The function $sin x$ as one of the six trigonometric functions is fundamental in nearly every branch of mathematics, and its applications. In this thesis, we study an integral equation related to that of $sin x$: $mbox{~for~}xin[-frac{hat{pi}_{p}}{2},~frac{hat{pi}_{p}}{2}] mbox{~and~} p>1$ $$x=int_0^{S_{p}(x)}(1-|t|^{p})^{-frac{1}{p}}dt.$$ Here $hat{pi}_{p}=frac{2pi}{psin(frac{pi}{p})}=2int_0^1(1-t^{p})^{-frac{1}{p}}dt.$ We find that the function $S_{p}(x)$ is well defined. Its properties are also similar to those of $sin x$ : differentiation, identities, periodicity, asymptotic expansions, $cdots$, etc. For example, we have $$|S_{p}(x)|^{p}+|S'_{p}(x)|^{p}=1mbox{~~and~~}frac{d}{dx}(|S'_{p}(x)|^{p-2}S'_{p}(x))=-(p-1)|S_{p}(x)|^{p-2}S_{p}(x).$$ We call $S_{p}(x)$ the generalized sine function. Similarly, we define the generalized cosine function $C_{p}(x)$ by $|x|=int_{C_{p}(x)}^{1}(1- t^{p})^{-frac{1}{p}}dt$ for $xin[-frac{hat{pi}_{p}}{2}$,~$frac{hat{pi}_{p}}{2}]$ and derive its properties. Thus we obtain two sets of trigonometric functions: egin{itemize} item[(i)]$~S_{p}(x),~ S'_{p}(x),~ T_{p}(x)=frac{S_{p}(x)}{S'_{p}(x)},~RT_{p}(x)=frac{S'_{p}(x)}{S_{p}(x)},~ SE_{p}(x)=frac{1}{S'_{p}(x)},~ RS_{p}(x)=frac{1}{S_{p}(x)}~;$ item[(ii)]$~C_{p}(x),~ C'_{p}(x),~RCT_{p}(x)=-frac{C'_{p}(x)}{C_{p}(x)},~ CT_{p}(x)=-frac{C_{p}(x)}{C'_{p}(x)},~RC_{p}(x)=frac{1}{C_{p}(x)},~ CS_{p}(x)=-frac{1}{C'_{p}(x)}mbox{~¡C~}$ end{itemize}These two sets of functions have similar differentiation formulas, identities and periodic properties as the classical trigonometric functions. They coincide when $p=2$. Their graphs and asymptotic expansions are also interesting. Through this study, we understand more about the theoretical framework of trigonometric functions.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ricardo Ferreira dos Santos.pdf: 3136122 bytes, checksum: e26236b0fe2ca0324d70372150107eea (MD5) Previous issue date: 2014-11-13 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This research forms part of the studies for the use of Mathematical Modeling as a teaching strategy. In her a modeling activity for teaching the sine function is presented. The research had two main objectives: to analyze the effects of mathematical modeling in high school in order to achieve meaningful learning; and evaluate a proposed approach for modeling, through stages and phases. In this second case it was intended to verify that the protoganismo teacher in presenting the phenomenon preserves the desired features of modeling, increase students' interest in mathematics and motivates you to construct new knowledge. The subjects were fifteen students of the second year of high school to a public school in Sao Paulo, with voluntary participation. This is a qualitative research, developed through participant observation. The model used is shown in Curriculum Proposal of the State of São Paulo. The research is guided by conceptions of modeling Beltrão (2009), Bassanezi (2006) and Ausubel learning theory. The activities were developed using as anchor metric relations in right triangle, the coordinates of points on the Cartesian plane and the study of angles in the trigonometric circle. As a result it can be concluded that modeling can be used in basic education such as teaching methodology, brings results for student participation in the construction of their knowledge, but it is not an easy task because it requires changes in teacher pedagogical practice and student to have to take a participatory attitude. The approach of steps and phases was facilitator / Esta pesquisa se insere nos estudos de utilização da Modelagem Matemática como estratégia de ensino. Nela é apresentada uma atividade de modelagem para o ensino da função seno. A pesquisa teve dois objetivos principais: analisar os efeitos de uma modelagem matemática no Ensino Médio com vistas à alcançar uma aprendizagem significativa; e avaliar uma proposta de abordagem para a modelagem, por meio de etapas e fases. Nesse segundo caso pretendeu-se verificar se o protoganismo do professor na apresentação do fenômeno preserva as desejadas características da modelagem, ampliar o interesse dos alunos pela Matemática e motivá-los para a construção de um conhecimento novo. Os sujeitos da pesquisa foram quinze alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo, com participação voluntária. A pesquisa é de natureza qualitativa, desenvolvida por meio da observação participante. O modelo utilizado é o apresentado na Proposta Curricular do Estado de São Paulo. A pesquisa norteia-se nas concepções de modelagem de Beltrão (2009), Bassanezi (2006) e na teoria de aprendizagem de Ausubel. As atividades foram desenvolvidas utilizando como âncora as relações métricas no triângulo retângulo, as coordenadas de pontos no plano cartesiano e o estudo de ângulos na circunferência trigonométrica. Como resultado pode-se concluir que a modelagem pode ser utilizada na Educação Básica como metodologia de ensino, traz resultados para a participação dos alunos na construção de seus conhecimentos, porém não é tarefa fácil, pois exige do professor mudanças em sua prática pedagógica e do aluno por ter que assumir uma atitude participativa. A abordagem de etapas e fases foi facilitadora

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Claudia Pereira dos Santos.pdf: 3633908 bytes, checksum: 53c49eccd89089c7294f74324e759e64 (MD5) Previous issue date: 2013-10-18 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The objective of this research is to contribute with the study of sine function by situations that involve the use of computer in a connection between Mathematics and Physics. This dissertation directs to investigate how a pedagogical strategy presented by a sequences of activities using the software Winplot, may promote the learning of sine function for the students in high school (second year in Brazil). Furthermore, it is a way to verify if there is a possibility to contribute in the comprehension of a physical-mathematical context. The Theory of the Didactical Situations developed by Guy Brousseau (1986) as well as the Theory of Semiotic Registries developed by Raymond Duval (2003) supported this research. The Didactical Engineering by Michèlle Artigue (1988) was the methodology research used. The students were proposed five sequences of activities. The one called Part I investigates the previous knowledge the students had in relation to the polynomial functions among them the ones with degrees one and two, constant and sine. In the activity called Part II, students used the software Winplot to build the graphs and analyze the changings promoted by the coefficients and the independent term for the function of degree two. In the activities called Part III and Part IV, the students analyzed the characteristics of sine function like amplitude, domain, range and period. For doing that, they built the graphs using the software Winplot. In the last activity called Part V, the students we supposed to observe the connection between Physics and Mathematics. This connection have been showed by a sequence of activities taken down from a material called Student Notebooks of Physics that brings the study of sound waves being associated with the sine function. Some difficulties of the students in the conversion from the algebraic register to the natural language register and vice versa even as the conversion from the graph register to the algebraic register and vice versa were observed. As a result, it was possible to notice that the proposed sequence of activities with the use of software Winplot can contribute to the comprehension of the students if the subject has a connection with another one. In the case of this sequence, this connection happens between wave sounds (Physics) and sine function (Mathematics) / Esta pesquisa visa contribuir para o estudo da função seno em situações que envolvam o uso do computador em atividades voltadas à Matemática e à Física. O objetivo da dissertação é investigar de que modo uma estratégia pedagógica apresentada na forma de sequências de atividades, com o uso do software Winplot, pode promover a aprendizagem da função seno para o aluno da 2ª série do ensino médio e ainda se pode contribuir na compreensão em um contexto físico-matemático. A pesquisa está apoiada na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986), na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (2003) e como metodologia a Engenharia Didática de Michèle Artigue (1988). Foram aplicadas cinco sequências de atividades, sendo que a atividade parte I investiga os conhecimentos prévios dos alunos com relação à identificação das funções polinomial do 1º grau, polinomial do 2º grau, constante e seno. Na atividade parte II os alunos utilizam o software Winplot para a construção e análise da função polinomial do 2º grau, assim como, as alterações nos coeficientes e no termo independente. As atividades parte III e IV abordaram a função seno e suas características como amplitude, domínio, imagem, período e os alunos utilizaram o software Winplot para a construção dos gráficos. Por fim na atividade parte V buscou-se a integração com a disciplina de Física e utilizou-se uma sequência do Caderno do Aluno de Física que aborda o estudo de ondas sonoras, por meio desta, propôs-se integrar com a função seno. As dificuldades dos alunos nas conversões do registro algébrico para o registro na língua natural e vice-versa, do registro gráfico para o registro algébrico e vice-versa foram constatadas. E nas análises, indicadas as competências e habilidades presentes nas sequências de atividades, assim como, aquelas que precisam ser mais trabalhadas com os estudantes conforme o PCNEM (1999). Os resultados indicam que as sequências de atividades com uso do software Winplot contribui para a compreensão dos alunos e facilita no aprendizado do estudante, se o conteúdo abordado estiver integrado a outro, no caso, ondas sonoras (Física) e função seno (Matemática)

Submitted by Jorge Silva (jorgelmsilva@ufrrj.br) on 2017-07-28T18:12:15Z No. of bitstreams: 1 2016 - Alecsandro Baltasar Corr?a.pdf: 5030335 bytes, checksum: edc60787122417906b1cdb9b0c067e64 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-28T18:12:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016 - Alecsandro Baltasar Corr?a.pdf: 5030335 bytes, checksum: edc60787122417906b1cdb9b0c067e64 (MD5) Previous issue date: 2016-08-30 / CAPES / The teaching of mathematics, applied in schools, should approach the daily student routine, seek prior knowledge of it on specific issues, as well as develop new methods for learning is actually performed. The survey was conducted with a group of third year of high school in a private school in the city of Rio de Janeiro. Based on the concepts of mathematical modeling, Meaningful Learning and Theory of Multiple Intelligences, and having as a methodological resource educational software GEOGEBRA and two downloaded adapted software PLAY STORE application, seek the objective of this work is to develop a proposed activity that relates the concept of wave sound, physics, with function graph of the sine, mathematics. / O ensino da Matem?tica, aplicado nas escolas, deve aproximar-se do cotidiano di?rio do aluno, buscar o conhecimento pr?vio dele sobre determinados assuntos, assim como desenvolver novos m?todos para que a aprendizagem seja realmente realizada. A pesquisa foi realizada com uma turma do terceiro ano do Ensino M?dio de uma escola particular do munic?pio do Rio de Janeiro. Baseado nos conceitos de Modelagem Matem?tica, Aprendizagem Significativa e Teoria das M?ltiplas Intelig?ncias, e tendo como recurso metodol?gico o software educacional GEOGEBRA e dois softwares adaptados baixados do aplicativo PLAY STORE, buscamos como objetivo deste trabalho desenvolver uma proposta de atividade que relaciona o conceito de onda sonora, da F?sica, com os de gr?fico da fun??o seno, da Matem?tica.