O objetivo deste trabalho é estudar superfcies no espaço pseudo-euclidianoR^4_2 . Basicamente, consideramos vários tipos de superfcies nesse espaço e assim se obter alguns resultados clássicos da Geometria Diferencial. Para superfcies que são certos tipos de gráficos nesse espaço se faz um estudo para os problemas de Bernstein e Björling. / The aim of this work is to study surfaces in pseudo-euclidean space R^4_2 . Basically, we consider several types of surfaces in this space and thus obtain some classical results in Differential Geometry. For surfaces that are certain types of graphs in this space is made a study for the Bernsteins problem and the Björlings problem.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε τρία Προβλήματα που αναφέρονται στην Ψευδο-Ευκλείδεια Γεωμετρία. Στα δύο πρώτα Κεφάλαια, Κεφάλαιο 1 και Κεφάλαιο 2 αναφέρουμε γνωστά αποτελέσματα και περιγράφουμε βασικές έννοιες της Ρημάννιας και Ψευδό - Ρημάννιας Γεωμετρίας. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε επιφάνειες εκ περιστροφής στον τρισδιάστατο Lorentz - Minkowski χώρο ικανοποιώντας δοσμένη γεωμετρική συνθήκη. Στο Κεφάλαιο 4 βρίσκουμε όλες τις κανονικές μορφές του τελεστή σχήματος των τρισδιάστατων υπερεπιφανειών τύπου (-, +, -) του τετρασδιάστατου Ψευδο - Ευκλείδειου χώρου τύπου (-, +, -, +). Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 μελετάμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των διαρμονικών και ελαχιστικών υπερεπιφανειών που αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο 4, χρησιμοποιώντας τον τελεστή σχήματός τους. Ειδικότερα, αποδεικνύουμε ότι κάθε τέτοια διαρμονική υπερεπιφάνεια είναι ελαχιστική. / In the present PH.D. thesis we study three problems referred in the pseudo-Euclidean geometry. In the first two chapters, Chapter 1 and Chapter 2, we review known results and describe the basic notions of the Riemannian and Pseudo-Riemannian geometry. In Chapter 3, we study surfaces of revolution of the three dimensional Lorentz-Minkowski space satisfying given geometric condition. In Chapter 4, we find all the canonical forms of the shape operator of the three dimensional hypersurfaces of signature (-, +, -) of the four dimensional pseudo-Euclidean space of signature (-, +, -, +). Finally, in Chapter 5, we study the relation which exists between the biharmonic and minimal hypersurfaces referred in Chapter 4, by using their shape operator. Precisely, we prove that every such biharmonic hypersurface is minimal.