Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:08Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2005-09-05Bitstream added on 2014-06-13T20:16:05Z : No. of bitstreams: 1 nascimento_rp_me_sjrp.pdf: 368298 bytes, checksum: d1ffd79129c70e6a0b4236136ff5e58e (MD5) / Neste trabalho é feito um estudo aprofundado da estabilidade de sistemas alternantes, principalmente via teoria de Lie. Inicialmente são apresentados os principais conceitos básicos da álgebra de Lie, necessários para o estudo dos critérios de estabilidade dos sistemas alternantes. Depois são discutidos critérios de estabilidade para sistemas alternantes. É feita a exposição da demonstração de que para todo sistema linear da forma ? x = Apx p = 1, 2,...,N, com as matrizes Ap assintóticamente estáveis e comutativas duas a duas, existe uma função de Lyapunov quadrática comum. Uma condição suficiente para estabilidade assintótica de um sistema linear alternante é apresentada em termos da álgebra de Lie gerada por uma família infinita de matrizes. A saber, se esta álgebra de Lie é solúvel, então o sistema alternante é estável para uma mudança arbitrária de sinal. Em seguida são estudadas condições mais fracas. Supondo que a álgebra de Lie não é solúvel, mas é decomponível na soma de um ideal solúvel e uma subálgebra com grupo de Lie compacto, então o sistema alternante é globalmente exponencialmente uniformemente estável. Entretanto, se o grupo de Lie não for compacto, verifica-se que é possível gerar uma família finita de matrizes estáveis tais que o correspondente sistema linear alternante não é estável. Finalmente, os resultados correspondentes de estabilidade local para sistemas alternantes não lineares são apresentados. / In this work it is undertaken a deep study of stability for switched systems, mainly via Lie algebraic Theory. At first, the basic concepts and results from Lie algebra necessary for the study of stability of switched systems are presented. Criteria for stability are discussed. It is also done an exposition of the proof that all linear systems ? x = Apx, p = 1, 2, ...,N, with stable and pairwisely commutative matrices Ap, have common quadratic Lyapounov functions. A sufficient condition for asymptotic stability of switched linear systems is presented in term of the Lie algebra generated by a family infinite matrices. That is, if this Lie algebra is solvable, then the switched systems are stable for an arbitrary change of sinal. Next weaker conditions are studied. If the Lie algebra is decomposable into two subalgebras in which one is a solvable ideal and the other has a compact Lie group, then the switched systems are globally exponentially uniformly stable. However, if the Lie group is not compact, it is also possible to generate a finite family of stable matrices such that the corresponding switched linear systems are not stable. Finally, corresponding local stability results are presented for nonlinear systems.

[pt] Em meados do século XIX, G. Boole mostrou que a transformação x -> x − 1/x, definida em R − {0}, preserva a medida de Lebesgue (Ble). Mais de um século depois, R. Adler e B.Weiss mostraram que essa aplicação, chamada de transformação de Boole, é, de fato, ergódica com respeito à medida de Lebesgue (Adl). Nesse trabalho, apresentaremos o conceito de sistemas alternantes, definido recentemente por S. Muñoz (Mun), que consiste numa grande classe de aplicações na reta que generaliza a transformação de Boole e que torna possível uma análise abrangente de propriedades como transitividade robusta e ergodicidade. Para mostrar que, sob certas condições, sistemas alternantes são ergódicos com relação à medida de Lebesgue, mostraremos, usando o Teorema do Folclore, que a transformação induzida do sistema alternante é ergódica. / [en] In the middle of the 19th century, G. Boole proved that the transformation x -> x − 1/x, defined on R − {0}, is a Lebesgue measure preserving transformation (Ble). Over one hundred years later, R. Adler and B.Weiss proved that this map, called Boole`s map, is, in fact, ergodic with respect to the Lebesgue measure (Adl). In this work, we present the notion of alternating systems, recently introduced by S. Mu`noz (Mun), which is a large class of functions on the real line that generalizes the Boole`s map and allows us to make a wide analysis on certain properties such as robust transitivity and ergodicity. In order to show that, under certain conditions, alternating systems are ergodic with respect to the Lebesgue measure, we show, using the Folklore Theorem, that the induced transformation of an alternating system is ergodic.