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L'objet de cette thèse est l'étude de revêtements ramifiés V' to V de variétés hyperboliques compactes V cubiques, c'est-à-dire dont le groupe fondamental pi_1(V) opère proprement et cocompactement sur un complexe cubique CAT(0). Notre première approche consiste à construire un complexe cubique localement CAT(0) comme revêtement ramifié du complexe obtenu par cubulation de V. La difficulté est alors de vérifier que ce complexe a le même groupe fondamental que V’. On réalise ce programme dans le cas ou V’ est une « variété de Gromov-Thurston ». Notre seconde approche concerne plus généralement le cas où le lieu de ramification du revêtement V' to V est contenu dans une sous-variété convexe de codimension 1. La préimage de cette variété dans V’ puis dans le revêtement universel X’ de V’ fournit un système naturel de « murs ». La difficulté consiste alors à montrer que ces murs séparent linéairement X’ afin d'utiliser les théorèmes classiques de cubulation. / The goal of this thesis is to study of branched covers V' to V of closed hyperbolic manifolds that can be cubulated, i.e. Whose fundamental group pi_1(V) acts properly and cocompactly on a CAT(0) cube complex. We give sufficient conditions for pi_1(V') to be cubic as well.We tackle this question in two different ways. In a first approach we build a negatively curved cubical complex as a ramified cover of a cubical complex obtained by cubulating V. Then the main issue is to check that the fundamental group of this complexe is isomorphic to the fundamental group of V'. We manage to do so when V' is so called “Gromov-Thurston manifold “. Our second approach deals with the more general case where the branched locus of V' to V is contained in a codimension 1 convex submanifold. The preimage of this submanifold on V' and on the universal cover X' of V' provides a natural system of “walls”. Then the main issue is to show that these walls linearly separate X'. This enables us to use classical cubulation theorems.

Cette thèse étudie une classe des problèmes de Riemann-Hilbert Fuchsiens (à coefficients méromorphes dont tous les pôles sont d'ordre un). Les variétés de Frobenius apparaissent comme une formulation géométrique des structures d'équations de Witten-DijkgraafVerlande-Verlande (WDVV). Nous considérons ces variétés sur les espaces de Hurwitz vus, quant à eux, comme variétés réelles motivés par le fait qu'une variété de Frobenius semisimple peut être construite à partir d'une solution fondamentale du problème de Riemann-Hilbert associé. Une solution au problème Fuchsien de Riemann-Hilbert matriciel (problème de monodromie inverse) correspondant aux structures "réelles doubles" de Frobenius de Dubrovin sur les espaces de Hurwitz, a été construite. La solution est donnée en termes de certaines différentielles méromorphes integrées sur une base appropriée d'homologie relative de la surface de Riemann. La relation avec la solution du problème Fuchsien de Riemann-Hilbert pour les structures de Frobenius Hurwitz de Dubrovin est établie. Une solution du problème de Riemann-Hilbert correspondant aux déformations des "réelles doubles" est aussi donnée.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l’hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers. / We explicitly bound the Faltings height of a curve over the field of algebraic numbers in terms of the Belyi degree. Similar bounds are proven for three other Arakelov invariants: the discriminant, Faltings' delta invariant and the self-intersection of the dualizing sheaf. Our results allow us to explicitly bound these Arakelov invariants for modular curves, Hurwitz curves and Fermat curves. Moreover, as an application, we show that the Couveignes-Edixhoven-Bruin algorithmtime under the Riemann hypothesis for zeta-functions of number fields. This was known before only for certain congruence subgroups. Finally, we utilize our results to prove a conjecture of Edixhoven, de Jong and Schepers on the Faltings height of a branched cover of the projective line over the ring of integers.