by a quantum automorphism group. We show how to describe its intertwiners by making use of decorated noncrossing partitions and from this, thanks to a result of Lemeux, we deduce the irreducible representations and the fusion rules. Then, we prove some properties of the operator algebras associated to this compact quantum group, such as the simplicity of the reduced C*-algebra and the Haagerup property of the von Neumann algebra.The second part is a generalization of the first one. We start by defining the notion of free wreath product of a compact quantum group by a quantum automorphism group. We generalize the description of the spaces of the intertwiners obtained in the discrete case and, by adapting a monoidal equivalence result of Lemeux and Tarrago, we find the irreducible representations and the fusion rules. Then, we prove some stability properties of the free wreath product operation. In particular, we find under which conditions two free wreath products are monoidally equivalent or have isomorphic fusion semirings. We also establish some analytic and algebraic properties of the dual quantum group and of the operator algebras associated to a free wreath product. As a last result, we prove that the free wreath product of two quantum automorphism groups can be seen as the quotient of a suitable quantum automorphism group.

Cette thèse porte sur la conjecture de Baum-Connes pour les groupes quantiques. Le but principal de ce travail est l'étude de la stabilité de la conjecture de Baum-Connes par certaines constructions de groupes quantiques discrets.Dans un premier temps, nous réalisons une étude détaillé et approfondie de la reformulation catégorielle de la conjecture de Baum-Connes d'après les travaux de R. Meyer et R. Nest. Ensuite, nous appliquons ces techniques au cas concret des groupes quantiques discrets sans torsion.Nous réalisons une étude exhaustive des produits croisés afin de pouvoir les manipuler aisément en connexion avec la conjecture de Baum-Connes. Notamment nous donnons une preuve de la propriété universelle d'un produit croisé réduit par un groupe quantique discret. Nous analysons également quelques propriétés d'importance pour le contexte de cette thèse. Mentionnons particulièrement la propriété d'associativité du produit croisé par rapport à un produit semi-direct.En s'inspirant des travaux pionniers de J. Chabert nous menons une généralisation pour les groupes quantiques discrets de la stabilité de la conjecture de Baum-Connes par rapport à un produit semi-direct. Deux propriétés d'invariance d'intérêt indépendant sont également étudiées, à savoir le phénomène de torsion et la K-moyennabilité. Nous observons que l'hypothèse sans torsion force un biproduit crosié compact à être un produit semi-direct quantique sans torsion. Ainsi, la conjecture de Baum-Connes correspondante ne fournit pas d'information remarquable dans ce cas. La stratégie générale pour mener à bien une telle généralisation consiste à définir un foncteur de “décomposition” entre les catégories de Kasparov suivant l'opération de produit semi-direct. Nous observons que cette stratégie peut être extrapolée à d'autres constructions de groupes quantiques. Notamment un produit direct de groupe quantiques. Dans ce cas, nous établissons une connexion avec la formule de Künneth de manière analogue à ce qui a été démontré par J. Chabert, S. Echterhoff et H. Oyono-Oyono pour les groupes localement compacts classiques. Les propriétés de torsion et de K-moyennabilité ont également été étudiées.Nous savons, grâce à R. Vergnioux and C. Voigt, que la conjecture de Baum-Connes forte est préservée par le passage aux sous-groupes quantiques discrets divisibles. Le même résultat est vrai pour la propriété de torsion forte, grâce à Y. Arano et K. De Commer. Dans ce travail nous montrons qu'aussi bien la conjecture de Baum-Connes usuelle que la propriété de torsion usuelle sont préservées par le passage aux sous-groupes quantiques discrets divisibles. La propriété de K-moyennabilité a également été étudiée.Une notable propriété de permanence inclue dans cette thèse est la stabilité de la conjecture de Baum-Connes forte par produit en couronne libre. Pour cela, nous réalisons une complète classification des actions de torsion pour un produit libre quantique, ce qui permet de donner une formulation adéquate de la conjecture de Baum-Connes forte pour un produit en couronne libre inspirés par le travail pionnier de C. Voigt. Une application majeure est un calcul explicite de K-théorie, dans trois situations pertinentes, pour le groupe quantique compact de Lemeux-Tarrago qui est monoïdallement équivalent à un produit en couronne libre. Cette propriété de stabilité pour un produit en couronne libre ainsi que les calculs de K-théorie s'intègrent dans un travail en collaboration avec A. Freslon. Pour conclure, nous nous questionnons sur les résultats obtenus afin de proposer une liste de questions, problems et objectifs que l'auteur a rencontré durant l'intégralité de la période de recherche de cette thèse et qui rassemblent quelques unes des lignes de travail pour ses projets futures de recherche / The present dissertation is focused on the Baum-Connes conjecture for quantum groups. The main purpose of this work is the study of the Baum-Connes conjecture stability under some constructions of discrete quantum groups. In a first phase, we carry out a detailed and extensive study about the categorical reformulation of the Baum-Connes conjecture according to the results of R. Meyer and R. Nest. Next, we apply these techniques to the specific case of torsion-free discrete quantum groups. We carry out an exhaustive study of crossed products in order to handle them comfortably in connexion with the Baum-Connes conjecture. Notably, we give a proof of the universal property satisfied by a reduced crossed product by a discrete quantum group. We analyze as well some important properties for this dissertation. Let us mention in particular the associativity property of the crossed product with respect to a semi-direct product. Being inspired by the pionneer work of J. Chabert, we perform a generalization for discrete quantum groups of the invariance property of the Baum-Connes conjecture under the semi-direct product construction. Two permanence properties of own interest are studied as well. Namely, the torsion-freeness and the K-amenability. We observe that the torsion-freeness assumption forces a compact bicrossed product to be a torsion-free quantum semi-direct product, so that the corresponding Baum-Connes conjecture does not give any relevant information in this case. The general strategy used to accomplish such a generalization consists in defining a “decomposition” functor between the corresponding Kasparov categories in accordance with the semi-direct product operation. Thus, we observe that this strategy can be extrapolate to other (quantum) group constructions. Namely, to a quantum direct product. In this case, we state a connexion with the Künneth formula as pointed out by J. Chabert, S. Echterhoff and H. Oyono-Oyono for classical locally compact groups. The properties of torsion-frenness and K-amenability are also analyzed. It is known, thanks to R. Vergnioux and C. Voigt, that the strong Baum-Connes conjecture is preserved by divisible discrete quantum subgroups. The same is true for the strong torsion-freeness property, thanks to Y. Arano and K. De Commer. Here we show that both the usual Baum-Connes conjecture and the usual torsion-freeness property are preserved by divisible discrete quantum subgroups. The K-amenability property is analyzed too. A notably permanence property included in this dissertation is the invariance of the strong Baum-Connes conjecture under the free wreath product construction. For this, we carry out a complete classification of torsion actions of a quantum free product, which allows to give an appropriated formulation of the strong Baum-Connes conjecture for a free wreath product inspired by the pioneer work of C. Voigt. A major application is an explicit K-theory computation, in three relevant situations, for the Lemeux-Tarrago's compact quantum group which is monoidally equivalent to a free wreath product. Both this stability property for a free wreath product and the K-theory computations are part of a collaboration work with A. Freslon. To conclude, we question ourselves about the results obtained in order to suggest a list of questions, problems and goals that the author has encountered during the whole research period of the present dissertation and that are part of his future research projects