Cuando queremos estudiar la dinámica de un sistema, por ejemplo una galaxia o un sistema planetario, es importante primero conocer en qué regiones del sistema una órbita tiene un comportamiento regular y en cuáles un comportamiento caótico. Las herramientas que utilizaremos para abordar esta cuestión son los llamados indicadores de caos. Existen en la literatura una gran cantidad de estos indicadores, de los cuales en este trabajo utilizaremos aquéllos basados en la evolución de la solución de las ecuaciones variacionales. Algunos ejemplos de este tipo de indicadores son el Máximo Exponente de Lyapunov (lLCE), el Indicador Rápido de Lyapunov (FLI) y su variante que considera solo la componente ortogonal (OFLI), el Factor de Crecimiento Exponencial Medio de Órbitas Cercanas (MEGNO), el Índice Menor de Alineamiento (SALI), entre otros. En el Capítulo 2 revisaremos las principales características de una variedad de este tipo de indicadores. Luego, en el Capítulo 3 presentaremos un código, escrito en FORTRAN, que integra de una forma eficiente todos los indicadores descriptos en el Capítulo 2. Hemos desarrollado dos versiones de este programa, una para mapas simplécticos y otra para flujos hamiltonianos. La primera será empleada en la segunda parte de este trabajo, y ambas versiones fueron utilizadas en la tesis doctoral del Dr. Nicolás Maffione. La segunda parte de este trabajo está dedicada al estudio, dentro de la región caótica, de la difusión, esto es, determinar si existe una variación secular de las integrales no perturbadas del sistema. Para valores perturbativos muy pequeños se encontraron escenarios en los que la difusión no era detectable a causa de las oscilaciones introducidas por los efectos de deformación del conjunto de variables utilizadas, por lo que recurrimos al uso de las formas normales. Dado que no existía hasta el momento una implementación de esta técnica para el caso de mapas, en este trabajo se creó, por primera vez en la literatura, dicha implementación. Esta herramienta es una sucesión de transformaciones canónicas que permite describir, de una forma más clara, la dinámica del sistema, eliminando justamente los efectos de deformación. En el Capítulo 4 presentaremos, de una manera detallada, el mecanismo para la construcción de las formas normales para un mapa simpléctico 4D cuasi-torsional general. En el Capítulo 5 mostraremos cómo aplicar dicho mecanismo a dos mapas estándar acoplados. Dado que las formas normales se construyen mediante series de Fourier, presentaremos los resultados de la medición de los tiempos de CPU empleados para distintos órdenes de este desarrollo. También presentaremos una estimación empírica del orden óptimo para el cual construir la forma normal, para dos escenarios distintos. Finalmente, en el Capítulo 6 llevaremos a cabo el estudio de la difusión, que es el objetivo central de este trabajo. Este estudio lo realizaremos a través de la medición de la desviación cuadrática media de la acción en la dirección de la resonancia con respecto a su valor inicial. Estudiaremos un ensamble de 103 partículas considerando varios escenarios distintos mediante la variación del parámetro de acoplamiento del mapa.

Submitted by Santos Davilene (davilenes@ufba.br) on 2017-06-01T20:01:50Z No. of bitstreams: 1 Tese - Wescley.pdf: 2339393 bytes, checksum: 22bfa3dae7b30d963d35d1f54414a3df (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-07T11:19:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Tese - Wescley.pdf: 2339393 bytes, checksum: 22bfa3dae7b30d963d35d1f54414a3df (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-07T11:19:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese - Wescley.pdf: 2339393 bytes, checksum: 22bfa3dae7b30d963d35d1f54414a3df (MD5) / O conteúdo desta Tese está relacionado a versão da conjectura de Smale sobre a trivialidade do centralizador para certas classes de fluxos e ações de Rn. A conjectura de Smale estabelece que a maioria dos sistemas dinâmicos tem centralizador trivial, significando que toda a dinâmica que comuta com a original é um reescalonamento temporal da mesma. Neste trabalho, mostramos a trivialidade do centralizador para as seguintes classes de sistemas dinâmicos: (i) conjunto aberto de campos de classe C1 com singularidades hiperbólicas não-ressonantes e que satisfazem a Komuro-expansividade, os quais contém o atrator de Lorenz clássico como caso particular; (ii) conjunto Baire residual de campos conservativos de classe C1; (iii) conjunto Baire residual de campos hamiltonianos de classe C1. Além disso, provamos que o conjunto das ações de Rd localmente livres, expansivas e de classe C1 têm centralizador quase-trivial. Em particular, obtivemos os seguintes: (i) Rd-ações Anosov transitivas em variedades compactas têm centralizador quase-trivial; (ii) caracterização de sub-ações expansivas de ações de Rd.

Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rafael Marques.pdf: 14630401 bytes, checksum: 352c48d8c01e0db8ba6b41f5e8317ec8 (MD5) Previous issue date: 2015-03-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The main subject developed in this dissertation is the characterization of the dynamics of high-dimensional conservative systems using different statistical approaches. Looking at the conservative system phase-space, we can find chaotic and regular regions that are characterized by a random distribution of points and periodic structures formed by closed orbits, respectively. The nonlinearity parameter has a fundamental hole to the occurrence of chaotic trajectories that can get stuck for a finite time on the vicinity of regular regions. This phenomenon is known as stickiness effect and can be identified using different tools as the spectrum of finite time Lyapunov exponents or the recurrence time statistics (RTS), e.g. Throughout this dissertation, we propose to characterize this effect using such approaches and also apply a new methodology which uses the time series of the spectrum of finite time Lyapunov exponents to separate the dynamics in different regimes of motion. For this purpose, we study two conservative systems that are derived from standard map, a symplectic map extensively used to investigate the transition from regular to chaotic dynamic. The first system consists in a chain of coupled standard maps that originates a 2N-dimensional system, where N is the number of coupled maps. Using this system, from the definition of regimes of motion, we obtained the cumulative distribution of the consecutive time that the trajectory spends in a particular regime, which reproduces with a good precision the results obtained when using the RTS. The second system studied was the Modified Standard Map, which is obtained adding an action variable to the standard map. The coupling with an extra dimension allows the penetration of the regular structures by the trajectories, what was forbidden for the two-dimensional case. The application of the method of separation of regimes in this system enables a more detailed analysis of the stickiness effect, showing that only the trajectories located near the regular structures have Local Lyapunov exponents about zero. Thus, the development of this research contributes to a better understanding of the stickiness effect in high-dimensional conservative systems. / O tema principal desenvolvido nesta dissertação de Mestrado está relacionado com o estudo da dinâmica de sistemas conservativos, utilizando diferentes abordagens estatísticas. Ao analisarmos o espaço de fases de um sistema dinâmico pertencente a esta classe, podemos encontrar regiões caóticas e regulares que são caracterizadas pela distribuição aleatória de pontos e por estruturas periódicas formadas por órbitas fechadas, respectivamente. O parâmetro de não-linearidade tem um papel fundamental na existência de trajetórias caóticas que podem ser aprisionadas por um tempo finito nas proximidades das regiões regulares. Este fenômeno é conhecido como efeito stickiness, e pode ser identificado através da utilização de diferentes abordagens como, por exemplo, o espectro de Lyapunov calculado a tempo finito ou a estatística dos tempos de recorrência de Poincaré (ETR). No decorrer desta dissertação, propomos caracterizar o efeito stickiness utilizando tais abordagens, além de aplicar uma nova metodologia que consiste em analisar séries temporais do espectro de expoentes de Lyapunov afim de definir diferentes regimes de movimento. Para isso, estudamos dois sistemas conservativos multidimensionais derivados do mapa padrão, um mapa simplético muito utilizado para a investigação da transição da dinâmica regular para caótica. O primeiro deles consiste em uma rede de mapas padrão acoplados que dá origem a um sistema de 2N-dimensões, sendo N o número de mapas acoplados. Utilizando este sistema, a partir da definição de regimes de movimento, foi possível determinar a distribuição cumulativa do tempo consecutivo que a trajetória permanece em um determinado regime, sendo que os resultados obtidos por meio da análise desta quantidade podem reproduzir de forma satisfatória aqueles obtidos quando utilizamos a ETR. O segundo sistema estudado foi o Mapa Padrão Modificado (MPM), resultante do acoplamento entre uma variável ação extra e o mapa padrão tradicional. O acoplamento com uma dimensão extra permite que trajetórias penetrem nas regiões de regularidade, o que antes era proibido para o caso bidimensional. A aplicação da técnica de separação de regimes neste sistema permite uma análise mais detalhada do efeito stickiness, mostrando que apenas trajetórias que se encontram em torno das estruturas de regularidade possuem expoentes de Lyapunov Locais com valores próximos a zero. Desta forma, o desenvolvimento desta pesquisa contribui para o melhor entendimento do efeito stickiness em sistemas conservativos de alta dimensionalidade.