Simetrias compõe parte integral da análise na Teoria das Matrizes Aleatórias (RMT). As simetrias de inversão temporal e rotacional são aspectos-chave do Ensemble Gaussiano Ortogonal (GOE), enquanto esta última é quebrada no Ensemble Gaussiano Simplético (GSE) e ambas são quebradas no Conjunto Unitário Gaussiano (GUE). Desde o final da década de 1990, o crescente interesse no campo dos sistemas quânticos PT-simétricos levou os pesquisadores a considerar o efeito, em matrizes aleatórias, dessa classe de simetrias, bem como simetrias pseudo-hermitianas. A principal questão a ser respondida pela pesquisa apresentada nesta tese é se a simetria PT ou, de forma mais geral, a pseudo-Hermiticidade implica alguma distribuição de probabilidade específica para os autovalores. Ou, em outras palavras, se há um aspecto comum transmitido por tal simetria que pode ser usada para modelar alguma classe particular de sistemas físicos. A abordagem inicial considerada consistiu na introdução de um conjunto pseudo-hermitiano, isospectral ao conjunto -Hermite, que apresentaria o tipo de quebra de realidade típico dos sistemas PT-simétricos. Nesse modelo, a primeira abordagem adotada foi a introdução de perturbações que quebraram a realidade dos espectros. Os resultados obtidos permitem concluir que a transformação em seu similar pseudo-hermitiano conduz a um sistema assintoticamente instável. Esse modelo foi extendido ao considerar um pseudo-hermitiano não positivo, que leva a uma quebra similar na realidade dos espectros. Este caso apresenta um comportamento mais próximo do típico dos sistemas PT-simétricos presentes na literatura. Um modelo denso geral baseado em projetores foi proposto, e duas realizações particulares deste modelo receberam atenção mais detalhada. O comportamento espectral também foi similar àquele típico da simetria PT para as duas realizações consideradas, e seus limites assintóticos foram conectados a conjuntos clássicos de teoria de matriz aleatória. Além disso, as propriedades de seus polinômios característicos médios foram obtidas e os limites assintóticos desses polinômios também foram considerados e relacionados a polinômios clássicos. O comportamento estatístico deste conjunto foi estudado e comparado com o destes polinômios. Impor a pseudo-Hermiticidade não parece implicar qualquer distribuição particular de autovalores, sendo a característica comum a quebra da realidade dos autovalores comumente encontrados na literatura de simetria PT. O resultado mais notável dos estudos apresentados nesta tese é o fato de que uma interação pseudo-hermitiana pode ser construída de tal forma que o comportamento espectral médio possa ser controlado calibrando-se o mecanismo de interação, bem como sua intensidade. / The role of symmetries is an integral part of the analysis in Random Matrix Theory (RMT). Time reversal and rotational symmetries are key aspects of the Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE), whereas the latter is broken in the Gaussian Sympletic Ensemble (GSE) and both are broken in the Gaussian Unitary Ensemble (GUE). Since the late 1990s, growing interest in the field of PT symmetric quantum systems has led researchers to consider the effect, in random matrices, of this class of symmetries, as well as that of pseudo-Hermitian symmetries. The primary question to be answered by the research presented in this thesis is whether PT-symmetry or, more generally, pseudo-Hermiticity implies some specific probability distribution for the eigenvalues. Or, in other words, whether there is a common aspect imparted by such a symmetry which may be used to model some particular class of physical systems. The initial approach considered consisted of introducing an pseudo-Hermitian ensemble, isospectral to the -Hermite ensemble, which would present the type of reality-breaking typical of PT-symmetrical systems. In this model, the first approach taken was to introduce perturbation which broke the reality of the spectra. The results obtained allow the conclusion that the transformation into its pseudo-Hermitian similar leads into a system which is asymptotically unstable. An extension of this model was to consider a non-positive pseudo-Hermitian , which lead to similar breaking in the reality of the spectra. This case displays behavior closer to that typical of the PT-symmetric systems present in the literature. A general dense projector model was proposed, and two particular realizations of this model were given more detailed attention. The spectral behavior was also similar to that typical of PT-symmetry for the two realizations considered, and their asymptotic limits were shown to connect to classical ensembles of random matrix theory. Furthermore, the properties of their average characteristic polynomials were obtained and the asymptotic limits of these polynomials were also considered and were related to classical polynomials. The statistical behavior of this ensemble was studied and compared to that of these polynomials. Imposing the pseudo-Hermitian does seem not imply any particular eigenvalue distribution, the common feature being the breaking of the reality of the eigenvalues commonly found in PT-symmetry literature. The most notable result of the studies presented herein is the fact that a pseudo-Hermitian interaction may be constructed such that the average spectral behavior may be controlled by calibrating the mechanism of interaction as well as its intensity.

The spatial evolution of a pair of resonant Bragg modes through a medium characterized by a complex one-dimensional PT -symmetric periodic relative electric permittivity is thoroughly investigated. By using the two wave model, analytic solutions of Maxwell’s equations are derived in the nonparaxial regime in order to investigate the periodic energy exchange between the Bragg modes for the Hermitian optical lattices as well as for complex lattices and also to investigate the spatial evolution of the real part of the electric field that propagates through this medium. Three regimes defined by the symmetry breaking point are discussed: below it, above it and at it. These regimes are determined by the existence of four complex eigenvalues below the symmetry breaking point, which collide and coalesce into a pair of complex doubly degenerate eigenvalues at the breaking point. Above the critical value each member of the pair bifurcates into a pair of complex values and now they have a nonzero real part. In the Hermitian case, it is demonstrated that a complete reciprocal energy transfer between the pair of Bragg modes, in a manner similiar to the Pendellösung effect known from X-ray diffraction by a crystal, takes place. When the optical lattice is complex, the dynamics of the energy transfer is completely different from the Hermitian case: below the symmetry breaking point there exist a very nonreciprocal beating-like oscillatory behavior of the energy transfer between the Bragg modes; above the symmetry breaking point the spatial evolution of the energy transfer grows unlimited but an oscillatory evolution still takes place; and at the symmetry breaking point the phenomenon of mode trapping does not occur in this nonparaxial regime (previously seen in PT -symmetric optical lattices in the paraxial regime). For the complex lattice, all these regimes share the common features: existence of a preferable mode for which the energy is transferred and a spatial evolution of this transfer in a nonreciprocal fashion, some of the characteristics very well known of PT -symmetric optical systems. / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A evolução espacial de um par de modos de Bragg ressonantes através de um meio descrito por uma permissividade elétrica relativa PT -simétrica é completamente investigada. Usando o modelo de duas ondas, soluções analíticas para as equações de Maxwell são derivadas no regime não-paraxial a fim de investigar a transferência de energia entre esses modos de Bragg para uma rede ótica Hermitiana bem como para uma rede ótica complexa e também estudar a evolução espacial da parte real do campo elétrico que se propaga através desse meio. Três regimes definidos pela quebra de simetria são discutidos: abaixo, acima e no ponto de quebra de simetria. Estes regimes são determinados pela existência de quatro autovalores complexos distintos abaixo da quebra de simetria, que colidem e coalescem num par de autovalores valores complexos duplamente degenerados no ponto de quebra de simetria. Acima do ponto de quebra, quatro autovalores complexos distintos voltam a existir e agora cada um possui uma parte real não-nula. No caso Hermitiano, é demonstrado que uma transferência de energia completamente recíproca entre o par de modos de Bragg, numa maneira similiar ao efeito Pendellösung conhecido da difração de raios X por cristais, ocorre. Quando a rede ótica é complexa, a dinâmica da transferência de energia é completamente diferente do caso Hermitiano: abaixo do ponto de quebra de simetria existe um comportamento oscilatório do tipo batimento muito não-recíproco para a transferência de energia entre os modos de Bragg; acima do ponto de quebra de simetria a evolução espacial da transferência de energia cresce ilimitadamente mas um evolução oscilatória ainda ocorre; no ponto de quebra o fenômeno do aprisionamento de modo não ocorre nesse regime não-paraxial (anteriormente visto em redes óticas PT -simétricas no regime paraxial). Para a rede ótica complexa, todos estes regimes compartilham características em comum: existência de um modo preferencial para o qual a energia é transferida e uma evolução espacial dessa transferência de maneira não-recíproca, algumas das características muito bem conhecidas de sistemas óticos PT simétricos.

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2016-05-02T10:49:21Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1791577 bytes, checksum: ecd7a6eb8a18230d0145c24932d9e248 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-02T10:49:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1791577 bytes, checksum: ecd7a6eb8a18230d0145c24932d9e248 (MD5) Previous issue date: 2015-08-03 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / The Hanbury Brown-Twiss experiment is very well established in quantum optics literature, so we devoted this dissertation in order to embed the parity and temporal reversal symmetry in the former experiment. Therefore, we developed the scattering matrix formalism which allow us use some techniques such as the scattering matrices' concatenation of di erent sections in terms of one matrix and the scattering problem of a parity and temporal reverse symmetric system. In this manner, we could derive the scattering matrix of a parity and temporal reverse symmetric Hanbury Brown- Twiss experiment(HBT-PT). With the possession of this matrix, we proposed a theoretical model which provides how to measure the symmetry of this system, which we called correlation functions formalism. In order to stablish the former formalism, we studied B uttiker formalism, which we veri ed how the correlation between 2 incident particles in a system relates to the noise due transport of this particles and what kind of noise we are treating in a given regime which the system is operating. Then, we found the input states in terms of the output states of two particles inciding in a multiterminal system, which we used it's scattering matrix to stablish the relation between the states. Thereat, we derived all the possibles correlations(therefore, the noise) of two incident particles in the former system. Thereby, we analysed the extreme cases of a barrier coupled to the HBT-PT experiment for the purpose of stablish which regime the experiment is symmetric adjusted, so, demonstrating the Hanbury Brown-Twiss E ect with parity and temporal reverse symmetries. / Sendo o experimento Hanbury Brown-Twiss bem estabelecido na literatura da otica quântica, dedicamos esta dissertação a embutir no mesmo experimento a questão da simetria por paridade e reversão temporal. Para tanto, abrimos mão do formalismo da matriz de espalhamento que permitiu nos utilizar tecnicas como a concatenação de matrizes de espalhamento de sec ções diferentes em termos de apenas uma matriz e o problema do espalhamento em um sistema simétrico por paridade e reversão temporal. Dessa forma, pudemos derivar a matriz de espalhamento para o experimento Hanbury Brown-Twiss com simetria de paridade e revers~ao temporal(HBT-PT). De posse dessa matriz, propusemos um modelo teórico que propicia a medição experimental a simetria desse sistema, o qual chamamos de formalismo das fun c~oes de correla c~ao. Para estabelecermos o formalismo supracitado, estudamos o formalismo de Buttiker, onde veri case como a correlaçãao entre 2 partículas incidentes em um sistema relaciona-se com o ru do devido ao transporte dessas part culas e que tipo de ru do estamos tratando, dado o regime em que o sistema está operando. Em seguida, encontramos os estados de entrada em termos dos estados de saída de 2 partículas incidindo em um sistema multiterminal, onde utilizamos a sua matriz de espalhamento para estabelecer a rela c~ao entre os estados. Com isso, derivamos todas as possíveis correlações (e, por conseguinte, o ruído) de 2 partículas incidentes nesse sistema. Assim, analisamos os casos extremos de uma barreira acoplada ao experimento HBT-PT, a m de estabelecer o regime em que o experimento está simetricamente ajustado e demonstramos o Efeito Hanbury Brown-Twiss por paridade e reversão temporal.