För många vetenskapliga och ingenjörsmässiga problem är det intressant att hitta en optimal geometri. Den typen av optimeringsproblem kallas formoptimering. Särskilt vanligt är det att vilja lösa formoptimeringsproblem med en partiell differentialekvation som bivillkor, det vill säga formoptimeringsproblem vars målfunktion beror på lösningen till en PDE. På senare tid har framsteg inom automatisk differentiering gjort det möjligt att diskretisera problem innan de differentieras, vilket möjliggör nya numeriska lösningsmetoder av optimeringsproblem. Det här projektet ämnar till att formulera en metod för att numeriskt lösa PDE-villkorade formoptimeringsproblem med automatisk differentiering och gradientstegning med hjälp av kodbiblioteket JAX i Python. Dessutom genomförs en dimensionsreduktion genom randintegralmetoder för PDE. Metoden testas på ett enkelt problem som inte innehåller någon PDE, och ett svårare problem där Poissons ekvationer ges som bivillkor. För snälla problem och startgeometrier uppnås snabbt ett litet fel. Om initialiseringsgeometrin är för långt ifrån optimum är konvergensen stort beroende av antal diskretiseringspunkter. För svårare problem utan känd lösning är det svårt att utvärdera resultatet. Något som är svårt att motverka är injektivitetsproblem vilket behövs undersökas vidare.

Randintegralmetoder är numeriska beräkningsmetoder för att lösa partiella differential-ekvationer genom att integrera på randen av en domän. Dessa metoder ärbetydligt mer beräkningseffektiva än volymbaserade metoder såsom finita element-eller finita differansmetoder som diskretiserar hela domänen. När man använderrandintegralmetoder för att lösa harmoniska funktioner stöter man på evaluering avO(N^2) potentialer för ett system av N partiklar. Genom att använda algoritmen FastMultipole Method (FMM) kan antalet evalueringar reduceras. I den här rapportenkommer vi att använda oss av randintegralmetoder för att lösa tidsinvarianta Laplacesekvation, och med FMM reducera antalet potentialevalueringar till O(N log N ).