La gestion de risque est un domaine qui ne cesse d’évoluer chaque année. En effet, plusieurs modèles ont été construits pour modéliser la richesse d’une compagnie d’assurance et suivre son comportement dans le temps. Un des objectifs de cette modélisation est de fournir des indicateurs de risque qui donnent une visibilité sur la situation de la compagnie et aident ses gestionnaires à prendre les décisions nécessaires. La majorité des modèles reposent sur le processus de Poisson et tiennent compte du nombre et du moment de sinistre. Dans ce mémoire, on propose un nouveau modèle stochastique différent de ce qui était réalisé jusqu’à présent pour la gestion de risque. Il s’agit d’un modèle d’approximation de réserve par un processus de diffusion, basé sur une équation différentielle stochastique. Dans ce modèle on ne tient pas compte du nombre ni des instants de sinistres, on ne tient compte que de la valeur totale des dépenses et celle des revenus. On introduit aussi le taux de croissance de la compagnie car il a une grande influence sur l’augmentation des réserves dans le temps. On définit aussi quelques indicateurs de risque et on les ajuste selon notre modèle. Donc, on considère un processus de risque multidimensionnel dont chaque composante du vecteur représente le processus de réserve pour une des lignes d’activité de la compagnie. On suppose dans la construction du modèle l’indépendance entre les lignes afin de faciliter les calculs. Enfin, on supporte la construction du modèle par une validation numérique dans laquelle on utilise des schémas de discrétisation et de simulation numérique comme Euler- Maruyama et la méthode de Monte-Carlo pour expliquer le fonctionnement de chaque ligne d’activité et obtenir l’approximation de quelques indicateurs de risque. Suite à l’étude numérique on valide que notre approche est fonctionnelle et fournie une modélisation réaliste. On constate alors que le capital initial a un grand rôle et peut dans certains cas sauver la situation de la compagnie. Le niveau du seuil de l’arrêt de la ligne (en cas de ruine sévère) qu’on a introduit dans le modèle agit aussi beaucoup sur la santé de l’entreprise. / Risk management is an area that continues to evolve each year. Indeed, several models are built to model the wealth of an insurance company and follow its behavior over time. One of the targets of this modeling is to provide risk indicators that give visibility about the company’s situation and help the company’s managers make the necessary decisions. The majority of models rely on the composed Poisson processes and consider the number and time of sinisters. We propose in this thesis a new stochastic model based on stochastic differential equation for risk management. It is a reserve approximation model obtained by a diffusion process. In this model we do not take into account the number or the instants of sinisters, we only take into account the total of losses and of incomes together with the growth of each business line. Some risk indicators are also defined and adjusted according to our model. We consider then a multidimensional risk process, where each component of the vector is the reserve process for one line of business for the company. We assume the independence between the different lines to facilitate the modelling. Finally, we propose a simulation study using an Euler-Maruyama scheme coupled to a Monte- Carlo method. Then, we explain the behavior of each line and we compute the approximation of some risk indicators. The findings of the numerical study support the conclusion that our method works and provide good results. With regard to the numerical results, it can be concluded that the initial capital has a great role and can in some cases save the company’s situation. Moreover, the threshold level that has been introduced into the model is also very important for the insurance company’s health. / Résumé en espagnol

Étant donné G un groupe topologique localement compact, il est bien connu que l’espace L1(G) des fonctions absolument intégrables sur G est stable par rapport au produit de convolution et jouit même d’une structure d’algèbre de Banach. Mais il en va tout autrement pour les espaces Lp(G) avec p > 1 : le théorème de Saeki stipule que l’espace Lp(G) est stable par rapport au produit de convolution si et seulement si G est compact. Il existe cependant une façon d’infléchir le résultat dans un sens qui nous agrée : en modifiant la définition des normes k kp afin d’y introduire une pondération, à savoir une fonction w : G ! (0; 1), on peut parfois faire en sorte que l’espace ainsi obtenu – qu’on appelle l’espace w-pondéré des fonctions Lp(G) et qu’on note Lp(G; w) – soit stable par rapport au produit de convolution. Cette démarche soulève toutefois deux questions importantes : — Pour p > 1 fixé, quels sont les groupes topologiques localement compacts admettant au moins une pondération pour laquelle Lp(G; w) est stable par rapport au produit de convolution ? — Étant donné un tel groupe G, qu’est-ce qui caractérise les pondérations w : G ! (0; 1) pour lesquelles Lp(G; w) est stable par rapport au produit de convolution ? Bien qu’on ne dispose pas à ce jour de réponses complètes et définitives à ces deux questions, nous passerons en revue quelques récents progrès, sans prétendre à l’exhaustivité. Notre attention se focalisera principalement sur un problème émanant de la deuxième question : il est établi que toute pondération jouissant de la propriété nommée sous-convolutivité au sens faible donne lieu à un espace Lp(G; w) qui est stable par rapport au produit de convolution. Mais on connait désormais de nombreux exemples montrant que cette condition suffisante n’est pas nécessaire en général. Il existe cependant un type de groupes pour lequel la possibilité demeure que la sous-convolutivité au sens faible représente effectivement une caractérisation complète. Il s’agit des groupes abéliens discrets. La présente thèse de doctorat vise à élaborer de nouvelles approches pour aborder la question quant à savoir si, oui ou non, la sous-convolutivité au sens faible est une condition nécessaire et suffisante pour garantir la stabilité de Lp(G; w) par rapport au produit de convolution dans le cas particulier où G est un groupe abélien discret et p = 2. Dans la première partie de cette thèse, nous interprétons cette question à la lumière de la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et obtiendrons une preuve substantiellement différente d’un résultat de Kuznetsova. La seconde partie de la thèse est consacrée à la reformulation de la question principale dans le cadre de la théorie des opérateurs. Ce faisant, nous formulons encore une autre démonstration significativement différente du théorème de Kuznetsova. L’approche développée nous permet également l’obtention d’estimations originales et celles-ci sont présentées en détail. / 354402\u Given a locally compact topological group G, it is widely known that L1(G), the space of absolutely integrable functions on G, is an algebra with respect to the operation of convolution. For any given Lp(G) space with p > 1, though, the situation is emphatically different: a theorem of Saeki states that Lp(G) is a convolution algebra if and only if G is compact. If we introduce within the definition of the Lp-norm a weight function w : G ! (0; 1), we obtain a new function space called the w-weighted Lp-space and denoted by Lp(G; w). By defining the weight function carefully, Lp(G; w) can be made to be stable with respect to convolution even though G is non-compact. However, this raises two fundamental questions: — Given p > 1, what are the locally compact topological groups G on which there exists a weight w such that Lp(G; w) is stable with respect to convolution? — Given such a group G, what condition(s) does w : G ! (0; 1) need to verify in order for Lp(G; w) to be stable with respect to convolution? Thus far, these questions remain unsolved. We shall discuss in detail some partial answers available in the literature, whilst not claiming to be exhaustive. We will be focusing mainly on a problem arising from the second question: it has been established that any weakly subconvolutive weight causes Lp(G; w) to be stable with respect to convolution. But there are numerous examples showing that this sufficient condition is not necessary. There is, however, a type of group, viz. the discrete abelian groups, for which there remains a possibility that weak sub-convolutivity truly characterizes those weights entailing the stability of the Lp-space of functions with respect to convolution. In this thesis, we aim to elaborate new approaches to determine whether the weak subconvolutivity is a necessary and sufficient condition guaranteeing the stability of Lp(G; w) with respect to convolution in the particular case of discrete abelian groups and for p = 2. In the first part of this thesis, we reinterpret this question in light of the theory of reproducing kernel Hilbert spaces, and we obtain a substantially different proof of a theorem of Kuznetsova. The second part of the thesis is devoted to revisiting the main question, but this time, we rephrase it in the context of the operator theory. In doing so, we derive yet another proof of Kuznetsova’s theorem as well as an original estimate.

Des débalancements des covariables entre les groupes de traitement sont souvent présents dans les études observationnelles et peuvent biaiser les comparaisons entre les traitements. Ce biais peut notamment être corrigé grâce à des méthodes de pondération ou d’appariement. Ces méthodes de correction ont rarement été comparées dans un contexte de traitement à plusieurs catégories (>2). Nous avons mené une étude de simulation pour comparer une méthode d’appariement optimal non-biparti, la pondération par probabilité inverse de traitement ainsi qu’une pondération modifiée analogue à l’appariement (matching weights). Ces comparaisons ont été effectuées dans le cadre de simulation de type Monte Carlo à travers laquelle une variable d’exposition à 3 groupes a été utilisée. Une étude de simulation utilisant des données réelles (plasmode) a été conduite et dans laquelle la variable de traitement avait 5 catégories. Parmi toutes les méthodes comparées, celle du matching weights apparaît comme étant la plus robuste selon le critère de l’erreur quadratique moyenne. Il en ressort, aussi, que les résultats de la pondération par probabilité inverse de traitement peuvent parfois être améliorés par la troncation. De plus, la performance de la pondération dépend du niveau de chevauchement entre les différents groupes de traitement. La performance de l’appariement optimal nonbiparti est, quant à elle, fortement tributaire de la distance maximale pour qu’une paire soit formée (caliper). Toutefois, le choix du caliper optimal n’est pas facile et demeure une question ouverte. De surcroît, les résultats obtenus avec la simulation plasmode étaient positifs, dans la mesure où une réduction importante du biais a été observée. Toutes les méthodes ont pu réduire significativement le biais de confusion. Avant d’utiliser la pondération de probabilité inverse de traitement, il est recommandé de vérifier la violation de l’hypothèse de positivité ou l’existence de zones de chevauchement entre les différents groupes de traitement

Nous évaluons la perfomance du critère récemment proposé meanAIC comme critère de sélection de variables pour les modèles de régression logistique conditionnelle mixte. Il s’agit d’un critère basé sur l’information d’Akaike, calculable lorsque le modèle est ajusté à l’aide d’une méthode d’estimation en deux étapes. En outre, le calcul de meanAIC ne nécessite pas la spécification de la structure des effets aléatoires ; il est donc d’une grande utilité comme premier filtre pour les variables dans une première analyse où la structure des effets aléatoires est typiquement inconnue. Ce travail a été motivé par les applications en écologie, où la sélection de variables est traditionnellement basée sur les critères d’information plutôt que sur les méthodes de régularisation. Ces études utilisent les données télémétriques de déplacement animal collectées selon un plan d’échantillonnage cas-témoins apparié et analysées à l’aide d’un modèle de régression logistique conditionnelle mixte. Nous effectuons une étude de simulation pour évaluer la capacité de meanAIC à correctement identifier les covariables potentiellement importantes dans le modèle et nous illustrons son utilisation à l’aide de données de sélection d’habitat collectées sur des caribous / We assess the perfomance of the recently proposed criterion meanAIC as a variable selection criterion for mixed conditional logistic regression models. It is a criterion based on Akaike’s information, computable when the model is fitted with a two-step estimation method. In addition, the calculation of meanAIC does not require the specification of the random effects structure; it is thus of great use as a first covariates filter in the early stage of the analysis when the random effects structure is typically unknown. This work is motivated by applications in ecology where the model selection is traditionally based on information criteria rather than on regularization. These studies use animal movement telemetric data collected using a matched case-control sampling design that are analyzed with a mixed conditional logistic regression model. We conduct a simulation study to assess the ability of meanAIC to correctly identify potentially important covariates and illustrate its use by analyzing habitat selection data collected on caribou.

Ce mémoire étudie le risque de longévité pour un régime de retraite à prestations déterminées dans un contexte québécois et canadien. On le définit comme le risque que les retraités vivent significativement plus longtemps que prévu, occasionnant des pertes pour le régime. Afin de le quantifier, on a recours à des données du Régime de pensions du Canada (RPC), du Régime de rentes du Québec (RRQ) et de la Base de données sur la longévité canadienne (BDLC) permettant l’utilisation de différentes variables explicatives (âge, année, cohorte, revenu et région). Une projection stochastique de la mortalité sur plusieurs sous-populations est effectuée selon un cadre général inspiré de Hunt et Blake (2014) et une approche de modèle relatif de Villegas et Haberman (2014). Selon les modèles identifiés et retenus dans ce mémoire, une évolution défavorable de la mortalité pour un régime de retraite, à un niveau de confiance de 95 %, pourrait occasionner une hausse d’environ 5% du coût des rentes pour les femmes et de 10 à 15 % du coût des rentes pour les hommes. Ces hausses de coût se comparent, pour une hypothèse de rendement de 4 % (i = 4,0 %), à une diminution de 0,4 % (i = 3,6 %) de cette hypothèse pour les femmes et de 1,0 % (i = 3,0 %) pour les hommes. Également, les résultats de la modélisation tendent à démontrer l’ordre suivant quant à l’importance relative des variables étudiées afin d’expliquer le niveau de la mortalité des femmes et des hommes : 1) l’âge 2) l’année 3) le revenu (proxy socio-économique) 4) la région (RPC vs RRQ). Il n’a pas été possible de déterminer qu’une variable de cohorte était nécessaire pour améliorer la modélisation de la mortalité des retraités canadiens.