<p> Mechanized mathematics systems, especially Theorem Provers (TP) and Computer Algebra Systems (CAS), can play a very helpful role in handling relational calculus. Computer Algebra Systems help to automate tedious symbolic computations. However, they lack the ability to make sophisticated derivations of logical formulas. Correspondingly, a Theorem Prover is powerful in deriving the truth-value of a logical formula. Nevertheless, it is not suitable for dealing with symbolic expressions.</p> <p> The main goal for our research is to investigate the automation of relational calculus using existing mechanized mathematics technologies. Particularly, we elaborated a heuristic that enables the assignment of tasks to PVS and Maxima to help perform relational calculus. As well we built a proof-of-concept tool that supports this calculus.</p> <p> To fulfill our objective, we adopted the following steps: 1. Investigated and evaluated the characteristics and capabilities of TPs and CASs. This step led us to select PVS and Maxima as the tools to be used by our system. 2. Explored a strategy that governs setting tasks to PVS and Maxima in order to perform relational calculus. Then, we propose a task assignment heuristic based on this strategy. 3. Designed and built a proof-of-concept tool that makes use of PVS and Maxima to help perform relational calculus. 4. Assessed our tool by using it to handle some illustrative examples of operations on concrete relations.</p> <p> In our work, relations are given by their characteristic predicates. We assume as well that predicates that are provided to our proof-of-concept tool are in a Disjunctive Normal Form. We adopt a linear notation for the representation of propositions, quantifications, and expressions. We fall short of providing a user interface, which makes the use of the tool that we built slightly difficult.</p> / Thesis / Master of Science (MSc)

O presente trabalho tem como objetivo verificar o papel do ensino na aprendizagem da relação inversa entre adição e subtração e se o cálculo relacional pode ajudar no entendimento dessa relação inversa. Os objetivos específicos são: verificar diferenças na compreensão da relação inversa entre adição e subtração antes e após intervenção; e identificar, após a intervenção, as influências do entendimento do cálculo relacional na compreensão da relação inversa. A proposta caracterizou-se por uma pesquisa-intervenção com abordagem qualiquantitativa, realizada com alunos do PROEJA FIC do Instituto Federal Farroupilha, Campus São Borja/RS. O trabalho foi desenvolvido em quatro sessões, com oficinas de problemas matemáticos e aplicação de testes: um pré-teste, aplicado antes da primeira sessão; um pósteste, aplicado após a última sessão; e um pós-teste tardio, aplicado três meses após a última sessão. Para a análise quantitativa utilizamos o método de Análise de Variância (ANOVA) e realizamos uma análise qualitativa das observações, resolução dos problemas e das estratégias utilizadas nos problemas. No pré-teste houve uma pequena diferença de acertos em relação ao pós-teste, já na comparação com o pós-teste tardio os alunos retornaram ao ponto inicial, com o mesmo número de acertos do pré-teste. Ao verificarmos os tipos de problemas, percebemos que no bloco de problemas diretos os alunos tiveram o maior número de acertos. O bloco de problemas indiretos de início desconhecido foi os que os alunos mais erraram, porém no bloco de problemas indiretos de adendo desconhecido houve um aumento do número de acertos do pré-teste para o pós-teste tardio. Na análise dos dados, destacamos que os alunos do PROEJA FIC não compreendem a relação inversa entre adição e subtração, pois ao representar os problemas erraram o resultado por não entender a relação apontada no enunciado. Isso indica desconhecimento do cálculo relacional, porque ao escolherem incorretamente o cálculo para resolver um problema é evidente que as estratégias mentais utilizadas não estão adequadas. Diante disso, constatamos que os alunos do PROEJA FIC estudados não compreendem a relação inversa entre adição e subtração, devido ao fato de ainda não entenderem as relações e os conceitos que envolvem a estrutura aditiva. Assim, as quatro sessões de intervenção foram insuficientes com relação às necessidades apresentadas pelos alunos, sendo que para obter um resultado mais eficaz, com adultos, sugerimos um maior número de intervenções. / This study aims to determine the role of teaching in learning the inverse relationship between addition and subtraction and the relational calculus can help in understanding this inverse relationship. The specific objectives are: to determine differences in understanding the inverse relationship between addition and subtraction before and after intervention; and to identify, after the intervention, the influences of knowing relational calculus in order to understand the inverse relationship. The proposal was characterized by an intervention-research with qualiquantitative approach, conducted with PROEJA FIC students from the Instituto Federal Farroupilha, São Borja Câmpus/RS. The study was carried out in four sessions with mathematical problems workshops and tests application: a pre-test, applied before the first session; a post-test, applied after the last session; and a delayed post-test, applied three months after the last session. For the quantitative analysis we used the method of analysis of variance (ANOVA) and performed a qualitative analysis of the observations, problems solving and strategies used in the problems. During the pre-test there was a small difference in hits in relation to the post-test. When compared to the delayed post-test, the students returned to their starting point, with the same number of hits from the pre-test. When we observed the types of problems involved, we noticed that the students had the highest number of hits on the block of direct problems. The block of indirect problems with unknown beginning was the one the students missed the most, but in the block of indirect problems with unknown addendum there was an increased number of hits from the pre-test to the delayed post-test. During the data analysis, we highlight that the PROEJA FIC students did not understand the inverse relationship between addition and subtraction, since when representing the problems they failed by not understanding the relationship indicated in the statement. This demonstrates a lack of knowledge on relational calculus, because by choosing incorrectly the calculus to solve a problem it is clear that the mental strategies used are not appropriate. Therefore, we observed that the PROEJA FIC students do not understand the inverse relationship between addition and subtraction, due to the fact they are still not able to understand the relationships and concepts involving the additive structure. Thus, the four intervention sessions were insufficient regarding the needs presented by the students. In order to obtain a more effective result with adults, we suggest a higher number of interventions.

O presente trabalho tem como objetivo verificar o papel do ensino na aprendizagem da relação inversa entre adição e subtração e se o cálculo relacional pode ajudar no entendimento dessa relação inversa. Os objetivos específicos são: verificar diferenças na compreensão da relação inversa entre adição e subtração antes e após intervenção; e identificar, após a intervenção, as influências do entendimento do cálculo relacional na compreensão da relação inversa. A proposta caracterizou-se por uma pesquisa-intervenção com abordagem qualiquantitativa, realizada com alunos do PROEJA FIC do Instituto Federal Farroupilha, Campus São Borja/RS. O trabalho foi desenvolvido em quatro sessões, com oficinas de problemas matemáticos e aplicação de testes: um pré-teste, aplicado antes da primeira sessão; um pósteste, aplicado após a última sessão; e um pós-teste tardio, aplicado três meses após a última sessão. Para a análise quantitativa utilizamos o método de Análise de Variância (ANOVA) e realizamos uma análise qualitativa das observações, resolução dos problemas e das estratégias utilizadas nos problemas. No pré-teste houve uma pequena diferença de acertos em relação ao pós-teste, já na comparação com o pós-teste tardio os alunos retornaram ao ponto inicial, com o mesmo número de acertos do pré-teste. Ao verificarmos os tipos de problemas, percebemos que no bloco de problemas diretos os alunos tiveram o maior número de acertos. O bloco de problemas indiretos de início desconhecido foi os que os alunos mais erraram, porém no bloco de problemas indiretos de adendo desconhecido houve um aumento do número de acertos do pré-teste para o pós-teste tardio. Na análise dos dados, destacamos que os alunos do PROEJA FIC não compreendem a relação inversa entre adição e subtração, pois ao representar os problemas erraram o resultado por não entender a relação apontada no enunciado. Isso indica desconhecimento do cálculo relacional, porque ao escolherem incorretamente o cálculo para resolver um problema é evidente que as estratégias mentais utilizadas não estão adequadas. Diante disso, constatamos que os alunos do PROEJA FIC estudados não compreendem a relação inversa entre adição e subtração, devido ao fato de ainda não entenderem as relações e os conceitos que envolvem a estrutura aditiva. Assim, as quatro sessões de intervenção foram insuficientes com relação às necessidades apresentadas pelos alunos, sendo que para obter um resultado mais eficaz, com adultos, sugerimos um maior número de intervenções. / This study aims to determine the role of teaching in learning the inverse relationship between addition and subtraction and the relational calculus can help in understanding this inverse relationship. The specific objectives are: to determine differences in understanding the inverse relationship between addition and subtraction before and after intervention; and to identify, after the intervention, the influences of knowing relational calculus in order to understand the inverse relationship. The proposal was characterized by an intervention-research with qualiquantitative approach, conducted with PROEJA FIC students from the Instituto Federal Farroupilha, São Borja Câmpus/RS. The study was carried out in four sessions with mathematical problems workshops and tests application: a pre-test, applied before the first session; a post-test, applied after the last session; and a delayed post-test, applied three months after the last session. For the quantitative analysis we used the method of analysis of variance (ANOVA) and performed a qualitative analysis of the observations, problems solving and strategies used in the problems. During the pre-test there was a small difference in hits in relation to the post-test. When compared to the delayed post-test, the students returned to their starting point, with the same number of hits from the pre-test. When we observed the types of problems involved, we noticed that the students had the highest number of hits on the block of direct problems. The block of indirect problems with unknown beginning was the one the students missed the most, but in the block of indirect problems with unknown addendum there was an increased number of hits from the pre-test to the delayed post-test. During the data analysis, we highlight that the PROEJA FIC students did not understand the inverse relationship between addition and subtraction, since when representing the problems they failed by not understanding the relationship indicated in the statement. This demonstrates a lack of knowledge on relational calculus, because by choosing incorrectly the calculus to solve a problem it is clear that the mental strategies used are not appropriate. Therefore, we observed that the PROEJA FIC students do not understand the inverse relationship between addition and subtraction, due to the fact they are still not able to understand the relationships and concepts involving the additive structure. Thus, the four intervention sessions were insufficient regarding the needs presented by the students. In order to obtain a more effective result with adults, we suggest a higher number of interventions.

O presente trabalho tem como objetivo verificar o papel do ensino na aprendizagem da relação inversa entre adição e subtração e se o cálculo relacional pode ajudar no entendimento dessa relação inversa. Os objetivos específicos são: verificar diferenças na compreensão da relação inversa entre adição e subtração antes e após intervenção; e identificar, após a intervenção, as influências do entendimento do cálculo relacional na compreensão da relação inversa. A proposta caracterizou-se por uma pesquisa-intervenção com abordagem qualiquantitativa, realizada com alunos do PROEJA FIC do Instituto Federal Farroupilha, Campus São Borja/RS. O trabalho foi desenvolvido em quatro sessões, com oficinas de problemas matemáticos e aplicação de testes: um pré-teste, aplicado antes da primeira sessão; um pósteste, aplicado após a última sessão; e um pós-teste tardio, aplicado três meses após a última sessão. Para a análise quantitativa utilizamos o método de Análise de Variância (ANOVA) e realizamos uma análise qualitativa das observações, resolução dos problemas e das estratégias utilizadas nos problemas. No pré-teste houve uma pequena diferença de acertos em relação ao pós-teste, já na comparação com o pós-teste tardio os alunos retornaram ao ponto inicial, com o mesmo número de acertos do pré-teste. Ao verificarmos os tipos de problemas, percebemos que no bloco de problemas diretos os alunos tiveram o maior número de acertos. O bloco de problemas indiretos de início desconhecido foi os que os alunos mais erraram, porém no bloco de problemas indiretos de adendo desconhecido houve um aumento do número de acertos do pré-teste para o pós-teste tardio. Na análise dos dados, destacamos que os alunos do PROEJA FIC não compreendem a relação inversa entre adição e subtração, pois ao representar os problemas erraram o resultado por não entender a relação apontada no enunciado. Isso indica desconhecimento do cálculo relacional, porque ao escolherem incorretamente o cálculo para resolver um problema é evidente que as estratégias mentais utilizadas não estão adequadas. Diante disso, constatamos que os alunos do PROEJA FIC estudados não compreendem a relação inversa entre adição e subtração, devido ao fato de ainda não entenderem as relações e os conceitos que envolvem a estrutura aditiva. Assim, as quatro sessões de intervenção foram insuficientes com relação às necessidades apresentadas pelos alunos, sendo que para obter um resultado mais eficaz, com adultos, sugerimos um maior número de intervenções. / This study aims to determine the role of teaching in learning the inverse relationship between addition and subtraction and the relational calculus can help in understanding this inverse relationship. The specific objectives are: to determine differences in understanding the inverse relationship between addition and subtraction before and after intervention; and to identify, after the intervention, the influences of knowing relational calculus in order to understand the inverse relationship. The proposal was characterized by an intervention-research with qualiquantitative approach, conducted with PROEJA FIC students from the Instituto Federal Farroupilha, São Borja Câmpus/RS. The study was carried out in four sessions with mathematical problems workshops and tests application: a pre-test, applied before the first session; a post-test, applied after the last session; and a delayed post-test, applied three months after the last session. For the quantitative analysis we used the method of analysis of variance (ANOVA) and performed a qualitative analysis of the observations, problems solving and strategies used in the problems. During the pre-test there was a small difference in hits in relation to the post-test. When compared to the delayed post-test, the students returned to their starting point, with the same number of hits from the pre-test. When we observed the types of problems involved, we noticed that the students had the highest number of hits on the block of direct problems. The block of indirect problems with unknown beginning was the one the students missed the most, but in the block of indirect problems with unknown addendum there was an increased number of hits from the pre-test to the delayed post-test. During the data analysis, we highlight that the PROEJA FIC students did not understand the inverse relationship between addition and subtraction, since when representing the problems they failed by not understanding the relationship indicated in the statement. This demonstrates a lack of knowledge on relational calculus, because by choosing incorrectly the calculus to solve a problem it is clear that the mental strategies used are not appropriate. Therefore, we observed that the PROEJA FIC students do not understand the inverse relationship between addition and subtraction, due to the fact they are still not able to understand the relationships and concepts involving the additive structure. Thus, the four intervention sessions were insufficient regarding the needs presented by the students. In order to obtain a more effective result with adults, we suggest a higher number of interventions.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Gislaine Carvalho Rasi.pdf: 1747233 bytes, checksum: 4f40765a8bbdc3c1992a7e8627987590 (MD5) Previous issue date: 2009-05-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This research comprehends the multiplicative structures and its objective is to investigate the conceptions the seventh grade students put in motion when they establish ternary relations and the relational calculus. We especially search to verify how these students deal with the multiplicative relations which involve notions of transformation and binary composition, and how they make use of the properties of multiplication. Our theoretical approach is based upon Vergnaud s contributions (1991, 1996) presented in the Conceptual Fields Theory and in the Multiplicative Conceptual Field, mainly on the notions of relation and relational calculus which allowed the elaboration of activities and the results analysis. As for the methodology adopted, we chose the case study, which allowed a better comprehension of the relations established by students during the resolution of multiplicative problems, and thus contributing to the achievement of our objective. With instruments of data collection, we made observations during the activities accomplishment, in two study groups and we collected the children s written record of these activities resolution. We verified, in the data analysis, that students have a certain difficulty in composing two transformations and a concentration in the establishment of ternary relations which involve the transformation notion. These observations demonstrated the importance of improving the work with multiplicative structures in a way to promote a good variety of situations and relations regarding the Multiplicative Conceptual Field, especially the ternary relations, as a law of binary composition with its properties / Esta pesquisa aborda as estruturas multiplicativas e tem como objetivo investigar as concepções que os alunos do sétimo ano mobilizam quando estabelecem relações ternárias e o cálculo relacional. Procuramos, especialmente, verificar como esses alunos tratam as relações multiplicativas que envolvem noções de transformação e de composição binária e como utilizam as propriedades da multiplicação. Nossa fundamentação teórica apóia-se nas contribuições de Vergnaud (1991, 1996) apresentadas na Teoria dos Campos Conceituais e no Campo Conceitual Multiplicativo, sobretudo, nas noções de relação e cálculo relacional que permitiram a elaboração das atividades e a análise dos resultados. Quanto à metodologia, escolhemos o estudo de caso que possibilitou uma melhor compreensão das relações estabelecidas pelos alunos durante a resolução de problemas multiplicativos, propiciando o alcance de nosso objetivo. Como instrumentos de coleta de dados, fizemos observações durante a aplicação das atividades, em dois grupos de estudo e recolhemos o registro escrito pelas crianças da resolução dessas atividades. Na análise dos dados constatamos que os alunos apresentam alguma dificuldade ao compor duas transformações e uma concentração no estabelecimento das relações ternárias que envolvem a noção de transformação. Estas constatações demonstraram a importância da ampliação do trabalho com as estruturas multiplicativas, de modo a promover grande variedade de situações e relações que dizem respeito ao Campo Conceitual Multiplicativo, em especial, às relações ternárias, como uma lei de composição binária com suas propriedades