Nous proposons une nouvelle approche inspirée des modèles d'endommagement non-locaux pour décrire la ruine des matériaux quasi-fragiles désordonnés. Les hétérogénéités matériaux sont introduites à une échelle continue mésoscopique via des variations spatiales de la résistance à l'endommagement alors que le mécanisme de redistribution des contraintes est décrit à travers une fonction d'interaction que l'on peut faire varier. L'évolution spatio-temporelle de l'endommagement est déterminée à partir du principe de conservation d'énergie et caractérisée via une étude statistique des précurseurs à la rupture. Cette approche nous permet de prédire la valeur des seuils de localisation et de rupture en fonction de la nature des redistributions. A l'approche de la rupture, nous mettons également en évidence une augmentation en loi de puissance du taux d'énergie dissipée ainsi qu'une longueur de corrélation, supportant l'interprétation de la rupture quasi-fragile comme un phénomène critique. En effet, nous démontrons que notre model d'endommagement s'apparente à la loi d'évolution d'une interface élastique évoluant dans un milieu désordonné. Cette analogie nous permet d'identifier les paramètres d'ordre et de contrôle de cette transition critique et d'expliquer les invariances d'échelle des fluctuations dans la limite champ moyen. Enfin, nous appliquons ces concepts théoriques à travers l'étude expérimentale de la compression d'un empilement bidimensionnel de cylindres élastiques. Notre approche permet de décrire de façon quantitative la réponse mécanique non-linéaire du matériau, et en particulier la statistique des précurseurs ainsi que la localisation des déformations. / We propose a novel approach inspired from non-local damage continuum mechanics to describe damage evolution and quasi-brittle failure of disordered solids. Heterogeneities are introduced at a mesoscopic continuous scale through spatial variations of the material resistance to damage. The central role played by the load redistribution during damage growth is analyzed by varying the interaction function used in the non-local model formulation. The spatio-temporal evolution of the damage field is obtained from energy conservation arguments, so that the formulation is thermodynamically consistent. We analytically determine the onsets of localization and failure that appear controlled by the redistribution function. Damage spreading is characterized through a complete statistical analysis of the spatio-temporal organization of the precursors to failure. The power law increase of the rate of energy dissipated by damage and an extracted correlation length close to failure supports the interpretation of quasi-brittle failure as a critical phenomena. Indeed, we establish a connection between our damage model and the evolution law of an elastic interface driven in a disordered medium. It allows to identify the order and control parameters of the critical transition, and capture the scale-free statistical properties of the precursors within the mean field limit. Finally, we experimentally investigate the coaction of localized dissipative events and elastic redistributions in disordered media via compression experiments of two-dimensional arrays of hollow soft cylinders. Our experimental observations show a quantitative agreement with the predictions derived following our approach.

Avec le développement des techniques d’imagerie telles que la tomographie par rayons X au cours des dernières années, il est maintenant possible de prendre en compte la microstructure réelle dans les simulations des matériaux composites. Cependant, la complexité des composites tels que des fibres inclinées et brisées, les vides, exige un grand nombre des données à l’échelle microscopique pour décrire ces détails et amène ainsi des problèmes difficiles en termes de temps de calcul et de mémoire lors de l’utilisation de méthodes de simulation traditionnelles comme la méthode Eléments Finis. Ces problèmes deviennent encore plus sérieux dans la simulation de l’endommagement, comme la propagation des fissures. Par conséquent, il est nécessaire d’étudier des méthodes numériques plus efficaces pour ce genre de problèmes à grande échelle. La méthode Multigrille (MG) est une méthode qui peut être efficace parce que son coût de calcul est proportionnel au nombre d’inconnues. Dans cette thèse, un solveur de MG efficace pour ces problèmes est développé. La méthode MG est appliquée pour résoudre le problème d’élasticité statique basé sur l’équation de Lamé et aussi le problème de la propagation de fissures basé sur une méthode de champ de phase. La précision des solutions MG est validée par une solution analytique classique d’Eshelby. Ensuite, le solveur MG est développé pour étudier le processus d’homogénéisation des composites et ses solutions sont comparées avec des solutions existantes de la littérature. Après cela, le programme de calcul MG est appliqué pour simuler l’effet de bord libre dans les matériaux composites stratifiés. Une structure stratifiée réelle donnée par tomographie X est d’abord simulé. Enfin, le solveur MG est encore développé, combinant une méthode de champ de phase, pour simuler la rupture quasi-fragile. La méthode MG présente l’efficacité à la fois en temps de calcul et en mémoire pour résoudre les problèmes ci-dessus. / With the development of imaging techniques like X-Ray tomography in recent years, it is now possible to take into account the microscopic details in composite material simulations. However, the composites' complex nature such as inclined and broken fibers, voids, requires rich data to describe these details and thus brings challenging problems in terms of computational time and memory when using traditional simulation methods like the Finite Element Method. These problems become even more severe in simulating failure processes like crack propagation. Hence, it is necessary to investigate more efficient numerical methods for this kind of large scale problems. The MultiGrid (MG) method is such an efficient method, as its computational cost is proportional to the number of unknowns. In this thesis, an efficient MG solver is developed for these problems. The MG method is applied to solve the static elasticity problem based on the Lame's equation and the crack propagation problem based on a phase field method. The accuracy of the MG solutions is validated with Eshelby's classic analytic solution. Then the MG solver is developed to investigate the composite homogenization process and its solutions are compared with existing solutions in the literature. After that, the MG solver is applied to simulate the free-edge effect in laminated composites. A real laminated structure using X-Ray tomography is first simulated. At last, the MG solver is further developed, combined with a phase field method, to simulate the brittle crack propagation. The MG method demonstrates its efficiency both in time and memory dimensions for solving the above problems.