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Quasi-morphismes et difféomorphismes hamiltoniensPy, Pierre 04 February 2008 (has links) (PDF)
Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré, et des vecteurs de rotations associés aux difféomorphismes des surfaces. D'autre part, tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée. <br /><br />Dans le premier chapitre nous construisons des quasi-morphismes sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface de genre strictement positif, qui sont des homomorphismes en restriction au sous-groupe des difféomorphismes à support dans un ouvert difféomorphe à un disque. Ces constructions sont motivées par une question de Entov et Polterovich. Dans le second chapitre nous construisons un quasi-morphisme défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique monotone. <br /><br />Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l'aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Dans l'esprit du "programme de Zimmer", nous montrons comment l'existence de nombreux quasi-morphismes, combinée avec des théorèmes d'annulation en cohomologie bornée, pourrait être utile pour exclure l'existence d'actions de réseaux de rang supérieur. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.
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Dynamique topologique sur les surfaces : gros groupe modulaire & classes de Brouwer / Topological dynamics on surfaces : big mapping class group and Brouwer classesBavard, Juliette 09 December 2015 (has links)
On étudie le groupe modulaire G du plan privé d'un ensemble de Cantor et les classes de Brouwer du groupe modulaire du plan privé de Z. Ces objets apparaîssent naturellement en dynamique topologique sur les surfaces. Dans le premier chapitre, on s'intéresse au groupe G et à son action sur le graphe des rayons, qui est un analogue déni par Danny Calegari du complexe des courbes pour le plan privé d'un ensemble de Cantor. En particulier, on montre que ce graphe est de diamètre infini et hyperbolique. On utilise ensuite l'action de G sur ce graphe hyperbolique pour exhiber un quasi-morphisme non trivial explicite sur G et pour montrer que le deuxième groupe de cohomologie bornée de G est dedimension infinie. Enfin, on donne un exemple d'un élément hyperbolique de G dont la longueur stable des commutateurs est nulle. Dans le second chapitre, on développe de nouveaux outils pour la théorie de Brouwer homotopique. En particulier, on décrit un ensemble canonique de droites de réduction, l'ensemble des murs, qui sépare le plan en zones de translation maximales et en zones irréductibles. On se restreint ensuite au cas des classes de Brouwer relativement à quatre orbites, et on les décrit explicitement en ajoutant au diagramme de Handel et à l'ensemble des murs un emmêlement, qui est essentiellement une classe d'isotopie de courbes sur le cylindre privé de deux points. / We study the mapping class group G of the complement of a Cantor set in the plane and the Brouwer mapping classes of the mapping class group of the complement of Z in the plane. These objects arise naturally in topological dynamics on surfaces. In the first chapter, we study the group G and its action on the ray graph, which is the analog dened by Danny Calegari of the complex of curves for the complement of a Cantor set in the plane. In particular, we show that this graph has infinite diameter and is hyperbolic. We use the action of G on this graph to find an explicit non trivial quasimorphism on G and to show that this group has infinite dimensional second bounded cohomology. We give an example of a hyperbolic element of G with vanishing stable commutator length. In the second chapter, we give new tools for homotopy Brouwer theory. In particular, we describe a canonical reducing set, the set of "walls", which splits the plane into maximal translation areas and irreducible areas. We then focus on Brouwer mapping classes relatively to four orbits and describe them explicitly by adding to Handel's diagram and to the set of walls a "tangle", which is essentially an isotopy class of simple closed curves in the cylinder minus two points.
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