Neste trabalho um modelo é apresentado que permite-nos prever quantitativamente o estado estacionário atingido por um plasma não-neutro durante um processo de relaxação nãocolisional. Como uma aplicação específica, a teoria é usada para estudar a relaxação de feixes de partículas carregadas na qual, mostra-se que, um feixe inicialmente casado relaxa para a distribuição de Lynden-Bell. No entanto, quando existe um descasamento inicial, o mesmo oscila e ressonâncias paramétricas conduzem-no a uma separação de fases: caroço e halo. A abordagem desenvolvida vale tanto para a densidade como para a distribuição de velocidade no estado final estacionário. / In this work a theoretical framework is presented which allows us to quantitatively predict the final stationary state achieved by a non-neutral plasma during a process of collisionless relaxation. As a specific application, the theory is used to study relaxation of charged-particle beams. It is shown that a fully matched beam relaxes to the Lynden-Bell distribution. However, when a mismatch is present and the beam oscillates, parametric resonances lead to a corehalo phase separation. The approach developed accounts for both the density and the velocity distributions in the final stationary state.

Neste trabalho um modelo é apresentado que permite-nos prever quantitativamente o estado estacionário atingido por um plasma não-neutro durante um processo de relaxação nãocolisional. Como uma aplicação específica, a teoria é usada para estudar a relaxação de feixes de partículas carregadas na qual, mostra-se que, um feixe inicialmente casado relaxa para a distribuição de Lynden-Bell. No entanto, quando existe um descasamento inicial, o mesmo oscila e ressonâncias paramétricas conduzem-no a uma separação de fases: caroço e halo. A abordagem desenvolvida vale tanto para a densidade como para a distribuição de velocidade no estado final estacionário. / In this work a theoretical framework is presented which allows us to quantitatively predict the final stationary state achieved by a non-neutral plasma during a process of collisionless relaxation. As a specific application, the theory is used to study relaxation of charged-particle beams. It is shown that a fully matched beam relaxes to the Lynden-Bell distribution. However, when a mismatch is present and the beam oscillates, parametric resonances lead to a corehalo phase separation. The approach developed accounts for both the density and the velocity distributions in the final stationary state.

Neste trabalho um modelo é apresentado que permite-nos prever quantitativamente o estado estacionário atingido por um plasma não-neutro durante um processo de relaxação nãocolisional. Como uma aplicação específica, a teoria é usada para estudar a relaxação de feixes de partículas carregadas na qual, mostra-se que, um feixe inicialmente casado relaxa para a distribuição de Lynden-Bell. No entanto, quando existe um descasamento inicial, o mesmo oscila e ressonâncias paramétricas conduzem-no a uma separação de fases: caroço e halo. A abordagem desenvolvida vale tanto para a densidade como para a distribuição de velocidade no estado final estacionário. / In this work a theoretical framework is presented which allows us to quantitatively predict the final stationary state achieved by a non-neutral plasma during a process of collisionless relaxation. As a specific application, the theory is used to study relaxation of charged-particle beams. It is shown that a fully matched beam relaxes to the Lynden-Bell distribution. However, when a mismatch is present and the beam oscillates, parametric resonances lead to a corehalo phase separation. The approach developed accounts for both the density and the velocity distributions in the final stationary state.

Neste trabalho, estudamos a influência de canais de espalhamento inelástico no transporte eletrônico. Primeiramente, expomos o formalismo de Landauer usual para o cálculo da corrente elétrica em sistemas em que o espalhamento é puramente elástico. Como exemplo, calculamos a corrente para um potencial delta de Dirac a partir de suas probabilidades de transmissão. A amostra correspondente é aquela de uma camada muito fina com impurezas (não-magnéticas) contida em uma heterostrutura semicondutora. Mostramos que a distorção do potencial quântico devido à voltagem aplicada pode ser desprezada no cálculo da corrente elétrica, abaixo da energia de Fermi do emissor. Subsequentemente, acoplamos o potencial delta a um oscilador harmônico quântico para modelar a presença de fônons no sistema. Encontramos modos inelásticos de transmissão que se tornam acessíveis para energias cada vez maiores, múltiplas do quantum hω. Devido à conservação de probabilidade, a abertura de cada novo canal corresponde a bicos\" nas probabilidades de transmissão dos modos abaixo deste, em função da energia de incidência do elétron. No caso de uma delta atrativa, ressonâncias assimétricas com perfil de Fano são observadas. Adaptamos o formalismo de Landauer, incluindo canais inelásticos independentes. Seguindo um trabalho anterior de Emberly e Kirczenow (2000), mostramos que existe uma forma de se levar em conta possíveis coincidências nos estados de espalhamento finais aplicando o princípio de exclusão de Pauli. Isto leva as distribuições dos estados de espalhamento a estarem fora de equilíbrio, já que dependem umas das outras. Resolvendo o problema auto-consistentemente, somos capazes de obter a corrente elétrica a partir das probabilidades de transmissão do potencial quântico. Nossos resultados demonstram que as ressonâncias de Fano do potencial atrativo dão origem a uma diminuição da inclinação da corrente elétrica contra a voltagem aplicada, já que elétrons são presos\" ao potencial por um tempo infinito. Mostramos este efeito num regime de voltagens baixas em comparação com a energia de Fermi, para o qual desprezamos a distorção do potencial quântico devido à voltagem aplicada. Além disso, uma comparação com os resultados do formalismo de Landauer mostra que uma discrepância significativa é observada para o caso de o oscilador estar inicialmente excitado e fortemente acoplado ao elétron. / In this work, we study the influence of inelastic scattering channels in electronic transport. We first present the usual Landauer formalism, for calculating the electric current in systems where the scattering is purely elastic. As an example, we calculate the current for a Dirac delta potential from its transmission probabilities. The corresponding sample is that of a very thin layer with (non-magnetic) impurities within a semiconductor heterostructure. We show that the distortion of the quantum potential due to the applied voltage can be ignored in the calculation of an electric current below the Fermi energy of the emitter. Then we couple the delta potential to a quantum harmonic oscillator to model the presence of phonons in the system. We find inelastic transmission modes that become available for increasing energies, multiple of the quantum hω. Due to conservation of probability, the opening of each new channel corresponds to kinks\" in the transmission probabilities of lower modes as a function of the energy of the impinging electrons. In the case of an attractive delta potential, asymmetric resonances with a Fano-like profile are observed. We adapt the Landauer formalism by including the independent inelastic channels. Following a previous work by Emberly and Kirczenow (2000), we show that there is a way to take into account the possible coincidences in the final scattering states using Pauli\'s exclusion principle. This causes the distributions of the scattering states to be out of equilibrium, as they depend on each other. Solving the problem self-consistently, we are able to obtain the electric current from the transmission probabilities of the quantum potential. Our results demonstrate that the Fano resonances of the attractive potential gives rise to a decrease of the slope in the electric current versus the applied voltage, as the electrons are trapped\" in the potential for a finite amount of time. We have shown this effect in a low voltage regime with respect to the Fermi energy, for which we ignore the distortion of the quantum potential due to the applied voltage. Furthermore, a comparison with the results from the Landauer formalism shows that a significant discrepancy is seen for the oscillator initially in its excited mode and strongly coupled to the electron.

O modelo estocástico Raise and Peel é estudado nesta tese. Para isto é utilizado o método de simulação por Monte Carlo junto com os métodos de diagonalização exata e numérica do operador de Liouville. Este modelo estocástico é um modelo de crescimento unidimensional com dois parâmetros livres. Um parâmetro de absorção local e um parâmetro de dessorção não local. Em função destes dois parâmetros se observa um rico diagrama de fase, apresentando regiões massivas, regiões criticamente auto-organizadas, estados quase-estacionários e transições a múltiplos estados absorventes. O principal resultado deste trabalho é ressaltar a existência de células de Jordan no operador de Liouville. Células de Jordan que crescem com o tamanho do sistema e portanto no limite termodinâmico a dinâmica assintótica pode ser mascarada. A nível numérico estas células de Jordan podem levar a errôneas interpretações de fases criticas quando são na realidade fases massivas ou vice-versa. Portanto dependendo da condição inicial observa-se que a presença de células de Jordan pode levar à determinação errônea de expoentes críticos e a observações de tempos de decaimentos excessivamente grandes. Tudo isto ressalta a necessidade de se determinar os expoentes críticos e os tempos de decaimento por diversos métodos, sempre que for possível, além de se controlar o comportamento destas quantidades considerando a evolução do modelo com diferentes condições inicias. Entre outros resultados que obtivemos observamos a existência de estados quase-estacionários com tempos de vida que crescem muito mais rápido que uma lei de potencia do tamanho do sistema. Encontramos o expoente critico dinâmico z=1, no caso da transição a estados multi-absorventes. Este resultado ocorreu tanto nos casos sem absorção como nos casos sem dessorção. O modelo exibe também uma fase rugosa com um expoente de rugosidade próximo de zero quando a taxa de absorção é maior que a taxa dessorção. E finalmente observamos que o modelo estudado em condições periódicas de contorno pode ser enxergado como um modelo KPZ em 1+1 dimensões, sujeito a dois tipos de perturbações. Uma das pertubações sendo relevante e a outra irrelevante. / The stochastic model Raise and Peel is studied in this thesis. we use the Monte Carlo simulation method together with the exact and numerical diagonalization methods of the Liouville operator. This stochastic model is a one-dimensional growth model with two free parameters. A local absorption parameter and a non-local desorption one. As a function of these two parameters, a rich phase diagram is observed, presenting massive regions, critically self-organized regions, quasi-stationary states and transitions to multiple absorbing states. The main result of this work is to emphasize the existence of Jordan cells in the Liouville operator. Jordan cells that grow with the size of the system and therefore in the thermodynamic limit the asymptotic dynamics can be masked. At the numerical level, these Jordan cells can lead to erroneous interpretations of massive phases as being massless critical ones or vice versa. Therefore depending on the initial condition, it is observed that the presence of Jordan cells can lead to the erroneous determination of critical exponents and produce excessively large lifetimes. Due to these effects, it is necessary to determine the critical exponents and the lifetimes by several distinct methods whenever possible, besides controlling the behavior of these quantities, by considering the evolution with different initial conditions. Among other results, we found the existence of quasi-stationary states with lifetimes that grow much faster than a power law of the systems size. We obtained a dynamic critical exponent z = 1 in the transition to multi-absorbent states in both cases without absorption or desorption. The model also shows a rough phase with a roughness exponent close to zero when the absorption rate is higher than the desorption rate. Finally, we observed that the model studied under periodic boundary conditions, can be seen as a KPZ model in 1 + 1 dimensions, under the effect of two perturbations. One of them being relevant and the other one irrelevant.

Sistemas cujos componentes interagem por meio de forças de longo alcance não-blindadas por exemplo, sistemas estelares e plasmas não-neutros têm algumas características anô- malas em relação a sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Além de apresentarem características termodinâmicas peculiares como calor especí co negativo e inequivalência de ensembles, sua dinâmica é predominantemente não-colisional e leva à estados quasiestacion ários fora de equilíbrio. Esses estados são notoriamente difíceis de prever dada uma condição inicial qualquer, e ainda não existe uma teoria uni cada para tratá-los. O equilíbrio termodinâmico é atingido somente após tempos longos que escalam com o tamanho do sistema, muitas vezes excedendo o tempo de vida do universo. A relaxação para o equilíbrio, portanto, tem duas escalas de tempo: uma, curta, que leva a estados quasi-estacionários fora de equilíbrio, e a segunda, longa, que leva ao equilíbrio termodinâmico. Nesta tese de doutorado, examinamos esses fenômenos aplicando modelos teóricos e simulação numérica para diferentes sistemas de interação de longo-alcance, incluindo um modelo de spins clássicos tipo XY com longo alcance, e o sistema auto-gravitante em três dimensões. Em uma segunda etapa, estudamos a relaxação para o equilíbrio termodinâmico, a relaxação colisional, através de equações cinéticas e simulação numérica. Desta forma, buscamos esclarecer os mecanismos por trás dos estados quasi-estacionários e da relaxação colisional. / Systems whose components interact by unscreened long-range forces for example, stellar systems and non-neutral plasmas have characteristics that are anomalous with respect to systems with shielded or short-range forces. Besides presenting unique thermodynamic properties such as negative speci c heat and inequivalence of ensembles, their dynamics is predominantly collisionless and leads to out-of-equilibrium quasi-stationary states. These states are notoriously di cult to predict given an arbitrary initial condition, and there is still no uni ed theory to treat them. Thermodynamic equilibrium is reached only after long timescales that increase with the system size and often exceed the lifetime of the universe. Relaxation to equilibrium, therefore, has two timescales: one short, leading to outof- equilibrium quasi-stationary states, and a second, longer, which leads to thermodynamic equilibrium. In this thesis, we examine these phenomena by applying theoretical models and numerical simulation for di erent long-range interacting systems, including a model of classical XY-type spins with long-range interactions, and the self-gravitating system in three dimensions. In a second stage we study the collisional relaxation to thermodynamic equilibrium through kinetic equations and numerical simulation. We thus seek to clarify the mechanisms behind the quasi-stationary states and collisional relaxation.

Sistemas cujos componentes interagem por meio de forças de longo alcance não-blindadas por exemplo, sistemas estelares e plasmas não-neutros têm algumas características anô- malas em relação a sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Além de apresentarem características termodinâmicas peculiares como calor especí co negativo e inequivalência de ensembles, sua dinâmica é predominantemente não-colisional e leva à estados quasiestacion ários fora de equilíbrio. Esses estados são notoriamente difíceis de prever dada uma condição inicial qualquer, e ainda não existe uma teoria uni cada para tratá-los. O equilíbrio termodinâmico é atingido somente após tempos longos que escalam com o tamanho do sistema, muitas vezes excedendo o tempo de vida do universo. A relaxação para o equilíbrio, portanto, tem duas escalas de tempo: uma, curta, que leva a estados quasi-estacionários fora de equilíbrio, e a segunda, longa, que leva ao equilíbrio termodinâmico. Nesta tese de doutorado, examinamos esses fenômenos aplicando modelos teóricos e simulação numérica para diferentes sistemas de interação de longo-alcance, incluindo um modelo de spins clássicos tipo XY com longo alcance, e o sistema auto-gravitante em três dimensões. Em uma segunda etapa, estudamos a relaxação para o equilíbrio termodinâmico, a relaxação colisional, através de equações cinéticas e simulação numérica. Desta forma, buscamos esclarecer os mecanismos por trás dos estados quasi-estacionários e da relaxação colisional. / Systems whose components interact by unscreened long-range forces for example, stellar systems and non-neutral plasmas have characteristics that are anomalous with respect to systems with shielded or short-range forces. Besides presenting unique thermodynamic properties such as negative speci c heat and inequivalence of ensembles, their dynamics is predominantly collisionless and leads to out-of-equilibrium quasi-stationary states. These states are notoriously di cult to predict given an arbitrary initial condition, and there is still no uni ed theory to treat them. Thermodynamic equilibrium is reached only after long timescales that increase with the system size and often exceed the lifetime of the universe. Relaxation to equilibrium, therefore, has two timescales: one short, leading to outof- equilibrium quasi-stationary states, and a second, longer, which leads to thermodynamic equilibrium. In this thesis, we examine these phenomena by applying theoretical models and numerical simulation for di erent long-range interacting systems, including a model of classical XY-type spins with long-range interactions, and the self-gravitating system in three dimensions. In a second stage we study the collisional relaxation to thermodynamic equilibrium through kinetic equations and numerical simulation. We thus seek to clarify the mechanisms behind the quasi-stationary states and collisional relaxation.

Sistemas cujos componentes interagem por meio de forças de longo alcance não-blindadas por exemplo, sistemas estelares e plasmas não-neutros têm algumas características anô- malas em relação a sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Além de apresentarem características termodinâmicas peculiares como calor especí co negativo e inequivalência de ensembles, sua dinâmica é predominantemente não-colisional e leva à estados quasiestacion ários fora de equilíbrio. Esses estados são notoriamente difíceis de prever dada uma condição inicial qualquer, e ainda não existe uma teoria uni cada para tratá-los. O equilíbrio termodinâmico é atingido somente após tempos longos que escalam com o tamanho do sistema, muitas vezes excedendo o tempo de vida do universo. A relaxação para o equilíbrio, portanto, tem duas escalas de tempo: uma, curta, que leva a estados quasi-estacionários fora de equilíbrio, e a segunda, longa, que leva ao equilíbrio termodinâmico. Nesta tese de doutorado, examinamos esses fenômenos aplicando modelos teóricos e simulação numérica para diferentes sistemas de interação de longo-alcance, incluindo um modelo de spins clássicos tipo XY com longo alcance, e o sistema auto-gravitante em três dimensões. Em uma segunda etapa, estudamos a relaxação para o equilíbrio termodinâmico, a relaxação colisional, através de equações cinéticas e simulação numérica. Desta forma, buscamos esclarecer os mecanismos por trás dos estados quasi-estacionários e da relaxação colisional. / Systems whose components interact by unscreened long-range forces for example, stellar systems and non-neutral plasmas have characteristics that are anomalous with respect to systems with shielded or short-range forces. Besides presenting unique thermodynamic properties such as negative speci c heat and inequivalence of ensembles, their dynamics is predominantly collisionless and leads to out-of-equilibrium quasi-stationary states. These states are notoriously di cult to predict given an arbitrary initial condition, and there is still no uni ed theory to treat them. Thermodynamic equilibrium is reached only after long timescales that increase with the system size and often exceed the lifetime of the universe. Relaxation to equilibrium, therefore, has two timescales: one short, leading to outof- equilibrium quasi-stationary states, and a second, longer, which leads to thermodynamic equilibrium. In this thesis, we examine these phenomena by applying theoretical models and numerical simulation for di erent long-range interacting systems, including a model of classical XY-type spins with long-range interactions, and the self-gravitating system in three dimensions. In a second stage we study the collisional relaxation to thermodynamic equilibrium through kinetic equations and numerical simulation. We thus seek to clarify the mechanisms behind the quasi-stationary states and collisional relaxation.

O modelo estocástico Raise and Peel é estudado nesta tese. Para isto é utilizado o método de simulação por Monte Carlo junto com os métodos de diagonalização exata e numérica do operador de Liouville. Este modelo estocástico é um modelo de crescimento unidimensional com dois parâmetros livres. Um parâmetro de absorção local e um parâmetro de dessorção não local. Em função destes dois parâmetros se observa um rico diagrama de fase, apresentando regiões massivas, regiões criticamente auto-organizadas, estados quase-estacionários e transições a múltiplos estados absorventes. O principal resultado deste trabalho é ressaltar a existência de células de Jordan no operador de Liouville. Células de Jordan que crescem com o tamanho do sistema e portanto no limite termodinâmico a dinâmica assintótica pode ser mascarada. A nível numérico estas células de Jordan podem levar a errôneas interpretações de fases criticas quando são na realidade fases massivas ou vice-versa. Portanto dependendo da condição inicial observa-se que a presença de células de Jordan pode levar à determinação errônea de expoentes críticos e a observações de tempos de decaimentos excessivamente grandes. Tudo isto ressalta a necessidade de se determinar os expoentes críticos e os tempos de decaimento por diversos métodos, sempre que for possível, além de se controlar o comportamento destas quantidades considerando a evolução do modelo com diferentes condições inicias. Entre outros resultados que obtivemos observamos a existência de estados quase-estacionários com tempos de vida que crescem muito mais rápido que uma lei de potencia do tamanho do sistema. Encontramos o expoente critico dinâmico z=1, no caso da transição a estados multi-absorventes. Este resultado ocorreu tanto nos casos sem absorção como nos casos sem dessorção. O modelo exibe também uma fase rugosa com um expoente de rugosidade próximo de zero quando a taxa de absorção é maior que a taxa dessorção. E finalmente observamos que o modelo estudado em condições periódicas de contorno pode ser enxergado como um modelo KPZ em 1+1 dimensões, sujeito a dois tipos de perturbações. Uma das pertubações sendo relevante e a outra irrelevante. / The stochastic model Raise and Peel is studied in this thesis. we use the Monte Carlo simulation method together with the exact and numerical diagonalization methods of the Liouville operator. This stochastic model is a one-dimensional growth model with two free parameters. A local absorption parameter and a non-local desorption one. As a function of these two parameters, a rich phase diagram is observed, presenting massive regions, critically self-organized regions, quasi-stationary states and transitions to multiple absorbing states. The main result of this work is to emphasize the existence of Jordan cells in the Liouville operator. Jordan cells that grow with the size of the system and therefore in the thermodynamic limit the asymptotic dynamics can be masked. At the numerical level, these Jordan cells can lead to erroneous interpretations of massive phases as being massless critical ones or vice versa. Therefore depending on the initial condition, it is observed that the presence of Jordan cells can lead to the erroneous determination of critical exponents and produce excessively large lifetimes. Due to these effects, it is necessary to determine the critical exponents and the lifetimes by several distinct methods whenever possible, besides controlling the behavior of these quantities, by considering the evolution with different initial conditions. Among other results, we found the existence of quasi-stationary states with lifetimes that grow much faster than a power law of the systems size. We obtained a dynamic critical exponent z = 1 in the transition to multi-absorbent states in both cases without absorption or desorption. The model also shows a rough phase with a roughness exponent close to zero when the absorption rate is higher than the desorption rate. Finally, we observed that the model studied under periodic boundary conditions, can be seen as a KPZ model in 1 + 1 dimensions, under the effect of two perturbations. One of them being relevant and the other one irrelevant.

Neste trabalho, estudamos a influência de canais de espalhamento inelástico no transporte eletrônico. Primeiramente, expomos o formalismo de Landauer usual para o cálculo da corrente elétrica em sistemas em que o espalhamento é puramente elástico. Como exemplo, calculamos a corrente para um potencial delta de Dirac a partir de suas probabilidades de transmissão. A amostra correspondente é aquela de uma camada muito fina com impurezas (não-magnéticas) contida em uma heterostrutura semicondutora. Mostramos que a distorção do potencial quântico devido à voltagem aplicada pode ser desprezada no cálculo da corrente elétrica, abaixo da energia de Fermi do emissor. Subsequentemente, acoplamos o potencial delta a um oscilador harmônico quântico para modelar a presença de fônons no sistema. Encontramos modos inelásticos de transmissão que se tornam acessíveis para energias cada vez maiores, múltiplas do quantum hω. Devido à conservação de probabilidade, a abertura de cada novo canal corresponde a bicos\" nas probabilidades de transmissão dos modos abaixo deste, em função da energia de incidência do elétron. No caso de uma delta atrativa, ressonâncias assimétricas com perfil de Fano são observadas. Adaptamos o formalismo de Landauer, incluindo canais inelásticos independentes. Seguindo um trabalho anterior de Emberly e Kirczenow (2000), mostramos que existe uma forma de se levar em conta possíveis coincidências nos estados de espalhamento finais aplicando o princípio de exclusão de Pauli. Isto leva as distribuições dos estados de espalhamento a estarem fora de equilíbrio, já que dependem umas das outras. Resolvendo o problema auto-consistentemente, somos capazes de obter a corrente elétrica a partir das probabilidades de transmissão do potencial quântico. Nossos resultados demonstram que as ressonâncias de Fano do potencial atrativo dão origem a uma diminuição da inclinação da corrente elétrica contra a voltagem aplicada, já que elétrons são presos\" ao potencial por um tempo infinito. Mostramos este efeito num regime de voltagens baixas em comparação com a energia de Fermi, para o qual desprezamos a distorção do potencial quântico devido à voltagem aplicada. Além disso, uma comparação com os resultados do formalismo de Landauer mostra que uma discrepância significativa é observada para o caso de o oscilador estar inicialmente excitado e fortemente acoplado ao elétron. / In this work, we study the influence of inelastic scattering channels in electronic transport. We first present the usual Landauer formalism, for calculating the electric current in systems where the scattering is purely elastic. As an example, we calculate the current for a Dirac delta potential from its transmission probabilities. The corresponding sample is that of a very thin layer with (non-magnetic) impurities within a semiconductor heterostructure. We show that the distortion of the quantum potential due to the applied voltage can be ignored in the calculation of an electric current below the Fermi energy of the emitter. Then we couple the delta potential to a quantum harmonic oscillator to model the presence of phonons in the system. We find inelastic transmission modes that become available for increasing energies, multiple of the quantum hω. Due to conservation of probability, the opening of each new channel corresponds to kinks\" in the transmission probabilities of lower modes as a function of the energy of the impinging electrons. In the case of an attractive delta potential, asymmetric resonances with a Fano-like profile are observed. We adapt the Landauer formalism by including the independent inelastic channels. Following a previous work by Emberly and Kirczenow (2000), we show that there is a way to take into account the possible coincidences in the final scattering states using Pauli\'s exclusion principle. This causes the distributions of the scattering states to be out of equilibrium, as they depend on each other. Solving the problem self-consistently, we are able to obtain the electric current from the transmission probabilities of the quantum potential. Our results demonstrate that the Fano resonances of the attractive potential gives rise to a decrease of the slope in the electric current versus the applied voltage, as the electrons are trapped\" in the potential for a finite amount of time. We have shown this effect in a low voltage regime with respect to the Fermi energy, for which we ignore the distortion of the quantum potential due to the applied voltage. Furthermore, a comparison with the results from the Landauer formalism shows that a significant discrepancy is seen for the oscillator initially in its excited mode and strongly coupled to the electron.