In this dissertation, we study the mixed finite element method for the linear plane elasticity problem and iterative solvers for the resulting discrete system. We use the Arnold-Winther Element in the mixed finite element discretization. An overlapping Schwarz preconditioner and a multigrid preconditioner for the discrete system are developed and analyzed. We start by introducing the mixed formulation (stress-displacement formulation) for the linear plane elasticity problem and its discretization. A detailed analysis of the Arnold-Winther Element is given. The finite element discretization of the mixed formulation leads to a symmetric indefinite linear system. Next, we study efficient iterative solvers for the symmetric indefinite linear system which arises from the mixed finite element discretization of the linear plane elasticity problem. The preconditioned Minimum Residual Method is considered. It is shown that the problem of constructing a preconditioner for the indefinite linear system can be reduced to the problem of constructing a preconditioner for the H(div) problem in the Arnold-Winther finite element space. Our main work involves developing an overlapping Schwarz preconditioner and a multigrid preconditioner for the H(div) problem. We give condition number estimates for the preconditioned systems together with supporting numerical results.

In this dissertation, we study the mixed finite element method for the linear plane elasticity problem and iterative solvers for the resulting discrete system. We use the Arnold-Winther Element in the mixed finite element discretization. An overlapping Schwarz preconditioner and a multigrid preconditioner for the discrete system are developed and analyzed. We start by introducing the mixed formulation (stress-displacement formulation) for the linear plane elasticity problem and its discretization. A detailed analysis of the Arnold-Winther Element is given. The finite element discretization of the mixed formulation leads to a symmetric indefinite linear system. Next, we study efficient iterative solvers for the symmetric indefinite linear system which arises from the mixed finite element discretization of the linear plane elasticity problem. The preconditioned Minimum Residual Method is considered. It is shown that the problem of constructing a preconditioner for the indefinite linear system can be reduced to the problem of constructing a preconditioner for the H(div) problem in the Arnold-Winther finite element space. Our main work involves developing an overlapping Schwarz preconditioner and a multigrid preconditioner for the H(div) problem. We give condition number estimates for the preconditioned systems together with supporting numerical results.

Discontinuous Galerkin methods form a class of numerical methods to find a solution of partial differential equations by combining features of finite element and finite volume methods. Methods are defined using a weak form of a particular model problem, allowing for discontinuities in the discrete trial and test spaces. Using a discontinuous discrete space mesh provides proper flexibility and a compact discretisation pattern, allowing a multidomain and multiphysics simulation. Discontinuous Galerkin methods with a higher approximation polynomial order, the socalled p-version, performs better in terms of convergence rate, compared with the low order h-version with smaller element sizes and bigger mesh. However, the condition number of the Galerkin system grows subsequently. This causes surge in the amount of required storage, computational complexity and in the time required for computation. We use the following three approaches to keep the advantages and eliminate the disadvantages. The first approach will be a specific choice of basis functions which we call C1 polynomials. These ensure that the majority of integrals over the edge of the mesh elements disappears. This reduces the total number of non-zero elements in the resulting system. This decreases the computational complexity without loss in precision. This approach does not affect the number of iterations required by chosen Conjugate Gradients method when compared to the other choice of basis functions. It actually decreases the total number of algebraic operations performed. The second approach is the introduction of suitable preconditioners. In our case, the Additive two-layer Schwarz method, developed in [4], for the iterative Conjugate Gradients method is considered. This directly affects the spectral condition number of the system matrix and decreases the number of iterations required for the computation. This approach, however, increases the total number of algebraic operations and might require more operational time. To tackle the rise in the number of algebraic operations, we introduced a modified Additive two-layer non-overlapping Schwarz method with a Multigrid process. This using a fixed low-order approximation polynomial degree on a coarse grid. We show that this approach is spectrally equivalent to the first preconditioner, and requires less time for computation. The third approach is a development of an efficient mathematical framework for distributed data structure. This allows a high performance, massively parallel, implementation of the discontinuous Galerkin method. We demonstrate that it is possible to exploit properties of the system matrix and C1 polynomials as basis functions to optimize the parallel structures. The previously mentioned parallel data structure allows us to parallelize at the same time both the matrix-vector multiplication routines for the Conjugate Gradients method, as well as the preconditioner routines on the solver level. This minimizes the transfer ratio amongst the distributed system. Finally, we combined all three approaches and created a framework, which allowed us to successfully implement all of the above.

Le travail effectué dans cette thèse a consisté à analyser différents aspects mathématiques et numériques d'une stratégie de résolution des problèmes de propagation d'onde acoustique et électromagnétique en domaine extérieur. Nous nous intéressons plus particulièrement à la méthode de couplage entre éléments finis et représentation intégrale (CEFRI) où nous analysons un algorithme de résolution itérative par analogie avec une méthode de décomposition de domaine ainsi que l'utilisation de la méthode multipôles rapide (FMM). Le système à résoudre fait intervenir des opérateurs intégraux ce qui rend crucial le recours à des méthodes rapides telles que la FMM. L'analogie avec une méthode de décomposition de domaine s'obtient par extension au problème de Maxwell des résultats établis par F. Ben Belgacem et al. pour le problème de Helmholtz posé en domaine non borné. Pour cela, nous avons montré le lien entre la méthode CEFRI et la méthode de Schwarz avec recouvrement total pour la résolution du problème de Maxwell en domaine non borné. Cette relecture de la méthode CEFRI offre également une technique de préconditionnement pour les solveurs de Krylov et nous a permis d'avoir une idée préliminaire sur la convergence de ces méthodes. Ainsi, nous nous intéressons plutôt à des méthodes itératives rapides. Pour cela, nous avons mené une analyse théorique afin de montrer la convergence superlinéaire du GMRES dans une configuration sphérique. La validation de ces aspects a été réalisée par l'enrichissement de nombreux intégrants de la librairie éléments finis Mélina++, en C++. / We are concerned with the study of different aspects of a numerical strategy for the resolution of acoustic and electromagnetic scattering problems. We focus more particu- larly on a coupling of finite element and integral representation (CEFRI) : we study an iterative algorithm by analogy with a domain decomposition method, and consider the use of the Fast Multipole Method (FMM). The system to be solved involves integral operators which requires the use of fast methods such as the FMM. The correspondence with a domain decomposition method is obtained by extending to the exterior Maxwell problem the results derived by F. Ben Belgacem et al. for the Helmholtz problem posed in unbounded domain. To this aim, we show the analogy to the Schwarz method with total overlap. This interpretation of CEFRI suggests a preconditioner for Krylov solvers and enables us to have a preliminary idea of their convergence. We derive in this context an analytical proof of a superlinear convergence of GMRES in a spherical configuration. The validation of these aspects has been achieved by the enrichment of the finite element library Mélina++ in C++.

Le givrage a été identifié comme un danger important dès le début de l'aéronautique.L'accrétion de givre sur les ailes d'avion, due à la présence de gouttelettes surfonduesdans les nuages, cause parmi d'autres conséquences néfastes une dégradation des performancesaérodynamiques pouvant conduire au décrochage. C'est pourquoi les avionneursdéveloppent depuis longtemps des systèmes de protection. Comme les essais en vols ou ensoufflerie sont souvent complexes à mettre en oeuvre et onéreux, la simulation numériqueest devenue un outil efficace et complémentaire pour dimensionner ces systèmes.Cette thèse s'inscrit dans le contexte de la modélisation de l'accrétion de givre, duruissellement et des systèmes de protection thermique. Elle s'articule en sept chapitres.Après avoir présenté les enjeux et contexte, on introduit une approche tricouche permettantde modéliser l'accrétion de givre et le ruissellement de manière instationnaire. Les troischapitres suivants traitent des méthodes de discrétisation de ce modèle ainsi que de soncouplage avec un modèle du système de protection thermique. Les deux derniers sontconsacrés à la présentation des résultats de simulations numériques montrant l'intérêt del'approche développée et la faisabilité de simulations complètes de phénomènes d'accrétionde givre sur une paroi chauffée ou non. / Icing has been identified as a serious issue since the start of aeronautics. Ice accretion onwings, due to supercooled droplets inside clouds, leads to severe degradation of aerodynamicperformances, among other undesirable effects. Therefore, aircraft manufacturers have sincea long time developed ice protection systems. As flight tests or wind tunnel experimentsare often complicated to implement and expensive, numerical modeling is an effective andcomplementary tool to design those systems. This thesis concerns the modeling of ice accretion, runback and thermal ice protectionsystems. It consists of seven chapters. The first one is dedicated to the presentation of theconcerns and the context. Then a three layer approach allowing to model in an unsteadyway ice accretion and runback is presented. Following three chapters deal with this modeldiscretization as well as a method to couple it with a thermal ice protection system model.Two last chapters are dedicated to numerical simulations showing the sake of the approachand the feasibility of a whole simulation of ice accretion on a heated or unheated surface.

Les progrès réalisés depuis plusieurs décennies, à la fois en termes de connaissances physiques, numériques et de puissance informatique disponible, permettent de traiter des simulations de plus en plus complexes. Les modélisations d'écoulements fluviaux et maritimes n'échappent pas à cette tendance. Ainsi, pour de très nombreuses applications de ce type, les modélisateurs doivent mettre en œuvre de véritables "systèmes de modélisation", couplant entre eux plusieurs modèles et logiciels, représentant différentes parties du système physique. La mise en place de tels systèmes permet de traiter de nombreuses études, comme par exemple les impacts de construction d'ouvrages d'art ou industriels, ou encore l'évaluation des aléas suite à un événement exceptionnel, etc.Dans le cadre de cette thèse, nous abordons cette problématique en utilisant une méthodologie de type Schwarz, empruntée à la théorie de décomposition de domaine, dont le principe est de ramener la résolution d'un problème complexe à celle de plusieurs sous-problèmes plus simples, grâce à un algorithme itératif. Ces méthodologies sont particulièrement bien adaptées au couplage de codes industriels puisqu'elles sont très peu intrusives.Cette thèse, réalisée dans le cadre d'un contrat CIFRE et grâce au financement du projet européen CRISMA, a été fortement ancrée dans un contexte industriel. Elle a été réalisée au sein d'Artelia en collaboration avec l'équipe AIRSEA du Laboratoire Jean Kuntzmann, avec pour objectif principal de transférer vers Artelia des connaissances et du savoir-faire concernant les méthodologies de couplage de modèles.Nous développons, dans le cadre de cette thèse, une méthodologie de couplage multi-modèles et de dimensions hétérogènes basée sur les méthodes de Schwarz, afin de permettre la modélisation de problématiques complexes dans des cas opérationnels (en complexifiant les problématiques étudiées au fur et à mesure de la thèse). Du point de vue industriel, les couplages mis en place sont fortement contraints par les logiciels utilisés répondant aux besoins d'Artelia (Telemac-3D, Mascaret, InterFOAM, Open-PALM).Nous étudions tout d'abord un couplage 1-D/3-D résolvant des écoulements à surface libre sous un même système de logiciel Telemac-Mascaret. L'avantage d'un tel couplage est une réduction de coût grâce à l'utilisation du modèle 1-D. Toutefois l’une des difficultés liées au changement de dimension réside dans la définition même de la notion de couplage entre des modèles de dimensions différentes. Ceci conduit à une solution couplée qui n’est pas définie d’une façon unique et qui dépend du choix des opérateurs d’interfaces.Puis nous nous intéressons au couplage monophasique/diphasique (1-D/3-D et 3-D/3-D) entre le système de logiciel Telemac-Mascaret et InterFOAM (modèle diphasique VOF), où la difficulté du choix des opérateurs d'interface lors du changement de physique (monophasique/diphasique) est aussi présente. Ce couplage a pour avantage de rendre possible la résolution d’écoulements complexes, que le système Telemac-Mascaret ne peut pas simuler (déferlement, lame d'eau, écoulement en charge, etc.) en utilisant localement InterFOAM avec son coût de calcul très important. Enfin, nous étudions l’application du couplage monophasique/diphasique sur un cas opérationnel d’étude d’ingénierie.Par ailleurs, les travaux effectués lors du projet CRISMA, pour le développement d'une application permettant de simuler les différents aspects d'une crise liée aux risques de submersions marines en Charente Maritime, coordonnés par Artelia, sont également présentés. Le projet CRISMA a pour objectif d'améliorer l'aide à la décision en se basant sur la simulation pour la gestion opérationnelle des situations de crise dans différents domaines du risque naturel et industriel (inondations, feux de forêt, pollutions accidentelles, etc.). / Progress has been performed for decades, in terms of physical knowledge, numerical techniques and computer power, that allows to address more and more complex simulations. Modelling of river and marine flows is no exception to this rule. For many applications, engineers have now to implement complex "modelling systems", coupling several models and software, representing various parts of the physical system. Such modelling systems allow addressing numerous studies, like quantifying the impacts of industrial constructions or highway structures, or evaluating the consequences of an extreme event.In the framwork of the present thesis, we address model coupling techniques using Schwarz's methodology, which is based on domain decomposition methods. The basic principle is to reduce the resolution of a complex problem into several simpler sub-problems, thanks to an iterative algorithm. These methods are particularly well suited for industrial codes, since they are very few intrusive.This thesis was realized within the framework of a CIFRE contract and thanks to the funding of the European CRISMA project and was thus greatly influenced by this industrial context. It was performed within the Artelia company, in collaboration with the AIRSEA team of the Jean Kuntzmann Laboratory, with the main objective of transferring to Artelia some knowledge and expertise regarding coupling methodologies.In this thesis, we develop a methodology for multi-model coupling with heterogeneous dimensions, based on Schwarz's methods, in order to allow modelling of complex problems in operational cases. From the industrial viewpoint, the developed coupled models must use software meeting Artelia's needs (Telemac-3D, Mascaret, InterFOAM, Open-PALM).We firstly study a testcase coupling 1-D and 3-D free surface flows, using the same software system Telemac-Mascaret. The advantage of such coupling is a reduction of the computation cost, thanks to the use of a 1-D model. However the change in the model dimension makes it difficult to define properly the notion of coupling, leading to a coupled solution which is not defined in a unique way but depends on the choice of the interface operators.Then we study a coupling case between a monophasic model and a diphasic model (1-D/3-D and 3-D/3-D), using Telemac-Mascaret and InterFOAM software systems. Once again, the main difficulty lies in the definition of interfaces operators, due to the change in the physics (monophasic / diphasic). Such a coupling makes it possible to solve complex flows that the Telemac-Mascaret system alone cannot address (breaking waves, water blade, closed-conduit flow, etc.), by locally using InterFOAM where necessary (InterFOAM is very expensive in terms of computations). Finally, we implement such a monophasic/diphasic coupling on an operational engineering study.In addition, we also present the work done during the CRISMA project. The overall objective of the CRISMA project was to develop a simulation-based decision support system for the operational crisis management in different domains of natural or industrial risks (floods, forest fires, accidental pollution, etc.). In this context, Artelia coordinated the development of an application allowing to simulate various aspects of crisis linked to flood risks in Charente-Maritime.

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