Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Este trabajo de tesis contiene dos cap\'itulos principales, donde se estudian dos problemas independientes de Modelaci\'on Matem\'atica. En el Cap\'titulo 1 se estudia la existencia y unicidad de distribuciones quasi estacionarias para un movimiento Browniano con drift extinguido en cero, para el caso que infinito es Frontera de Entrada y cero frontera de salida de acuerdo a la clasificaci\'on de Feller. El trabajo est\'a relacionado con la publicaci\'on pionera \cite, donde algunas condiciones suficientes son establecidas para demostrar la existencia y unicidad de QSD en el contexto de una familia de Modelos de Din\'amica de Poblaciones y difusiones de Feller. El trabajo generaliza los teoremas m\'as importantes de \cite , ya que no se imponen condiciones extras para obtener los resultados de existencia y unicidad de QSD y la existencia del l\'imite de Yaglom. La parte t\'ecnica est\'a basada en la teor\'ia del problema de Sturm Liouville sobre la semirecta positiva. Espec\'ificamente, se demuestra que bajo las principales hip\'otesis existe espectro discreto si y solo si infinito es frontera de entrada y todas las eigenfunciones son simples e integrables respecto a la medida de rapidez del proceso.\\ En el cap\'itulo 2, se estudia el problema de obtener cotas optimales sobre el Hamiltoniano para el Modelo de Ising de largo alcance, con t\'ermino de interacci\'on decayendo de acuerdo a $d^{\alpha-2}$, $\alpha \in [0,1)$. El trabajo est\'a basado en el art\'iculo publicado en 2005 \cite{Paper1}, donde cotas optimales son obtenidas para el caso $\alpha \in [0,\frac{log{3}}{\log{2}}-1)$ en t\'erminos de estructuras jer\'arquicas llamadas tri\'angulos y contornos. Los teoremas principales de este trabajo pueden ser resumidos como (i) No existe una cota optimal para el Hamiltoniano en t\'erminos de tri\'angulos para $\alpha \in [\frac-1,1)$. (ii) Existe una cota optimal para el Hamiltoniano en t\'erminos de Contornos para $\alpha \in [0,1)$, resultados que son demostrado en los Teoremas \ref{XYZ} y \ref{Teo1} respectivamente. Ambos generalizan los resultados existentes, y constituyen la principal contribuci\'on de este trabajo. Para demostrar el Teorema \ref, se construye expl\'icitamente una familia de contraejemplos. La parte t\'ecnica est\'a fuertemente basada en la teor\'ia de Fractales sobre Conjuntos Discretos. Para demostrar teorema \ref{Teo1} , se usa el argumento se agrupar y sumar sobre contornos con la misma masa. Las demostraciones para ambos resultados son muy t\'ecnicas y requieren una gran cantidad de c\'alculos , los cuales son entregados en detalle. Por otra parte, los teoremas principales tienen importantes implicancias en \'esta clase de Modelos. La m\'as importante y directa es la existencia de una fase de transici\'on para bajas temperaturas basada en el argumento de Peierls. Dicha demostraci\'un, es tambi\'en entregada en este trabajo.

In this thesis we study the asymptotic behaviour of the solution of a discrete time renewal equation depending on a small perturbation parameter. In particular, we construct asymptotic expansions for the solution of the renewal equation and related quantities. The results are applied to studies of quasi-stationary phenomena for regenerative processes and asymptotics of ruin probabilities for a discrete time analogue of the Cramér-Lundberg risk model.

In this thesis, nonlinearly perturbed stochastic models in discrete time are considered. We give algorithms for construction of asymptotic expansions with respect to the perturbation parameter for various quantities of interest. In particular, asymptotic expansions are given for solutions of renewal equations, quasi-stationary distributions for semi-Markov processes, and ruin probabilities for risk processes. / <p>At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 4: Manuscript. Paper 5: Manuscript. Paper 6: Manuscript.</p>

Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique de systèmes de particules en interaction de type champ moyen en espace discret, systèmes pour lesquels l'interaction a lieu par l'intermédiaire de la mesure empirique. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous intéressons aux systèmes de particules de type Fleming-Viot: les particules se déplacent indépendamment suivant une dynamique markovienne jusqu'au moment où l'une d'entre elles touche un état absorbant. A cet instant, la particule absorbée choisit uniformément une autre particule et saute sur sa position. L'ergodicité du processus est établie dans le cadre de marches aléatoires sur N avec dérive vers l'origine et pour une dynamique proche de celle du graphe complet. Pour ce dernier, nous obtenons une estimation quantitative de la convergence en temps long à l'aide de la courbure de Wasserstein. Nous montrons de plus la convergence de la distribution empirique stationnaire vers une unique distribution quasi-stationnaire, quand le nombre de particules tend vers l'infini. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous nous intéressons au comportement en temps long et quand le nombre de particules devient grand, d'un système de processus de naissance et mort pour lequel les particules interagissent à chaque instant par le biais de la moyenne de leurs positions. Nous établissons l'existence d'une limite macroscopique, solution d'une équation non linéaire ainsi que le phénomène de propagation du chaos avec une estimation quantitative et uniforme en temps / In this thesis we study the asymptotic behavior of particle systems in mean field type interaction in discrete space, where the system acts over one fixed particle through the empirical measure of the system. In the first part of this thesis, we are interested in Fleming-Viot particle systems: the particles move independently of each other until one of them reaches an absorbing state. At this time, the absorbed particle jumps instantly to the position of one of the other particles, chosen uniformly at random. The ergodicity of the process is established in the case of random walks on N with a dirft towards the origin and on complete graph dynamics. For the latter, we obtain a quantitative estimate of the convergence described by the Wasserstein curvature. Moreover, under the invariant measure, we show the convergence of the empirical measure towards the unique quasi-stationary distribution as the size of the system tends to infinity. In the second part of this thesis, we study the behavior in large time and when the number of particles is large of a system of birth and death processes where at each time a particle interacts with the others through the mean of theirs positions. We establish the existence of a macroscopic limit, solution of a non linear equation and the propagation of chaos phenomenon with quantitative and uniform in time estimate