This thesis is devoted to the study of higher representation theory as introduced in [Rou4]. As this theory is in its early days, it is essential to seek out modules that can rightfully be named building blocks and allow one to express as much of the structure of arbitrary modules as possible in their terms. We contribute towards this undertaking in the case of additive higher representation theory. Inspiration is drawn from Soergel bimodules which categorify the Hecke algebra. We introduce functorially cyclic modules as well as (strongly) universal cell modules. Examples include the minimal categorifications of [Rou4]. Properties of such modules are discussed and universal properties in terms of representable 2-functors are established. This leads to constructions and classifications in terms of split Frobenius objects, using a new variant of the Barr-Beck theorem for additive categories. Furthermore, we encounter a new class of modules so called coinvariant modules which arise from automorphism group actions. We also construct canonical cofiltrations and demonstrate why the Jordan-Hölder theory of [Rou4] does not readily generalise. Throughout, we comment on the succession [MaMi1]-[MaMi5] that tackles the same questions, however arrives at different conclusions. As applications, we first show that the 2-category of singular Soergel bimodules of [Wi2] arises naturally within the additive higher representation theory of Soergel bimodules. Second, we establish (weak) equivalences between certain associated universal cell modules together with a categorification of cell module homomorphisms of the Hecke algebra. Third, we show that singular Soergel bimodules constructed with a faithful representation categorify the Schur algebroid, generalising the main result of [Li]. Fourth given a group and a subgroup, we recover the additive monoidal category of representations of the subgroup from the corresponding category for the group without invoking Tannakian formalism.

Title: Algebraic, Structural and Complexity Aspects of Geometric Representations of Graphs Author: Peter Zeman Department: Computer Science Institute Supervisor: RNDr. Pavel Klavík Supervisor's e-mail: klavik@iuuk.mff.cuni.cz Keywords: automorphism groups, interval graphs, circle graphs, comparability graphs, H-graphs, recognition, dominating set, graph isomorphism, maximum clique, coloring Abstract: We study symmetries of geometrically represented graphs. We describe a tech- nique to determine the automorphism group of a geometrically represented graph, by understanding the structure of the induced action on all geometric representations. We prove that interval graphs have the same automorphism groups as trees, and for a given interval graph, we construct a tree with the same automorphism group which answers a question of Hanlon [Trans. Amer. Math. Soc 272(2), 1982]. For permutation and circle graphs, we give an inductive characterization by semidirect and wreath prod- ucts. We also prove that every abstract group can be realized by the automorphism group of a comparability graph/poset of the dimension at most four. We also study H-graphs, introduced by Biró, Hujter, and Tuza in 1992. Those are intersection graphs of connected subgraphs of a subdivision of a graph H. This thesis is the first comprehensive...

This thesis demonstrates an alternative, concise but informative, method for representing group elements, which will prove particularly useful for the sporadic groups. It explains the theory behind symmetric presentations, and describes the algorithm for working with elements represented in this manner.

O multiplicador de Schur parcial de um grupo G é um semigrupo inverso comutativo pM(G) que, no estudo de representações parciais projetivas de grupos, desempenha um papel análogo ao do multiplicador de Schur clássico M(G). Há uma descrição de pM(G) como uma união de grupos abelianos, em que cada componente pM_D(G) é formada por classes de equivalência de certas funções parciais (chamadas de conjuntos fatores parciais), as quais assumem valores em um corpo e têm como domínio um subconjunto D de G × G. Os domínios D formam um reticulado e foram caracterizados como os subconjuntos T-invariantes de G × G, em que T é um monoide específico atuando em G × G. A componente total pM_{G × G}(G), que corresponde aos conjuntos fatores totalmente definidos, é particularmente interessante pois contém M(G) como um de seus subgrupos e, além disso, qualquer outra componente é uma imagem epimorfa da componente total. Um dos objetivos deste trabalho é determinar a componente total do multiplicador de Schur parcial para algumas classes importantes de grupos, como os grupos diedrais, os grupos dicíclicos e os produtos de grupos cíclicos. Outro tópico que será abordado é a estrutura do reticulado dos domínios dos conjuntos fatores parciais, destacando-se propriedades daqueles que correspondem às representações parciais ditas elementares, as quais possuem um papel relevante na teoria. Provaremos que todo domínio pode ser representado em uma forma única como uma reunião de certos domínios indecomponíveis, que consistem de peças estruturais chamadas de blocos e domínios minimais. Também será determinada a estrutura dos domínios elementares e serão obtidos alguns invariantes numéricos do conjunto parcialmente ordenado dos domínios elementares. Como uma consequência dos resultados obtidos, serão caracterizados os grupos para os quais todos os domínios elementares são indecomponíveis. Além disso será feita uma aplicação da teoria de álgebras de semigrupos à álgebra parcial de grupo, que é uma álgebra responsável pelas representações parciais de grupos. / The partial Schur multiplier of a group G is a commutative inverse semigroup pM(G) which, in the study of partial projective representations, plays a role analogous to the classical Schur multiplier M(G). There is a description of pM(G) as a union of abelian groups, in which each component pM_D(G) is formed by the equivalence classes of certain partial functions (called partial factor sets), taking values in a field and having as its domain a subset D of G × G. The domains D form a lattice and were characterized as the T-invariant subsets of G × G, where T is a specific monoid acting on G × G. The total component pM_{G × G}(G), which corresponds to the totally defined factor sets, is particularly interesting because it contains M(G) as one of its subgroups and, moreover, any other component is an epimorphic image of the total component. One of the objectives of this work is to determine the total component of the partial Schur multiplier for some important classes of groups, such as the dihedral groups, the dicyclic groups and the products of cyclic groups. Another topic which will be considered is the structure of the lattice of domains of partial factor sets, emphasizing properties of those domains that correspond to the so-called elementary partial representations, which play a relevant role in the theory. We shall prove that each domain can be represented in a unique way as a union of certain indecomposable domains, where the latter consists of the so-called blocks and minimal domains. The structure of the elementary domains also will be determined, and some numerical invariants of the partially ordered set of the elementary domains will be given. As a consequence of the obtained facts, the groups whose elementary domains are indecomposable will be characterized. We will also give an application of the theory of semigroup algebras to the partial group algebra, an algebra which is responsible for partial group representations.

O multiplicador de Schur parcial de um grupo G é um semigrupo inverso comutativo pM(G) que, no estudo de representações parciais projetivas de grupos, desempenha um papel análogo ao do multiplicador de Schur clássico M(G). Há uma descrição de pM(G) como uma união de grupos abelianos, em que cada componente pM_D(G) é formada por classes de equivalência de certas funções parciais (chamadas de conjuntos fatores parciais), as quais assumem valores em um corpo e têm como domínio um subconjunto D de G × G. Os domínios D formam um reticulado e foram caracterizados como os subconjuntos T-invariantes de G × G, em que T é um monoide específico atuando em G × G. A componente total pM_(G), que corresponde aos conjuntos fatores totalmente definidos, é particularmente interessante pois contém M(G) como um de seus subgrupos e, além disso, qualquer outra componente é uma imagem epimorfa da componente total. Um dos objetivos deste trabalho é determinar a componente total do multiplicador de Schur parcial para algumas classes importantes de grupos, como os grupos diedrais, os grupos dicíclicos e os produtos de grupos cíclicos. Outro tópico que será abordado é a estrutura do reticulado dos domínios dos conjuntos fatores parciais, destacando-se propriedades daqueles que correspondem às representações parciais ditas elementares, as quais possuem um papel relevante na teoria. Provaremos que todo domínio pode ser representado em uma forma única como uma reunião de certos domínios indecomponíveis, que consistem de peças estruturais chamadas de blocos e domínios minimais. Também será determinada a estrutura dos domínios elementares e serão obtidos alguns invariantes numéricos do conjunto parcialmente ordenado dos domínios elementares. Como uma consequência dos resultados obtidos, serão caracterizados os grupos para os quais todos os domínios elementares são indecomponíveis. Além disso será feita uma aplicação da teoria de álgebras de semigrupos à álgebra parcial de grupo, que é uma álgebra responsável pelas representações parciais de grupos. / The partial Schur multiplier of a group G is a commutative inverse semigroup pM(G) which, in the study of partial projective representations, plays a role analogous to the classical Schur multiplier M(G). There is a description of pM(G) as a union of abelian groups, in which each component pM_D(G) is formed by the equivalence classes of certain partial functions (called partial factor sets), taking values in a field and having as its domain a subset D of G × G. The domains D form a lattice and were characterized as the T-invariant subsets of G × G, where T is a specific monoid acting on G × G. The total component pM_(G), which corresponds to the totally defined factor sets, is particularly interesting because it contains M(G) as one of its subgroups and, moreover, any other component is an epimorphic image of the total component. One of the objectives of this work is to determine the total component of the partial Schur multiplier for some important classes of groups, such as the dihedral groups, the dicyclic groups and the products of cyclic groups. Another topic which will be considered is the structure of the lattice of domains of partial factor sets, emphasizing properties of those domains that correspond to the so-called elementary partial representations, which play a relevant role in the theory. We shall prove that each domain can be represented in a unique way as a union of certain indecomposable domains, where the latter consists of the so-called blocks and minimal domains. The structure of the elementary domains also will be determined, and some numerical invariants of the partially ordered set of the elementary domains will be given. As a consequence of the obtained facts, the groups whose elementary domains are indecomposable will be characterized. We will also give an application of the theory of semigroup algebras to the partial group algebra, an algebra which is responsible for partial group representations.