Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2011. / ENGLISH ABSTRACT: An integro-differential equation describing the dynamical behaviour of phytoplankton cells is considered in which the effects of cell division and aggregation are incorporated by coupling the coagulation-fragmentation equation with growth, and the McKendrick-von Foerster renewal model of an age-structured population. Under appropriate conditions on the model parameters, the associated initial-boundary value problem is shown to be well posed in a physically relevant Banach space using the theory of strongly continuous semigroups of operators, the theory of perturbation of positive semigroups and the semilinear abstract Cauchy problems theory. In particular, we provide sufficient conditions for honesty of the model. Finally, the results on the effects of the growth-fragmentation-coagulation on the overall evolution of the phytoplankton population are summarised. / AFRIKAANSE OPSOMMING: ’n Integro-differensiaalvergelyking wat die dinamiese ontwikkeling van fitoplanktonselle beskryf, word beskou. Die uitwerking van seldeling en -aggregasie is geïnkorporeer deur die vergelyking van koagulasie en fragmentasie met groeiaan die McKendrick-von Foerster hernuwingsmodel van ’n ouderdomsgestruktureerde populasie te koppel. Die teorie van sterk kontinue semigroepe van operatore, steuringsteorie van positiewe semigroepe en die teorie van semilineêre abstrakte Cauchy probleme word aangewend om, onder gepaste voorwaardes met betrekking tot die model se parameters, te bewys dat die geassosieerde beginwaarde-probleem met randvoorwaardes ‘goed gestel’ is in ’n fisies relevante Banach-ruimte. In die besonder word voldoende voorwaardes vir eerlikheid van die model verskaf. Ten slotte word ’n opsomming van die resultate met betrekking tot die gekombineerde uitwerking van groei-fragmentasie- koagulasie op die gesamentlike ontwikkeling van die fitoplanktonpopulasie verskaf.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique mathématique des équations de Stokes et de Navier-Stokes dans un domaine borné de R^3 en utilisant la théorie des semi-groupes. Trois différents types de conditions seront considérés : des conditions aux limites de Navier, de type-Navier et des conditions qui dépendent de la pression. Ce manuscrit est composé de six chapitres. Tout d'abord nous commençons par un état de l'art sur les équations de Navier-Stokes. Ensuite nous démontrons l'analyticité du semi-groupe de Stokes avec chacune des conditions ci-dessus. Ceci permet de résoudre le problème d'évolution en utilisant la théorie des semi-groupes. Nous étudions également les puissances complexes et fractionnaires de l'opérateur de Stokes pour lesquelles nous démontrons certaines propriétés et estimations. Ces résultats seront utilisés dans la suite pour obtenir des estimations de type L^p-L^q pour le semi-groupe de Stokes, un résultat de régularité L^p-L^q maximale pour le problème de Stokes inhomogène et des résultats d'existence et d'unicité locale pour le problème non-linéaire. Après nous étudions le problème d'évolution de Stokes. Outre la régularité L^p-L^q maximale, nous démontrons l'existence des solutions faibles u∈L^q (0,T; W^(1,p) (Ω)), fortes u∈L^q (0,T; W^(2,p) (Ω)) et très faibles u∈L^q (0,T; L^p (Ω)) du problème de Stokes. On termine par l'étude du problème de Navier-Stokes avec chacune des conditions aux limites citées ci-dessus. Tout d'abord, en utilisant les estimations L^p-L^q on démontre l'existence d'une unique solution locale u qui vérifieu∈BC([0,T_0 ); L_(σ,τ)^p (Ω))∩L^q (0,T_0; L_(σ,τ)^r (Ω)), q,r>p, 2/q+3/r=3/p.De plus, pour une donnée initiale petite, on obtient l'existence globale des solutions. Ensuite en estimant le terme non-linéaire en fonction des puissances fractionnaires de l'opérateur de Stokes on démontre la régularité de la solution. / This thesis is devoted to the mathematical theoretical study of the Stokes and Navier-Stokes equations in a bounded domain of R^3 using the semi-group theory. Three different types of boundary conditions will be considered: Navier boundary conditions, Navier-type boundary conditions and boundary condition involving the pressure. This manuscript contains six chapters. We prove first the analyticity of the Stokes semi-group with each of the boundary conditions stated above. This allows us to solve the time dependent Stokes problem using the semi-group theory. We will study also the complex and fractional powers of the Stokes operator for which we prove some properties and estimations. These results will be used in the sequel to prove an estimate of type L^p-L^q for the Stokes semigroup, as well as the maximal L^p-L^q regularity for the inhomogeneous Stokes problem and an existence result for the non-linear problem. Next we study the time dependent Stokes problem, besides the maximal L^p-L^q regularity, we prove the existence of weak u∈L^q (0,T; W^(1,p) (Ω)), strong u∈L^q (0,T; W^(2,p) (Ω)) and very weak u∈L^q (0,T; L^p (Ω)) solutions to the Stokes problem. We end with the study of the Navier-Stokes problem. First using the L^p-L^q estimate for the Stokes semi-group we prove the existence of a unique local in time mild solution for the Navier-Stokes problem that verifies u∈BC([0,T_0 ); L_(σ,τ)^p (Ω))∩L^q (0,T_0; L_(σ,τ)^r (Ω)), q,r>p, 2/q+3/r=3/p.Furthermore, for some initial data the solution is global in time. Finally, by estimating the non-linear term as a function of the fractional powers of the Stokes operator we prove that the solution is regular.