La première partie de cette thèse traite de la manipulation des séries de polynômes orthogonaux classiques par le calcul formel. Grâce à l'approche hypergéométrique, nous obtenons de manière synthétique et constructive des opérateurs aux différences qui définissent les opérations élémentaires sur les séries de polynômes orthogonaux classiques telles que le produit par un polynôme, la dérivation ou l'évaluation des séries partielles. Ces opérations élémentaires sont implémentées en Maple sous forme de primitives à partir desquelles des opérations plus complexes sont construites : application d'un opérateur différentiel, produits de séries et surtout la résolution de problèmes différentiels au moyen de tau-méthodes. Dans le cas des séries de Chebyshev, les résultats de la premiére partie permettent de construire une équation récurrente, dite récurrence de Chebyshev, vérifiée par les coefficients de Chebyshev de toute fonction solution d'une équation différentielle holonome donnée. Divers problèmes relatifs à la construction et à la structure de la récurrence de Chebyshev sont traités. Parallèlement, les solutions de la récurrence de Chebyshev conduisent à la notion de série de Chebyshev formelle solution d'une équation différentielle. Un théorème décrit le comportement asympotique des coefficients d'une telle série qui peut être divergente. Dans certains cas, le lien entre une série de Chebyshev divergente et une fonction toutes deux solutions de la même equation differentielle peut être établi soit par des méthodes de resommation soit par une suite d'intégrales dans le champ complexe.