Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 4303.pdf: 3100020 bytes, checksum: 4cb674332ae9ab95428422b1d6236b72 (MD5) Previous issue date: 2012-03-19 / Universidade Federal de Sao Carlos / Given closed connected surfaces X and Y, integers n > 0 and d > 2, and for i = 1,..., n partitions (dy)j=i,...,mi of d. The 5-tuple (X, Y, n, d, (dij)) is called the branch datum of a candidate branched covering. Many works discuss when a given branch datum can be realized by a branched covering / : X > Y of degree d, with n branching points and local degree in the pre-images of branching points given by dij. Hurwitz has established an algebraic equivalence to this geometric problem, this equivalence has been used to treat the subject. In this dissertation we define dessin d'enfant, a graph on the surface X, related to a branched covering and use this tool to obtain conditions for a given branch datum be exceptional (i.e. can not be realized). We also define an alternative and more explicit version for the definition of dessin d'enfant. / Considere duas superfícies fechadas, conexas, X e Y, inteiros n > 0 e d > 2, e para i = 1,... ,n uma partição (dy)j=i,...,mi de d. A 5-upla (X,Y,n,d, (dij)) é o dado de ramificação de um candidato a recobrimento ramificado. Em muitos trabalhos discute-se quando um dado de ramificação pode ser re¬alizado por um recobrimento ramificado / : X > Y de grau d, com n pontos de ramificação e graus locais na pré-imagem dos pontos de ramificação dados por d^. Hurwitz estabeleceu uma equivalência algébrica para este problema geomé¬trico, esta equivalência tem sido utilizada para tratar do tema. Neste trabalho apresentamos a definição de dessin d'enfant, um grafo na superfície X, relacionado com um recobrimento ramificado e utilizamos esta ferramenta para obter condições que estabelecem quando um dado de ramificação é excepcional (não pode ser re¬alizado). Abordamos também uma versão alternativa para a definição de dessin d'enfant, mais completa.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6351.pdf: 10847045 bytes, checksum: 84e1c67621ad67fd0b4c6eaa4342b371 (MD5) Previous issue date: 2014-10-22 / Financiadora de Estudos e Projetos / The purpose of this work is to study the realizability problem of branched coverings between closed, connected and orientable surfaces. For each covering, there exists a set of naturally associated data called branch datum that should satisfy the Riemann-Hurwitz formula. A classical problem (for possibly non-orientable surfaces) asks whether for a branch datum satisfying the condition of Riemann-Hurwitz exists a branched cover between surfaces having it as branch datum. The correct answer is: not always. When a branch datum satisfies the necessary conditions to come from a branched covering, we call it a candidate branched covers ; if indeed it comes from a branched cover we call it realizable and, if not, we call it exceptional. In fact, it is known that exceptions can occur only if the covered surface is the sphere or the projective plane, but the general solution is still unknown. Among the various tools used to attack the problem we will work directly with two of them: the orbifolds and dessins d'enfant. / O objetivo deste trabalho é estudar o problema de realizabilidade de recobrimentos ramificados entre duas superfícies orientáveis, fechadas e conexas. Para cada recobrimento existe um conjunto de dados naturalmente associado chamado dados de ramificação que devem satisfazer a fórmula de Riemann-Hurwitz. Um problema clássico (para superfícies possivelmente não-orientáveis) questiona se, para um dado de ramificação satisfazendo a condição de Riemann-Hurwitz, existe um recobrimento ramificado entre superfícies tendo-o como dado de ramificação. A resposta correta é: nem sempre. Quando um dado de ramificação satisfaz as condições necessárias para vir de um recobrimento ramificado, o chamamos de um candidato a recobrimento ramificado; se de fato ele vier de um recobrimento ramificado o chamamos realizável e, caso contrário, excepcional. De fato, é sabido que exceções podem ocorrer somente se a superfície recoberta é a esfera ou o plano projetivo, mas a solução geral permanece desconhecida. Dentre as diversas ferramentas utilizadas para atacar o problema trabalharemos diretamente com duas delas: os orbifolds e os dessins d'enfant.