Resumen La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales figura entre los problemas más importantes, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, de las matemáticas aplicadas, así como también de muchas ramas de las ciencias, la ingeniería, la física, la informática, la astronomía, las finanzas,.... Un vistazo a la bibliografía y la lista de grandes matemáticos que han trabajado en este tema pone de manifiesto un alto nivel de interés contemporáneo en el mismo. Aunque el rápido desarrollo de las computadoras digitales llevó a la aplicación efectiva de muchos métodos numéricos, en la realización práctica, es necesario analizar diferentes problemas tales como la eficiencia computacional basado en el tiempo usado por el procesador, el diseño de métodos iterativos que posean una rápida convergencia a la solución deseada, el control de errores de redondeo, la información sobre las cotas de error de la solución aproximada obtenida, las condiciones iniciales que garanticen una convergencia segura, etc. Dichos problemas constituyen el punto de partida de este trabajo. El objetivo general de esta memoria es diseñar métodos iterativos eficientes para resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones no lineales. El esquema más conocido para resolver ecuaciones no lineales es el método de Newton, su generalización a sistemas de ecuaciones fue propuesta por Ostrowski.. En los últimos años, como muestra la amplia bibliografía, ha aumentado de manera considerable la construcción de métodos iterativos, tanto de un paso como multipaso, con el fin de conseguir una convergencia de orden óptimo así como una mejor eficiencia computacional. En general, en esta memoria hemos utilizado la técnica de funciones peso para diseñar métodos de resolución de ecuaciones y sistemas, tanto libres de derivadas como apareciendo éstas en su expresión iterativa. En el Capítulo 2 introducimos los conceptos previos que sustentan el desarrollo de los distintos temas. Entre ellos, cabe destacar los relacionados con los métodos iterativos de resolución de problemas no lineales, en una y varias variables; el concepto de método óptimo (basado en la conjetura de Kung y Traub); las técnicas de demostración empleadas para probar el orden de convergencia local, así como también el operador diferencias divididas [x,y;F], y los conceptos básicos de la dinámica compleja de funciones racionales que utilizaremos para analizar el comportamiento dinámico del operador asociado a cualquier método iterativo. En los Capítulos 3 y 4 hemos desarrollado métodos iterativos óptimos de órdenes 4 y 8, con y sin derivadas, para la resolución de ecuaciones no lineales. En ambos capítulos comenzamos refiriéndonos al estado del arte, para mostrar a continuación los nuevos métodos diseñados, que incluyen familias conocidas pero también nuevos esquemas iterativos, posteriormente continuamos con el análisis de la convergencia de dichas clases de métodos, estableciendo algunos casos particulares, que son analizados en detalle y finalizamos con las pruebas numéricas relacionadas con los esquemas iterativos propuestos. Específicamente, en el Capítulo 3, se presentan los resultados obtenidos al modificar el método clásico de Gauss para la determinación de órbitas preliminares, de manera que incluya en su proceso esquemas iterativos de alto orden de convergencia. Por su parte, en el Capítulo 4 se muestran las propiedades dinámicas de algunos de los esquemas iterativos diseñados de orden 8, así como sus propiedades de estabilidad que son verificadas sobre diferentes funciones test. En el Capítulo 5, presentamos métodos iterativos óptimos de alto orden, con operador derivada, para resolver ecuaciones no lineales. Tras el diseño de estos métodos y el análisis de su convergencia, se transforma dicha clase de esquemas iterativos en otra libre de derivadas, manteniendo su optimalidad. Finalmente, se muestran los resultados de algunas pruebas numéricas, que incluyen la determinación de órbitas preliminares de satélites. El comportamiento dinámico del operador asociado a un método iterativo al ser aplicado sobre la función no lineal a resolver nos proporciona importante información acerca de la estabilidad y fiabilidad de éste. El análisis dinámico de un método iterativo se centra en el estudio del comportamiento asintótico de los puntos fijos (raíces, o no, de la ecuación) del operador, así como en las cuencas de atracción asociadas a los mismos. En el caso de familias paramétricas de métodos iterativos, el análisis de los puntos críticos libres nos permite seleccionar los miembros más estables de dichas familias. El análisis de la dinámica compleja de los métodos diseñados para ecuaciones no lineales se lleva a cabo en el Capítulo 6, donde nos centramos en una de las familias de métodos óptimos presentada en capítulos anteriores. Así, una vez establecido el teorema del escalado, analizamos el comportamiento del operador racional asociado al método actuando sobre polinomios cuadráticos, calculando sus puntos fijos y críticos y analizando su estabilidad. Mostramos los planos de parámetros de los diferentes puntos críticos libres y estudiamos algunos casos particulares mediante planos dinámicos concretos en los que significamos algunas cuencas de atracción que no corresponden a las raíces. A continuación, en el Capítulo 7 se extienden a sistemas las técnicas iterativas diseñadas en el caso escalar, si bien ahora utilizamos funciones peso matriciales. Así construimos métodos de cualquier orden añadiendo sucesivos pasos con la misma estructura. Finalmente, se utiliza el operador diferencias divididas para extender al caso multivariable algunos esquemas iterativos que, a priori, no pueden ser extendidos de forma directa. Todos estos métodos forman parte del estudio numérico que se presenta al final del capítulo, en el que se confirman los resultados teóricos. Esta memoria termina con un capítulo dedicado a problemas abiertos y a líneas futuras de trabajo. Algunos de estos problemas han surgido como consecuencia de los avances obtenidos. / Artidiello Moreno, SDJ. (2014). DISEÑO, IMPLEMENTACIÓN Y CONVERGENCIA DE MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLVER ECUACIONES Y SISTEMAS NO LINEALES UTILIZANDO FUNCIONES PESO [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/44230 / TESIS

[ES] En gran cantidad de problemas de la matemática aplicada, existe la necesidad de resolver ecuaciones y sistemas no lineales, dado que numerosos problemas, finalmente, se reducen a estos. Conforme aumenta la dificultad de los sistemas, la obtención de la solución analítica se vuelve más compleja. Además, con el aumento de las herramientas computacionales, las dimensiones de los problemas a resolver han crecido de manera exponencial, por lo que se vuelve más necesario obtener una aproximación a la solución de manera sencilla y que no requiera mucho tiempo y coste computacional. Esta es una de las razones por las que los métodos iterativos han aumentado su importancia en los últimos años, ya que se han diseñado multitud de procesos con el fin de que converjan rápidamente a la solución y, de esta forma, poder resolver problemas que con las herramientas clásicas resultaría más costoso. La presente Tesis Doctoral, se centra en estudiar y diseñar numerosos métodos iterativos que mejoren a los esquemas clásicos en cuanto a su orden de convergencia, accesibilidad, cantidad de soluciones que obtienen o aplicabilidad a problemas con características especiales, como la no diferenciabilidad o la multiplicidad de las raíces. Entre los procesos que se estudian en esta memoria, se pueden encontrar desde una familia de métodos multipaso óptimos para la resolución de ecuaciones, hasta una familia paramétrica libre de derivadas de esquemas con función peso a la que se introduce memoria para la resolución de sistemas no lineales. Se destacan otros métodos en esta memoria como esquemas iterativos que obtienen raíces con diversas multiplicidades para ecuaciones y procesos que aproximan raíces de forma simultánea, tanto para ecuaciones como para sistemas, y, tanto para raíces simples como para múltiples. Además, parte de esta memoria se centra en cómo realizar el análisis dinámico para métodos iterativos con memoria que resuelven sistemas de ecuaciones no lineales, a la par que se realiza dicho estudio para diversos esquemas iterativos conocidos. Este análisis dinámico permite visualizar y analizar los posibles comportamientos de los procesos iterativos en función de las aproximaciones iniciales. Los resultados anteriormente descritos forman parte de esta Tesis Doctoral para la obtención del título de Doctora en Matemáticas. / [CA] En gran quantitat de problemes de la matemàtica aplicada, existeix la necessitat de resoldre equacions i sistemes no lineals, atés que nombrosos problemes, finalment, es redueixen a aquests. Conforme augmenta la dificultat dels sistemes, l'obtenció de la solució analítica es torna més complexa. A més, amb l'augment de les eines computacionals, les dimensions dels problemes a resoldre han crescut de manera exponencial, per la qual cosa es torna més necessari obtindre una aproximació a la solució de manera senzilla i que no requerisca molt temps i cost computacional. Aquesta és una de les raons per les quals els mètodes iteratius han augmentat la seua importància en els últims anys, ja que s'han dissenyat multitud de processos amb la finalitat que convergisquen ràpidament a la solució i, d'aquesta manera, poder resoldre problemes que amb les eines clàssiques resultaria més costós. La present Tesi Doctoral, es centra en estudiar i dissenyar nombrosos mètodes iteratius que milloren als esquemes clàssics en quant al seu ordre de convergència, accessibilitat, quantitat de solucions que obtenen o aplicabilitat a problemes amb característiques especials, com la no diferenciabilitat o la multiplicitat de les arrels. Entre els processos que s'estudien en aquesta memòria, es poden trobar des d'una família de mètodes multipas òptims per a la resolució d'equacions, fins a una família paramètrica lliure de derivades de esquemes amb funció pes a la que s'introdueix memòria per a la resolució de sistemes no lineals. Es destanquen altres mètodes en aquesta memòria com esquemes iteratius que obtenen arrels amb diverses multiplicitats per a equacions i processos que aproximen arrels de manera simultània, tant per a equacions com per a sistemes, i, tant per a arrels simples com per a múltiples. A més, part d'aquesta memòria es centra en com realitzar l'anàlisi dinàmic per a mètodes iteratius amb memòria que resolen sistemes d'equacions no lineals, al mateix temps que es realitza aquest estudi per a diversos esquemes iteratius coneguts. Aquest anàlisi dinàmic permet visualitzar i analitzar els possibles comportaments dels mètodes iteratius en funció de les aproximacions inicials. Els resultats anteriorment descrits formen part d'aquesta Tesi Doctoral per a l'obtenció del títol de Doctora en Matemàtiques. / [EN] In a large number of problems in applied mathematics, there is a need to solve nonlinear equations and systems, since many problems eventually are reduced to these. As the difficulty of the systems increases, obtaining the analytical solution becomes more complex. Furthermore, with the growth of computational tools, the dimensions of the problems to be solved have increased exponentially, making it more essential to obtain an approximation to the solution in a simple way that does not require significant time and computational cost. That is one of the reasons why iterative methods have increased their importance in recent years, as a multitude of schemes have been designed to converge rapidly to the solution and, in this way, to be able to solve problems that would be more arduous to solve using classical tools. This Doctoral Thesis focuses on the study and design of numerous iterative methods that improve classical schemes in terms of their order of convergence, accessibility, number of solutions obtained or applicability to problems with special characteristics, such as non-differentiability or multiplicity of roots. The procedures studied in this report range from a family of optimal multi-step methods for solving equations, to a parametric derivative-free family of weight function schemes, to which memory is introduced for solving nonlinear systems. Additional procedures are described in this report such as iterative schemes that obtain roots with different multiplicities for equations and methods that approximate roots simultaneously for equations as well as for systems, and for simple as well as for multiples roots. In addition, part of this report focuses on how to perform the dynamical analysis for iterative schemes with memory that solve systems of nonlinear equations, as well as this study is carried out for different known iterative procedures. This dynamical analysis allows us to visualise and analyse the possible behaviours of the iterative methods depending on the initial approximations. The results described above form part of this Doctoral Thesis to obtain the title of Doctor in Mathematics. / Triguero Navarro, P. (2023). High Performance Multidimensional Iterative Processes for Solving Nonlinear Equations [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/194267