Besides the two classical techniques used to evaluate the performance of a protocol, computer simulation and experimental measurements, mathematical modeling has been used to study the performance of the TCP protocol. This technique gives an elegant way to gain insights when studying the behavior of a protocol, while providing useful information about its performance. This thesis presents an analytical model for the SF-SACK protocol, a TCP SACK based protocol conceived to be appropriate for data and streaming applications. SF-Sack modifies the multiplicative part of the Additive Increase Multiplicative Decrease of TCP to provide good performance for data and streaming applications, while avoiding the TCP-friendliness problem of the Internet. The modeling of the SF-SACK protocol raises new challenges compared to the classical TCP modeling in two ways: first, the model needs to be adapted to a more complex dynamism of the congestion window, and second, the model needs to incorporate the scheduler that SF-SACK makes use of in order to maintain a periodically updated value of the congestion window. Presented here is a model that is progressively built in order to consider these challenges. The first step is to consider only losses detected by triple-duplicate acknowledgments, with the restriction that one such loss happens each scheduler interval. The second step is to consider losses detected via triple-duplicate acknowledgments, while eliminating the above restriction. Finally, the third step is to include losses detected via time-outs. The result is an analytical characterization of the steady-state send rate and throughput of a SF-SACK flow as a function of the loss probability, the round-trip time (RTT), the time-out interval, and the scheduler interval. The send rate and the throughput of SF-SACK were compared against available results for TCP Reno. The obtained graphs showed that SF-SACK presents a better performance than TCP. The analytical model of the SF-SACK follows the trends of the results that are presently available, using both the ns-2 simulator and experimental measurements.

Cette thèse se concentre sur certaines extensions de la théorie des processus empiriques lorsque les données sont Markoviennes. Plus spécifiquement, nous nous concentrons sur plusieurs développements de la théorie du bootstrap, de la robustesse et de l’apprentissage statistique dans un cadre Markovien Harris récurrent positif. Notre approche repose sur la méthode de régénération qui s’appuie sur la décomposition d’une trajectoire de la chaîne de Markov atomique régénérative en blocs d’observations indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.). Les blocs de régénération correspondent à des segments de la trajectoire entre des instants aléatoires de visites dans un ensemble bien choisi (l’atome) formant une séquence de renouvellement. Dans la premiére partie de la thèse nous proposons un théorème fonctionnel de la limite centrale de type bootstrap pour des chaînes de Markov Harris récurrentes, d’abord dans le cas de classes de fonctions uniformément bornées puis dans un cadre non borné. Ensuite, nous utilisons les résultats susmentionnés pour obtenir unthéorème de la limite centrale pour des fonctionnelles Fréchet différentiables dans un cadre Markovien. Motivés par diverses applications, nous discutons la manière d’étendre certains concepts de robustesse à partir du cadre i.i.d. à un cas Markovien. En particulier, nous considérons le cas où les données sont des processus Markoviens déterministes par morceaux. Puis, nous proposons des procédures d’échantillonnage résiduel et wild bootstrap pour les processus périodiquement autorégressifs et établissons leur validité. Dans la deuxième partie de la thèse, nous établissons des versions maximales d’inégalités de concentration de type Bernstein, Hoeffding et des inégalités de moments polynomiales en fonction des nombres de couverture et des moments des temps de retour et des blocs. Enfin, nous utilisons ces inégalités sur les queues de distributions pour calculer des bornes de généralisation pour une estimation d’ensemble de volumes minimum pour les chaînes de Markov régénératives. / This thesis concentrates on some extensions of empirical processes theory when the data are Markovian. More specifically, we focus on some developments of bootstrap, robustness and statistical learning theory in a Harris recurrent framework. Our approach relies on the regenerative methods that boil down to division of sample paths of the regenerative Markov chain under study into independent and identically distributed (i.i.d.) blocks of observations. These regeneration blocks correspond to path segments between random times of visits to a well-chosen set (the atom) forming a renewal sequence. In the first part of the thesis we derive uniform bootstrap central limit theorems for Harris recurrent Markov chains over uniformly bounded classes of functions. We show that the result can be generalized also to the unbounded case. We use the aforementioned results to obtain uniform bootstrap central limit theorems for Fr´echet differentiable functionals of Harris Markov chains. Propelledby vast applications, we discuss how to extend some concepts of robustness from the i.i.d. framework to a Markovian setting. In particular, we consider the case when the data are Piecewise-determinic Markov processes. Next, we propose the residual and wild bootstrap procedures for periodically autoregressive processes and show their consistency. In the second part of the thesis we establish maximal versions of Bernstein, Hoeffding and polynomial tail type concentration inequalities. We obtain the inequalities as a function of covering numbers and moments of time returns and blocks. Finally, we use those tail inequalities toderive generalization bounds for minimum volume set estimation for regenerative Markov chains.

Cette thèse étudie le Q-processus de certains processus de branchement (superprocessus inhomogènes) ou de recombinaison (processus de Lambda-Fleming-Viot) via une approche généalogique. Dans le premier cas, le Q-processus est défini comme le processus conditionné à la non-extinction, dans le second cas comme le processus conditionné à la non-absorption. Des constructions trajectorielles des Q-processus sont proposées dans les deux cas. Une nouvelle relation entre superprocessus homogènes et processus de Lambda-Fleming-Viot est établie. Enfin, une étude du Q-processus est menée dans le cadre général des processus régénératifs / This work is concerned with the definition and study of the Q-process of some branching processes (inhomogeneous superprocesses) or recombination processes (Lambda-Fleming-Viot process). In the first case, the Q-process is defined as the process conditioned on non-extinction, whereas in the second case, it is defined as the process conditioned on non-absorbtion. A pathwise construction of the Q-process is given in both cases. A link between a class of homogeneous superprocesses and Lambda-Fleming-Viot processes is provided. Last, a study of the Q-process in the more general framework of regenerative processes is performed