The dissertation deals with utilisation of multispectral optical measurement for data fusion that may be used for visual telepresence and indoor/outdoor mapping by heterogeneous mobile robotic system. Optical proximity sensors, thermal imagers, and tricolour cameras are used for the fusion. The described algorithms are optimised to work in real-time and implemented on CASSANDRA robotic system made by our robotic research group.

Les problématiques de recherche abordées dans cette thèse concernent la conceptualisation, la modélisation et la commande générique des robots mobiles lors de leur évolution en milieux extérieurs et en présence de glissement pour des applications de suivi de précision. Ainsi, ce mémoire synthétise dans un premier temps les développements et résultats obtenus lors du suivi de trajectoire (localisation absolue), puis synthétise ensuite ceux obtenus lors de suivi de structure et de cible (localisation relative). Une dernière partie introduit un concept de plateforme robotique reconfigurable et sa commande associée pour adapter l’assiette et les dimensions du châssis en fonction de la topographie du terrain.Pour chaque application de suivi, ce mémoire présente un panel de lois de commande originales pour des robots différentiels, à un train et à deux trains directeurs. Chaque modalité de commande est présentée en quatre étapes : modélisation, estimation, commande et expérimentations. La première contribution majeure de la thèse concerne l’estimation du glissement. Cette dernière est adaptative et basée modèle. Elle intègre la modélisation cinématique étendue seule ou couplée à la modélisation dynamique du robot mobile pour assurer une estimation intègre quels que soient la vitesse, les phénomènes dynamiques rencontrés et la nature du sol. La seconde contribution majeure concerne le développement d’une stratégie de commande générique pour les robots mobiles. Cette stratégie est basée sur le principe de la commande en cascade (ou par backstepping) et est déclinée dans ce mémoire à travers un panel de lois de commande. Cette méthodologie de commande, lorsqu’elle est associée à l’observation du glissement précédent, permet d’obtenir des performances de suivi accrues quel que soit le contexte rencontré. L’ensemble des algorithmes ont été validés en simulation et/ou expérimentalement à l’aide de différentes plateformes robotiques en contextes réels. / This work is focused on the conceptualization, the modeling and the genericcontrol of mobile robots when moving in off-road contexts and facing slipperyterrains, especially for very accurate tracking and following applications. Thisthesis summarizes the proposed methods and the obtained results to addressthis research issue, first for path following applications (absolute localization)and then for edge and target tracking applications (relative localization). A finalsection of this thesis introduces an adaptive robotic concept and its associatedcontroller allowing the adaptation of the pose (position and orientation) of thechassis with respect to the environment topography.For each application, this thesis introduces a panel of innovative control algorithmsfor controlling skid-steering, two-wheel steering and four-wheel steeringmobile robots. Each algorithm of the panel is described, in this thesis, infour steps : modeling, estimation, control and experiments.The first main contribution of this thesis deals with the slippage estimation.The latter is adaptive and model-based. It also includes the extended kinematicmodeling only or together with the dynamic modeling of the mobile robot toensure a robust estimation of the slippage whatever the speed of the robot, encountereddynamic phenomena or even ground characteristics.The second main contribution deals with the design of a generic control approachfor mobile robots when path following and target tracking. The proposedstrategy is mostly based on a backstepping method and is illustrated inthis thesis via a panel of control laws. When combining this proposed controlapproach with the slippage estimation described above, significant improvedtracking and following performances are obtained (in term of stability, repeatability,accuracy and robustness) whatever the encountered context.All algorithms have been tested and validated through simulations and/orfull-scale experiments, indoor and off-road, with different mobile robots.

Les travaux présentés dans cette thèse concernent le thème des fonctionnalités visuelles qu'il convient d'embarquer sur un robot mobile, afin qu'il puisse se déplacer dans son environnement. Plus précisément, ils ont trait aux méthodes de perception par vision stéréoscopique dense, de modélisation de l'environnement par grille d'occupation, et de suivi visuel d'objets, pour la navigation autonome d'un robot mobile dans un environnement d'intérieur. Il nous semble important que les méthodes de perception visuelle soient à la fois robustes et rapide. Alors que dans les travaux réalisés, on trouve les méthodes globales de mise en correspondance qui sont connues pour leur robustesse mais moins pour être employées dans les applications temps réel et les méthodes locales qui sont les plus adaptées au temps réel tout en manquant de précision. Pour cela, ce travail essaye de trouver un compromis entre robustesse et temps réel en présentant une méthode semi-locale, qui repose sur la définition des distributions de possibilités basées sur une formalisation floue des contraintes stéréoscopiques.Il nous semble aussi important qu'un robot puisse modéliser au mieux son environnement. Une modélisation fidèle à la réalité doit prendre en compte l'imprécision et l'incertitude. Ce travail présente une modélisation de l'environnement par grille d'occupation qui repose sur l'imprécision du capteur stéréoscopique. La mise à jour du modèle est basée aussi sur la définition de valeurs de crédibilité pour les mesures prises.Enfin, la perception et la modélisation de l'environnement ne sont pas des buts en soi mais des outils pour le robot pour assurer des tâches de haut niveau. Ce travail traite du suivi visuel d'un objet mobile comme tâche de haut niveau. / This work concerns visual functionalities to be embedded in a mobile robot for navigation purposes. More specifically, it relates to methods of dense stereoscopic vision based perception, grid occupancy based environment modeling and object tracking for autonomous navigation of mobile robots in indoor environments.We consider that is important for visual perception methods to be robust and fast. While in previous works, there are global stereo matching methods which are known for their robustness, but less likely to be employed in real-time applications. There are also local methods which are more suitable for real time but imprecise. To this aim, this work tries to find a compromise between robustness and real-time by proposing a semi-local method based on the definition of possibility distributions built around a fuzzy formalization of stereoscopic constraints.We consider also important for a mobile robot to better model its environment. To better fit a model to the reality we have to take uncertainty and inaccuracy into account. This work presents an occupancy grid environment modeling based on stereoscopic sensor inaccuracy.. Model updating relies on the definition of credibility values for the measures taken.Finally, perception and environment modeling are not goals but tools to provide robot high-level tasks. This work deals with visual tracking of a moving object such as high-level task.

L'agriculture est un secteur d'activité qui est confronté aujourd'hui à des objectifs d'accroissement de productivité pour subvenir aux besoins alimentaires de la population mondiale en pleine explosion démographique. Cependant, cette activité sollicite fortement les biens environnementaux tels que l'eau et le sol, et des solutions sont aujourd'hui recherchées pour limiter l'incidence des pratiques agricoles sur l'environnement. Les systèmes de guidage des véhicules agricoles font partie de ces nouvelles technologies qui contribuent à cet objectif, en offrant la possibilité d'assurer la précision du suivi des trajectoires dans les parcelles, et de favoriser ainsi l'efficacité et la qualité du travail agronomique réalisé. Des fonctionnalités essentielles font néanmoins aujourd'hui défaut à ces systèmes. Citons la capacité à compenser la marche en crabe du véhicule sur les terrains glissants en pente, la capacité à contrôler les trajectoires des outils agricoles traînés, et la capacité à effectuer certaines manoeuvres en zone de fourrière. Ce travail de thèse aborde l'ensemble de ces problématiques au travers l'étude de la commande en milieu naturel de robot mobile poly-articulé à roues (RMPA), composé d'un véhicule " tracteur " à deux trains directeurs associé à n remorques passives à attache déportée. Une modélisation cinématique étendue est d'abord adoptée pour tenir compte des effets induits par les faibles conditions d'adhérence sur le comportement global du RMPA. Les variables de glissement introduites sur chacun des trains directeurs et roulants sont estimées à l'aide d'un observateur bâti à la manière d'une loi de commande. La trajectoire de référence à suivre gamma est quant à elle préalablement apprise ou construite à l'aide de primitives élémentaires et d'arcs de clothoïdes pour générer les manoeuvres de demi-tour. En premier lieu, les deux trains directeurs du RMPA sont exploités pour contrôler avec précision non seulement l'écart latéral mais également l'écart angulaire du véhicule " tracteur " par rapport à gamma : la commande du train directeur avant est basée sur la transformation du modèle en un système chaîné, conduisant à un découplage exact des performances latérales et longitudinales, puis sur des techniques de linéarisation exacte pour assurer la régulation latérale. La commande du train directeur arrière se base sur la dynamique de l'écart angulaire pour compenser les glissements et asservir cet écart sur le point de fonctionnement choisi. En second lieu, ces commandes sont étendues pour asservir latéralement la ieme remorque du RMPA le long de gamma : une approche en cascade est utilisée pour traduire une commande virtuelle de la ieme remorque en terme de commande du train directeur avant du véhicule " tracteur ". La commande longitudinale du RMPA est quant à elle basée sur une stratégie de commande prédictive à modèle interne, afin de suivre avec précision le profil de vitesse associé à gamma. De nombreuses expérimentations en conditions réelles, effectuées sur un RMPA composé d'un véhicule " tracteur " à deux trains directeurs et d'une remorque passive à attache déportée, viennent valider les différentes approches présentées dans ce mémoire et permettent d'apprécier les performances des lois de commande proposées.

CETTE THESE TRAITE DU PROBLEME DE LA LOCALISATION DANS UN ENVIRONNEMENT TRIDIMENSIONNEL (3D) D'UN ROBOT MOBILE AUTONOME, AINSI QUE DE CELUI DE LA MODELISATION DE TERRAIN. DEUX DOMAINES TYPIQUES D'APPLICATION DE CE TRAVAIL SONT LA ROBOTIQUE MOBILE D'INTERVENTION (SECURITE CIVILE,) ET L'EXPLORATION PLANETAIRE. LA CONTRIBUTION DE LA THESE SE SITUE SURTOUT AU NIVEAU DE LA LOCALISATION D'UN ROBOT DANS UN ENVIRONNEMENT SEMI-STRUCTURE OU NON STRUCTURE. UN ETAT DE L'ART CONCERNANT D'UNE PART LES PRINCIPAUX CAPTEURS UTILISABLES, ET D'AUTRE PART LA MODELISATION, EST PRESENTE. L'ACCENT EST MIS SUR LES CAPTEURS INERTIELS ET SUR LA MODELISATION DE FORMES NON STRUCTUREES ; LE CHOIX DES CAPTEURS UTILISES, AINSI QUE CELUI DES PRIMITIVES GEOMETRIQUES RETENUES, SONT JUSTIFIES. DANS UN PREMIER TEMPS, UNE APPROCHE POUR LA LOCALISATION DU ROBOT A L'AIDE D'AMERS DE TYPE STRUCTURE, MAIS EVENTUELLEMENT NATURELS, EST PRESENTEE. LE PROBLEME DE LA FUSION INCREMENTALE D'UN MODELE DE LOCALISATION BASE SUR DES PRIMITIVES HETEROGENES, A PARTIR DE LA DETECTION DE LIGNES VERTICALES (ARBRES, COLONNES) OU DE MURS, EST TRAITE. PLUSIEURS APPROCHES POUR LE RECALAGE DE LA POSITION DU ROBOT ET LA FUSION DES DONNEES HETEROGENES SONT COMPAREES. UNE STRATEGIE DE CHOIX DES DIFFERENTS AMERS EST ENFIN PROPOSEE. DANS UN DEUXIEME TEMPS, LE PROBLEME DE LA MODELISATION DE TERRAIN ACCIDENTE ET DU RECALAGE SUR DES CARACTERISTIQUES NON STRUCTUREES DE L'ENVIRONNEMENT EST ABORDE. UNE METHODE DE MODELISATION DU TERRAIN PAR HIERARCHIE DE B-SPLINES EST PROPOSEE, ET LA CONSTRUCTION INCREMENTALE DU MODELE DE TERRAIN EST TRAITEE. LE MODELE ANALYTIQUE OBTENU PERMET D'EXTRAIRE DIVERS INVARIANTS 3D, COMME DES MAXIMA D'ALTITUDE OU DES POINTS DE FORTE COURBURE ; L'ASPECT MULTI-RESOLUTION PERMET DE FOCALISER PROGRESSIVEMENT LA RECHERCHE DE TELLES CARACTERISTIQUES. FINALEMENT, UNE METHODE DE LOCALISATION FAISANT COOPERER L'EXTRACTION DE CARACTERISTIQUES AVEC DES TECHNIQUES DE TYPE CORRELATION EST PROPOSEE. LES DIFFERENTES METHODES DEVELOPPEES ONT FAIT L'OBJET D'UNE VALIDATION SUR PLUSIEURS ROBOTS MOBILES EXPERIMENTAUX

On considère qu'un robot est en mesure de franchir un obstacle s'il est capable, pour chaque configuration géométrique des contacts rencontrée durant le franchissement, d'équilibrer les actions extérieures qu'il subit tout en préservant l'adhérence des contacts. Notre approche consiste à optimiser la répartition des efforts de contact afin de maximiser un critère qualifiant la performance du franchissement. Pour cela, nous mettons à profit deux caractéristiques des robots poly-articulés. D'une part, la redondance d'actionnement permet l'application de forces internes modifiant la répartition des efforts entre les différents points de contact. D'autre part, la redondance cinématique permet de changer la position du point d'application des forces de gravité en déplaçant le centre de masse relativement à la position des contacts, modifiant ainsi l'espace des solutions au problème de distribution des forces. Le critère utilisé qualifie la robustesse du franchissement vis-à-vis des incertitudes de la commande en efforts. Elle est choisie à partir d'une analyse comparative des différents critères utilisés dans le domaine de la préhension dextre. L'algorithme de commande que nous développons permet le contrôle simultané des mouvements du robot et des efforts aux contact. Il est d'abord validé par une série de simulations dynamiques puis vérifié sur le prototype de robot hybride HyLoS 2. Ce robot à 4 "roues-pattes" possède 16 ddl et est en mesure de franchir un obstacle représenté par une pente de 60\char6 ayant une hauteur de 19 cm alors que le rayon de ses roues est de 7 cm.

La modélisation et la simulation numérique sont des outils fondamentaux pour la conception et le développement de nouveaux véhicules. Les travaux de cette thèse portent sur la modélisation et la simulation d’un véhicule innovant, étroit et inclinable, en appliquant une description systématique et générique du véhicule considéré comme un robot dont la base est mobile et les roues sont les organes terminaux. Le système d’inclinaison motorisé entraîne une cinématique complexe et comporte des chaines fermées. Le but du travail est de construire un modèle physique précis, au contraire des modèles simplifiés de type bicyclette ou quart de véhicule utilisés habituellement pour l’étude de la commande des véhicules. L’approche procède à la description de l’architecture mécanique du véhicule, le considérant comme un système multi-corps poly-articulés, s’appuyant sur le formalisme de la robotique et précisément sur la représentation géométrique de Denavit-Hartenberg modifié. Cette approche permet de calculer automatiquement les expressions symboliques des modèles géométriques, cinématiques et dynamiques des structures simples et arborescentes. Les modèles qui en résultent comportent un nombre minimum d’opérations par la mise à profit du calcul symbolique itératif et des techniques de simplification de modèles propres à la robotique. Ces techniques sont implémentées dans le logiciel de calcul symbolique SYMORO+. Le modèle dynamique est calculé d’une manière récursive à l’aide de l’algorithme de Newton-Euler. La simulation dynamique utilise un simulateur édité sous Matlab/Simulink qui intègre le modèle dynamique direct calculé automatiquement à partir du modèle inverse. Des simulations réalisées sur des modèles de complexité croissante, pour des scénarios de freinage ou d’accélération, en ligne droite ou en virage, valident la méthodologie de modélisation mécanique proposée. / Modeling and simulating are fundamental tools to develop new vehicles. The aim of this thesis is to model and simulate a urban narrow tilting car whose structure contains closed mechanical chains. Hence the goal is to build a physical model more precise and realistic than the bicycle model or quarter vehicle model used usually for some control purposes. The modeling approach is based on the modified Denavit&Hartenberg description, commonly used in robotics, by considering the vehicle as a multi-body poly-articulated system whose the terminal links are the wheels. This description allows calculating automatically the symbolic expression of the geometric, kinematic and dynamic models, by using robotics techniques and a symbolic software package named SYMORO+. The dynamic model is calculated recursively thanks to the Newton-Euler algorithm. Simulations of different dynamical model of vehicles have been performed, analyzed and compared. They validate in some sense the modeling methodology presented as an efficient way to get realistic model of non-standard vehicles.

The aim of this diploma thesis is design of docking station for an autonomous mobile robot Breach. The task of docking station is to connect this robotic device to power supply without human intervention in order to charge its batteries. The theoretical part of diploma thesis contains research study about autonomous charging of robots. After that it is assessed suitability of using different types of docking stations and it was chosen optimal solution. The practice part of diploma thesis contains design of docking mechanism, which takes account of inaccurate navigation of robot with deviation of several centimeters. One part of this design deals with connector system, which is dimensioned for long-term transmission of electric current with minimal value of 20 A. At the end of diploma thesis there was created 3D model of the complete docking station including connectors for charging in program called SolidWorks.

L'agriculture est un secteur d'activité qui est confronté aujourd'hui à des objectifs d'accroissement de productivité pour subvenir aux besoins alimentaires de la population mondiale en pleine explosion démographique. Cependant, cette activité sollicite fortement les biens environnementaux tels que l'eau et le sol, et des solutions sont aujourd'hui recherchées pour limiter l'incidence des pratiques agricoles sur l'environnement. Les systèmes de guidage des véhicules agricoles font partie de ces nouvelles technologies qui contribuent à cet objectif, en offrant la possibilité d'assurer la précision du suivi des trajectoires dans les parcelles, et de favoriser ainsi l'efficacité et la qualité du travail agronomique réalisé. Des fonctionnalités essentielles font néanmoins aujourd'hui défaut à ces systèmes. Citons la capacité à compenser la marche en crabe du véhicule sur les terrains glissants en pente, la capacité à contrôler les trajectoires des outils agricoles traînés, et la capacité à effectuer certaines manoeuvres en zone de fourrière. Ce travail de thèse aborde l'ensemble de ces problématiques au travers l'étude de la commande en milieu naturel de robot mobile poly-articulé à roues (RMPA), composé d'un véhicule " tracteur " à deux trains directeurs associé à n remorques passives à attache déportée. Une modélisation cinématique étendue est d'abord adoptée pour tenir compte des effets induits par les faibles conditions d'adhérence sur le comportement global du RMPA. Les variables de glissement introduites sur chacun des trains directeurs et roulants sont estimées à l'aide d'un observateur bâti à la manière d'une loi de commande. La trajectoire de référence à suivre gamma est quant à elle préalablement apprise ou construite à l'aide de primitives élémentaires et d'arcs de clothoïdes pour générer les manoeuvres de demi-tour. En premier lieu, les deux trains directeurs du RMPA sont exploités pour contrôler avec précision non seulement l'écart latéral mais également l'écart angulaire du véhicule " tracteur " par rapport à gamma : la commande du train directeur avant est basée sur la transformation du modèle en un système chaîné, conduisant à un découplage exact des performances latérales et longitudinales, puis sur des techniques de linéarisation exacte pour assurer la régulation latérale. La commande du train directeur arrière se base sur la dynamique de l'écart angulaire pour compenser les glissements et asservir cet écart sur le point de fonctionnement choisi. En second lieu, ces commandes sont étendues pour asservir latéralement la ieme remorque du RMPA le long de gamma : une approche en cascade est utilisée pour traduire une commande virtuelle de la ieme remorque en terme de commande du train directeur avant du véhicule " tracteur ". La commande longitudinale du RMPA est quant à elle basée sur une stratégie de commande prédictive à modèle interne, afin de suivre avec précision le profil de vitesse associé à gamma. De nombreuses expérimentations en conditions réelles, effectuées sur un RMPA composé d'un véhicule " tracteur " à deux trains directeurs et d'une remorque passive à attache déportée, viennent valider les différentes approches présentées dans ce mémoire et permettent d'apprécier les performances des lois de commande proposées. / Agriculture has today the challenge to increase its productivity in order to supply enough food for the growing needs of the world population. However, this activity strongly damages environmental ressources as water and soil, and new solutions are today required to reduce the impact of agricultural practices on environment. Automatic guidance systems for farm vehicles are some new technologies that contribute to this objective, allowing accurate path following in the fields and therefore improving efficiency and quality of the agricultural work carried out. Essential functionalities are however absent in these systems, as the capacities to compensate for the crabway motion of the vehicle on sliding sloping fields, to control the trajectories of the towed implement,and to perform U-turn maneuvers in headland. This thesis studies these problems through the control in presence of sliding of a poly-articulated wheeled mobile robot called RMPA, composed of a four-wheel-steering vehicle and n passive trailers hooked up at some distance from the rear axle of the previous one. An extended kinematic model of the RMPA is first used in order to take into account for the sliding effects on the overall behaviour of the robot. The sliding parameters, introduced on each rolling and steering axle of the RMPA, are estimated using a state observer built as a control law. The reference path [gamma] to be followed is either previously learned or specially planned using elementary primitives connected together with pieces of clothoid to produce the U-turn maneuvers. In a first step, both front and rear steering actuations of the robot are used to accurately control both lateral and angular deviations of the RMPA's four-wheel-steering vehicle with respect to [gamma] : the control of the front steering wheels is based on the transformation of the extended kinematic model into a chained system, allowing to dissociate the lateral and longitudinal commands, and on exact linearization techniques in order to servo lateral deviation. The control of the rear steering wheels is built from the angular deviation dynamic and ensures the convergence of the vehicle deviation to the desired set point. In a second step, these control laws are extended to control the lateral deviation of the ith trailer of the RMPA with respect to [gamma] : a backstepping approach is proposed to calculate the control law for the RMPA's front steering wheels from the study of a virtual control law for the ith trailer. Finally, the longitudinal control law of the RMPA is based on model predictive control, in order to accurately follow the velocity references linked to [gamma]. Numerous experiments relying on an actual RMPA, composed of a passive trailer hooked up at some distance from the rear axle of a four-wheel-steering vehicle, permit to validate the various approaches presented in this thesis and to appreciate the capabilities of the proposed control laws.

Les multiples applications liées aux systèmes multi-agents en réseau, tels que les satellites en formation, les oscillateurs couplés, les véhicules aériens sans pilote, entre autres, ont été, sans aucun doute, une motivation majeure dans le développement de cette thèse, qui est consacrée à l’étude du consensus de systèmes dynamiques et à la commande en formation de robots mobiles non holonomes. Dans le contexte du consensus, nous étudions la topologie en anneau avec de liens de communication variant dans le temps. Notamment, la communication peut être perdue pendant de longs intervalles de temps. Nous donnons de conditions suffisantes pour le consensus qui restent simples à vérifier, par exemple, en utilisant le théorème du petite gain. En suite, nous abordons le problème de consensus en supposant que la topologie de communication est variable. Nous établissons que le consensus est atteint à condition qu’il existe toujours un chemin de communication du type « spanning-tree » pendant un temps de séjour minimal. L'analyse s'appuie sur la théorie de stabilité des systèmes variant dans le temps et les systèmes à commutation. Dans le contexte de la commande en formation de véhicules autonomes nous adressons le problème de commande en suivi de trajectoire sur ligne droite en suivant une approche type maître-esclave. Nous montrons que le suivi global peut être obtenu à partir d’un contrôleur qui possède la propriété d’excitation persistante. En gros, le mécanisme de stabilisation dépend de l’excitation du système par une quantité qui est proportionnelle à l’erreur de suivi. Ensuite, la méthode est utilisée pour résoudre le problème de suivi de formation de plusieurs véhicules interconnectés sur la base d’une topologie « spanning-tree ». Nous donnons des conditions de stabilité concernant les modèles cinématique et dynamique, en utilisant la seconde méthode de Lyapunov. / The multiple applications related to networked multi-agent systems such as satellite formation flying, coupled oscillators, air traffic control, unmanned air vehicles, cooperative transport, among others, has been undoubtedly a watershed for the development of this thesis. The study of cooperative control of multi-agent systems is of great interest for his extensive field work and applications. This thesis is devoted to the study of consensus seeking of multi-agents systems and trajectory tracking of nonholonomic mobile robots.In the context of consensus seeking, first we study a ring topology of dynamic agents with time-dependent communication links which may disconnect for long intervals of time. Simple checkable conditions are obtained by using small-gain theorem to guarantee the achievement of consensus. Then, we deal with a network of dynamic agents with time-dependent communication links interconnected over a time-varying topology. We establish that consensus is reached provided that there always exists a « spanning-tree » for a minimal dwell-time by using stability theory of time-varying and switched systems. In the context of trajectory tracking, we investigate a simple leader-follower tracking controller for autonomous vehicles following straight lines. We show that global tracking may be achieved by a controller which has a property of persistency of excitation tailored for nonlinear systems. Roughly speaking the stabilisation mechanism relies on exciting the system by an amount that is proportional to the tracking error. Moreover, the method is used to solve the problem of formation tracking of multiple vehicles interconnected on the basis of a « spanning-tree » topology. We derive stability conditions for the kinematic and dynamic model by using a Lyapunov approach.