Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de l'approximation de champ-moyen des gaz de bosons. En physique quantique une telle approximation est vue comme la première approche permettant d'expliquer le comportement collectif apparaissant dans les systèmes quantiques à grand nombre de particules et illustre des phénomènes fondamentaux comme la condensation de Bose-Einstein et la superfluidité. Dans cette thèse, l'exactitude de l'approximation de champ-moyen est obtenue de manière générale comme seule conséquence de principes de symétries et de renormalisations d'échelles. Nous recouvrons l'essentiel des résultats déjà connus sur le sujet et de nouveaux sont prouvés, particulièrement pour les systèmes quantiques sur réseau, incluant le modèle de Bose-Hubbard. D'autre part, notre étude établit un lien entre les équations aux hiérarchies de Gross-Pitaevskii et de Hartree, issues des méthodes BBGKY de la physique statistique, et certaines équations de transport ou de Liouville dans des espaces de dimension infinie. Résultant de cela, les propriétés d'unicité pour de telles équations aux hiérarchies sont prouvées en toute généralité utilisant seulement les caractéristiques génériques de problèmes aux valeurs initiales liés à de telles équations. Egalement, de nouveaux résultats de caractères bien posés et un contre-exemple à l'unicité d'une hiérarchie de Gross-Pitaevskii sont prouvés. L’originalité de nos travaux réside dans l'utilisation d'équations de Liouville et de puissantes techniques de transport étendues à des espaces fonctionnels de dimension infinie et jointes aux mesures de Wigner, ainsi qu'à une approche utilisant les outils de la seconde quantification. Notre contribution peut être vue comme l'aboutissement d'idées initiées par Z. Ammari, F. Nier et Q. Liard autour de la théorie de champ-moyen. / This thesis is dedicated to the mathematical study of the mean-field approximation of Bose gases. In quantum physics such approximation is regarded as the primary approach explaining the collective behavior appearing in large quantum systems and reflecting fundamental phenomena as the Bose-Einstein condensation and superfluidity. In this thesis, the accuracy of the mean-field approximation is proved in full generality as a consequence only of scaling and symmetry principles. Essentially all the known results in the subject are recovered and new ones are proved specifically for quantum lattice systems including the Bose-Hubbard model. On the other hand, our study sets a bridge between the Gross-Pitaevskii and Hartree hierarchies related to the BBGKY method of statistical physics with certain transport or Liouville's equations in infinite dimensional spaces. As an outcome, the uniqueness property for these hierarchies is proved in full generality using only generic features of some related initial value problems. Again, several new well-posedness results as well as a counterexample to uniqueness for the Gross-Pitaevskii hierarchy equation are proved. The originality in our works lies in the use of Liouville's equations and powerful transport techniques extended to infinite dimensional functional spaces together with Wigner probability measures and a second quantization approach. Our contributions can be regarded as the culmination of the ideas initiated by Z. Ammari, F. Nier and Q. Liard in the mean-field theory.

Depuis sa première définition par Hudson et Parthasarathy en 1984, l'intégration stochastique quantique offre un outil puissant pour la description de certaines évolutions en physique quantique. De nombreuses questions restent ouvertes cependant, en particulier dans le domaine de la représentabilité intégrale des opérateurs. La définition récente par Attal d'une méthode complètement explicite de l'approximation de l'espace de Fock usuel par un analogue discret a justifié l'intérêt d'une bonne connaissance du calcul stochastique quantique à temps discret. Nous définissons rigoureusement un tel calcul stochastique et obtenons une caractérisation des opérateurs admettant des représentations intégrales ou des représentations sous la forme de noyau de Maassen-Meyer, avec des expressions explicites dans les deux cas. Ces résultats nous permettent de préciser complètement le lien entre le calcul à temps discret et le calcul à temps continu et en particulier de montrer que la formule d'Itô quantique de composition des intégrales se déduit rigoureusement de relations de commutation, par exemple des relations de commutation entre matrices de Pauli. Nous appliquons ensuite nos résultats pour obtenir une caractérisation, dans l'espace de Fock usuel, des opérateurs qui sont représentables en intégrales stochastiques quantiques parmi les classes fondamentales que sont les opérateurs de seconde quantification et de seconde quantification différentielle. Enfin, nous utilisons ces techniques pour obtenir des résultats de convergence de solutions d'équations aux différences vers des équations différentielles stochastiques quantiques. Ces résultats nous permettent de montrer qu'une évolution en mécanique quantique obtenue par des interactions répétées est déterminée, à la limite, par une équation de Langevin quantique. Cette équation de Langevin décrit un couplage entre un ``petit système'' et un ``réservoir'', ce réservoir et les coefficients de l'équation se déduisant explicitement de l'interaction que l'on répète. Ces résultats permettent en particulier d'obtenir une description rigoureuse des mesures en continu et des approximations de ``coarse graining'' en optique quantique.