Die fast vollständig zerlegbaren Gruppen bilden eine Teilklasse der Butlergruppen. Das Konzept des Regulators, d.h. der Durchschnitt aller regulierenden Untergruppen, ist unverzichtbar für fast vollständig zerlegbare Gruppen. Dieses Konzept lässt sich in natürlicher Weise auf die ganze Klasse der Butlergruppen fortsetzen. Allerdings lässt sich die Regulatorbildung im allgemeineren Fall der Butlergruppen a priori iterieren. Damit stellt sich erst einmal die Frage, ob es überhaupt Butlergruppen gibt mit Regulatorketten, der Länge größer als 1. Ein erstes Beispiel der Länge 2 wurde 1997 von Lehrmann und Mutzbauer konstruiert. In dieser Dissertation wurden mit konzeptionell neuen Techniken Butlergruppen mit beliebiger vorgegebener endlicher Kettenlänge angegeben. Grundsätzliche Schwierigkeiten bei diesem Unterfangen resultieren aus dem Fehlen, bzw. der Unmöglichkeit, einer kanonischen Darstellung von Butlergruppen. Man verwendet die allseits gebrauchte Summendarstellung für Butlergruppen. Genau an dieser Stelle bedarf es völlig neuer Methoden, verglichen mit den fast vollständig zerlegbaren Gruppen mit ihrer kanonischen Regulatordarstellung. Alle Teilaufgaben bei der anstehenden Konstruktion von Butlergruppen, die für fast vollständig zerlegbare Gruppen Standard sind, werden hierbei problematisch, u.a. die Bildung reiner Hüllen, die Bestimmung regulierender Untergruppen und die Regulatorbildung. / The almost completely decomposable groups form a subclass of the Butler groups. The concept of a regulator, i. e., the intersection of all regulating subgroups, is inevitable for almost completely decomposable groups. This concept can be transferred and continued to the whole class of Butler groups in a natural way. However, forming the regulator for Butler groups usually allows proper iteration. Thus, the primary question is, if there are any Butler groups at all with longer regulator chains, the length longer than 1. A first example of length 2 was constructed by Lehrmann and Mutzbauer in 1997. In this doctoral dissertation Butler groups were constructed of an arbitrarily given finite chain length, using conceptually new techniques. Basic difficulties resulted from the lack, or respectively, the impossibility, of any canonical descriptions of Butler groups. Usually Butler groups are given by the so called sum representation. Precisely here completely new methods are necessary to be applied, compared with the almost completely decomposable groups and their canonical regulator representation. All detailed tasks for the indicated construction of Butler groups, which are standard for almost completely decomposable groups, become problematic, among other things the forming of pure hulls, the determination of regulating subgroups, and the construction of the regulator.

A completely decomposable group is a direct sum of subgroups of the rationals. An almost completely decomposable group is a torsion free abelian group that contains a completely decomposable group as subgroup of finite index. Tight subgroups are maximal subgroups (with respect to set inclusion) among the completely decomposable subgroups of an almost completely decomposable group. In this dissertation we show an extended version of the theorem of Bezout, give a new criterion for the tightness of a completely decomposable subgroup, derive some conditions under which a tight subgroup is regulating and generalize a theorem of Campagna. We give an example of an almost completely decomposable group, all of whose regulating subgroups do not have a quotient with minimal exponent. We show that among the types of elements of a coset modulo a completely decomposable group there exists a unique maximal type and define this type to be -the- coset type. We give criteria for tightness and regulating in term of coset types as well as a representation of the type subgroups using coset types. We introduce the notion of reducible cosets and show their key role for transitions from one completely decomposable subgroup up to another one containing the first one as a proper subgroup. We give an example of a tight, but not regulating subgroup which contains the regulator. We develop the notion of a fully single covered subset of a lattice, show that V-free implies fully single covered, but not necessarily vice versa, and we define an equivalence relation on the set of all finite subsets of a given lattice. We develop some extension of ordinary Hasse diagrams, and apply the lattice theoretic results on the lattice of types and almost completely decomposable groups. / Eine vollständig zerlegbare Gruppe ist eine direkte Summe von Untergruppen der rationalen Zahlen. Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe, die eine vollständig zerlegbare Gruppe als Untergruppe von endlichem Index enthält. Tight Untergruppen sind bezüglich Mengeninklusion maximale Elemente der Menge der vollständig zerlegbaren Untergruppen einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe. In dieser Dissertation zeigen wir eine erweiterte Version des Satzes von Bezout, geben ein neues Kriterium an, mit dem festgestellt werden kann, ob eine Untergruppe tight ist, leiten daraus einige Bedingungen ab, unter denen eine tight Untergruppe regulierend ist, und verallgemeinern einen Satz von Campagna. Wir geben ein Beispiel einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe an, deren sämtliche regulierende Untergruppen nicht minimalen Exponenten des Quotienten haben. Wir zeigen, daß unter den Typen der Elemente einer Nebenklasse modulo einer vollständig zerlegbaren Gruppe ein eindeutig definierter maximaler Typ existiert und nennen diesen Typen -den- Nebenklassentypen. Wir geben Kriterien für tight und regulierend mit Hilfe von Nebenklassentypen, sowie eine Darstellung der Typenuntergruppen. Wir führen den Begriff der reduziblen Nebenklassen ein und zeigen die Schlüsselrolle, die diese beim Übergang von einer vollständig zerlegbaren Untergruppe zu einer anderen, die die erste enthält, haben. Wir geben ein Beispiel einer tight Untergruppe an, die nicht regulierend ist, aber den Regulator enthält. Wir führen den Begriff einer "fully single covered" Untermenge eines Verbandes ein, zeigen daß V-frei "fully single covered" impliziert, aber nicht umgekehrt, und definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller endlichen Untermengen eines Verbandes. Wir entwickeln eine Erweiterung der üblichen Hasse Diagramme und wenden die verbandstheoretischen Ergebnisse auf die Typenmenge fast vollständig zerlegbarer Gruppen an.

Techn. University, Diss., 2004--Darmstadt.