Dans le contexte du stockage des déchets radioactifs en milieu poreux, nous considérons l’équation de convection-diffusion instationnaire et sa discrétisation par des méthodes numériques. La discontinuité des paramètres physiques et la variabilité des échelles d’espace et de temps conduisent à utiliser des discrétisations différentes en temps et en espace dans différentes régions du domaine. Nous choisissons dans cette thèse le schéma volumes finis en dualité discrète (DDFV) et le schéma de Galerkin Discontinu en temps couplés à une méthode de décomposition de domaine de Schwarz de type relaxation d’ondes optimisées (OSWR), ce qui permet de traiter des maillages espace-temps non conformes. La principale difficulté réside dans l’obtention d’une discrétisation amont du flux convectif qui reste locale à un sous-domaine et telle que le schéma monodomaine soit équivalent au schéma multidomaine. Ces difficultés sont appréhendées d’abord en une dimension d’espace où différentes discrétisations sont étudiées. Le schéma retenu introduit une inconnue hybride sur les interfaces entre cellules. L’idée du décentrage amont par rapport à cette inconnue hybride est reprise en dimension deux d’espace, et adaptée au schéma DDFV. Le caractère bien posé de ce schéma et d’un schéma multidomaine équivalent est montré. Ce dernier est résolu par un algorithme OSWR dont la convergence est prouvée. Les paramètres optimisés des conditions de Robin sont obtenus par l'étude du taux de convergence continu ou discret. Différents cas-tests, dont l’un est inspiré du stockage des déchets nucléaires, illustrent ces résultats. / In the context of nuclear waste repositories, we consider the numerical discretization of the non stationary convection diffusion equation. Discontinuous physical parameters and heterogeneous space and time scales lead us to use different space and time discretizations in different parts of the domain. In this work, we choose the discrete duality finite volume (DDFV) scheme and the discontinuous Galerkin scheme in time, coupled by an optimized Scwharz waveform relaxation (OSWR) domain decomposition method, because this allows the use of non-conforming space-time meshes. The main difficulty lies in finding an upwind discretization of the convective flux which remains local to a sub-domain and such that the multidomain scheme is equivalent to the monodomain one. These difficulties are first dealt with in the one-dimensional context, where different discretizations are studied. The chosen scheme introduces a hybrid unknown on the cell interfaces. The idea of upwinding with respect to this hybrid unknown is extended to the DDFV scheme in the two-dimensional setting. The well-posedness of the scheme and of an equivalent multidomain scheme is shown. The latter is solved by an OSWR algorithm, the convergence of which is proved. The optimized parameters in the Robin transmission conditions are obtained by studying the continuous or discrete convergence rates. Several test-cases, one of which inspired by nuclear waste repositories, illustrate these results.

Dans cette thèse, nous proposons l'analyse numérique et le développement d'algorithmes partitionnés pour coupler l'écoulement du sang dans différents comparti- ments cardiovasculaires (3D-3D, 3D-0D) Dans une première partie, un problème couplé fluide-fluide est introduit. Sur l'interface qui sépare les domaines, des conditions aux limites de type Robin-Robin dérivées de la formulation d'interface de Nitsche sont considérées. Nous proposons différents schémas explicites dont la stabilité est analysée dans la norme de l'énergie. Des simulations numé- riques illustrent le potentiel des méthodes présentées. La deuxième partie propose des applications cardiovasculaires plus réalistes. Tout d'abord, un modèle d'ordre réduit pour les valves cardiaques est décrit. Sans traiter l'inter- action fluide-structure avec le sang, les valves sont remplacées par des surfaces agissant comme des résistances immergées dans le fluide. Des simulations numériques montrent l'efficacité et la robustesse de ce modèle. Pour finir, une formulation ALE est utilisée pour la résolution d'un modèle fluide sur un domaine mobile. Nous montrons qu'en ajoutant un terme consistent, une inégalité d'éner- gie stable peut être obtenue sans considérer aucune hypothèse de Loi de Conservation Géométrique. Le travail se termine avec des simulations numériques sur la dynamique du sang dans le ventricule gauche, couplé avec l'écoulement du sang dans l'aorte. / In this thesis we present the numerical analysis and the development of parti- tioned algorithms in order to couple the blood dynamics in different cardiovascular compart- ments (3D-3D, 3D-0D). In the first part a fluid-fluid coupled problem is introduced. On the interface between the domains Robin-Robin boundary conditions, derived from the interface Nitsche’s formulation, are considered. We suggest different staggered explicit schemes whose stability is analyzed in the energy norm. Extensive numerical experiments illustrate the accuracy of the methods presented. The second part deals with more realistic cardiovascular applications. First a reduced order model for the heart valves is described. Without dealing with fluid-structure interaction with the blood flow, the valves are replaced by immersed surfaces acting as resistances on the fluid. Numerical simulations show the efficiency and the robustness of this model in the framework of a fluid-fluid interaction scheme. In the end, an ALE formulation is used to solve a fluid model in a moving domain. We show that adding a suitable consistent term, a stable energy inequality can be obtained without considering any Geometric Conservation Laws. The work ends with numerical sim- ulations on blood dynamics in the left ventricle coupled with the blood flowing in the aorta.