[ES] La resolución de ecuaciones y sistemas no lineales es un tema de gran interés teórico-práctico, pues muchos modelos matemáticos de la ciencia o de la industria se expresan mediante sistemas no lineales o ecuaciones diferenciales o integrales que, mediante técnicas de discretización, dan lugar a dichos sistemas. Dado que generalmente es difícil, si no imposible, resolver analíticamente las ecuaciones no lineales, la herramienta más extendida son los métodos iterativos, que tratan de obtener aproximaciones cada vez más precisas de las soluciones partiendo de determinadas estimaciones iniciales. Existe una variada literatura sobre los métodos iterativos para resolver ecuaciones y sistemas, que abarca conceptos como, eficiencia, optimalidad, estabilidad, entre otros importantes temas. En este estudio obtenemos nuevos métodos iterativos que mejoran algunos conocidos en términos de orden o eficiencia, es decir que obtienen mejores aproximaciones con menor coste computacional. La convergencia de los métodos iterativos suele estudiarse desde el punto de vista local. Esto significa que se obtienen resultados de convergencia imponiendo condiciones a la ecuación en un entorno de la solución. Obviamente, estos resultados no son aplicables si no la conocemos. Otro punto de vista, que abordamos en este trabajo, es el estudio semilocal que, imponiendo condiciones en un entorno de la estimación inicial, proporciona un entorno de dicho punto que contiene la solución y garantiza la convergencia del método iterativo a la misma. Finalmente, desde un punto de vista global, estudiamos el comportamiento de los métodos iterativos en función de la estimación inicial, mediante el estudio de la dinámica de las funciones racionales asociadas a estos métodos. La presente memoria recoge los resultados de varios artículos de nuestra autoría, en los que se tratan distintos aspectos de la materia, como son, las peculiaridades de la convergencia en el caso de raíces múltiples, la posibilidad de aumentar el orden de un método óptimo de orden cuatro a orden ocho, manteniendo la optimalidad en el caso de raíces múltiples, el estudio de la convergencia semilocal en un método de alto orden, así como el comportamiento dinámico de algunos métodos iterativos. / [CA] La resolució d'equacions i sistemes no lineals és un tema de gran interés teoricopràctic, perquè molts models matemàtics de la ciència o de la indústria s'expressen mitjançant sistemes no lineals o equacions diferencials o integrals que, mitjançant tècniques de discretizació, donen lloc a aquests sistemes. Atés que generalment és difícil, si no impossible, resoldre analíticament les equacions no lineals, l'eina més estesa són els mètodes iteratius, que tracten d'obtindre aproximacions cada vegada més precises de les solucions partint de determinades estimacions inicials. Existeix una variada literatura sobre els mètodes iteratius per a resoldre equacions i sistemes, que abasta conceptes com ordre d'aproximació, eficiència, optimalitat, estabilitat, entre altres importants temes. En aquest estudi obtenim nous mètodes iteratius que milloren alguns coneguts en termes d'ordre o eficiència, és a dir que obtenen millors aproximacions amb menor cost computacional. La convergència dels mètodes iteratius sol estudiar-se des del punt de vista local. Això significa que s'obtenen resultats de convergència imposant condicions a l'equació en un entorn de la solució. Òbviament, aquests resultats no són aplicables si no la coneixem. Un altre punt de vista, que abordem en aquest treball, és l'estudi semilocal que, imposant condicions en un entorn de l'estimació inicial, proporciona un entorn d'aquest punt que conté la solució i garanteix la convergència del mètode iteratiu a aquesta. Finalment, des d'un punt de vista global, estudiem el comportament dels mètodes iteratius en funció de l'estimació inicial, mitjançant l'estudi de la dinàmica de les funcions racionals associades a aquests mètodes. La present memòria recull els resultats de diversos articles de la nostra autoria, en els quals es tracten diferents aspectes de la matèria, com són, les peculiaritats de la convergència en el cas d'arrels múltiples, la possibilitat d'augmentar l'ordre d'un mètode òptim d'ordre quatre a ordre huit, mantenint l'optimalitat en el cas d'arrels múltiples, l'estudi de la convergència semilocal en un mètode d'alt ordre, així com el comportament dinàmic d'alguns mètodes iteratius. / [EN] The resolution of nonlinear equations and systems is a subject of great theoretical and practical interest, since many mathematical models in science or industry are expressed through nonlinear systems or differential or integral equations that, by means of discretization techniques, give rise to such systems. Since it is generally difficult, if not impossible, to solve nonlinear equations analytically, the most widely used tool is iterative methods, which try to obtain increasingly precise approximations of the solutions based on certain initial estimates. There is a varied literature on iterative methods for solving equations and systems, which covers concepts of order of approximation, efficiency, optimality, stability, among other important topics. In this study we obtain new iterative methods that improve some known ones in terms of order or efficiency, that is, they obtain better approximations with lower computational cost. The convergence of iterative methods is usually studied locally. This means that convergence results are obtained by imposing conditions on the equation in a neighbourhood of the solution. Obviously, these results are not applicable if we do not know it. Another point of view, which we address in this work, is the semilocal study that, by imposing conditions in a neighbourhood of the initial estimation, provides an environment of this point that contains the solution and guarantees the convergence of the iterative method to it. Finally, from a global point of view, we study the behaviour of iterative methods as a function of the initial estimation, by studying the dynamics of the rational functions associated with these methods. This report collects the results of several articles of our authorship, in which different aspects of the matter are dealt with, such as the peculiarities of convergence in the case of multiple roots, the possibility of increasing the order of an optimal method from order four to order eight, maintaining optimality in the case of multiple roots, the study of semilocal convergence in a high-order method, as well as the dynamic behaviour of some iterative methods. / Cevallos Alarcón, FA. (2023). Métodos iterativos para la resolución de problemas aplicados transformados a sistemas no lineales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/193495

[ES] En gran cantidad de problemas de la matemática aplicada, existe la necesidad de resolver ecuaciones y sistemas no lineales, dado que numerosos problemas, finalmente, se reducen a estos. Conforme aumenta la dificultad de los sistemas, la obtención de la solución analítica se vuelve más compleja. Además, con el aumento de las herramientas computacionales, las dimensiones de los problemas a resolver han crecido de manera exponencial, por lo que se vuelve más necesario obtener una aproximación a la solución de manera sencilla y que no requiera mucho tiempo y coste computacional. Esta es una de las razones por las que los métodos iterativos han aumentado su importancia en los últimos años, ya que se han diseñado multitud de procesos con el fin de que converjan rápidamente a la solución y, de esta forma, poder resolver problemas que con las herramientas clásicas resultaría más costoso. La presente Tesis Doctoral, se centra en estudiar y diseñar numerosos métodos iterativos que mejoren a los esquemas clásicos en cuanto a su orden de convergencia, accesibilidad, cantidad de soluciones que obtienen o aplicabilidad a problemas con características especiales, como la no diferenciabilidad o la multiplicidad de las raíces. Entre los procesos que se estudian en esta memoria, se pueden encontrar desde una familia de métodos multipaso óptimos para la resolución de ecuaciones, hasta una familia paramétrica libre de derivadas de esquemas con función peso a la que se introduce memoria para la resolución de sistemas no lineales. Se destacan otros métodos en esta memoria como esquemas iterativos que obtienen raíces con diversas multiplicidades para ecuaciones y procesos que aproximan raíces de forma simultánea, tanto para ecuaciones como para sistemas, y, tanto para raíces simples como para múltiples. Además, parte de esta memoria se centra en cómo realizar el análisis dinámico para métodos iterativos con memoria que resuelven sistemas de ecuaciones no lineales, a la par que se realiza dicho estudio para diversos esquemas iterativos conocidos. Este análisis dinámico permite visualizar y analizar los posibles comportamientos de los procesos iterativos en función de las aproximaciones iniciales. Los resultados anteriormente descritos forman parte de esta Tesis Doctoral para la obtención del título de Doctora en Matemáticas. / [CA] En gran quantitat de problemes de la matemàtica aplicada, existeix la necessitat de resoldre equacions i sistemes no lineals, atés que nombrosos problemes, finalment, es redueixen a aquests. Conforme augmenta la dificultat dels sistemes, l'obtenció de la solució analítica es torna més complexa. A més, amb l'augment de les eines computacionals, les dimensions dels problemes a resoldre han crescut de manera exponencial, per la qual cosa es torna més necessari obtindre una aproximació a la solució de manera senzilla i que no requerisca molt temps i cost computacional. Aquesta és una de les raons per les quals els mètodes iteratius han augmentat la seua importància en els últims anys, ja que s'han dissenyat multitud de processos amb la finalitat que convergisquen ràpidament a la solució i, d'aquesta manera, poder resoldre problemes que amb les eines clàssiques resultaria més costós. La present Tesi Doctoral, es centra en estudiar i dissenyar nombrosos mètodes iteratius que milloren als esquemes clàssics en quant al seu ordre de convergència, accessibilitat, quantitat de solucions que obtenen o aplicabilitat a problemes amb característiques especials, com la no diferenciabilitat o la multiplicitat de les arrels. Entre els processos que s'estudien en aquesta memòria, es poden trobar des d'una família de mètodes multipas òptims per a la resolució d'equacions, fins a una família paramètrica lliure de derivades de esquemes amb funció pes a la que s'introdueix memòria per a la resolució de sistemes no lineals. Es destanquen altres mètodes en aquesta memòria com esquemes iteratius que obtenen arrels amb diverses multiplicitats per a equacions i processos que aproximen arrels de manera simultània, tant per a equacions com per a sistemes, i, tant per a arrels simples com per a múltiples. A més, part d'aquesta memòria es centra en com realitzar l'anàlisi dinàmic per a mètodes iteratius amb memòria que resolen sistemes d'equacions no lineals, al mateix temps que es realitza aquest estudi per a diversos esquemes iteratius coneguts. Aquest anàlisi dinàmic permet visualitzar i analitzar els possibles comportaments dels mètodes iteratius en funció de les aproximacions inicials. Els resultats anteriorment descrits formen part d'aquesta Tesi Doctoral per a l'obtenció del títol de Doctora en Matemàtiques. / [EN] In a large number of problems in applied mathematics, there is a need to solve nonlinear equations and systems, since many problems eventually are reduced to these. As the difficulty of the systems increases, obtaining the analytical solution becomes more complex. Furthermore, with the growth of computational tools, the dimensions of the problems to be solved have increased exponentially, making it more essential to obtain an approximation to the solution in a simple way that does not require significant time and computational cost. That is one of the reasons why iterative methods have increased their importance in recent years, as a multitude of schemes have been designed to converge rapidly to the solution and, in this way, to be able to solve problems that would be more arduous to solve using classical tools. This Doctoral Thesis focuses on the study and design of numerous iterative methods that improve classical schemes in terms of their order of convergence, accessibility, number of solutions obtained or applicability to problems with special characteristics, such as non-differentiability or multiplicity of roots. The procedures studied in this report range from a family of optimal multi-step methods for solving equations, to a parametric derivative-free family of weight function schemes, to which memory is introduced for solving nonlinear systems. Additional procedures are described in this report such as iterative schemes that obtain roots with different multiplicities for equations and methods that approximate roots simultaneously for equations as well as for systems, and for simple as well as for multiples roots. In addition, part of this report focuses on how to perform the dynamical analysis for iterative schemes with memory that solve systems of nonlinear equations, as well as this study is carried out for different known iterative procedures. This dynamical analysis allows us to visualise and analyse the possible behaviours of the iterative methods depending on the initial approximations. The results described above form part of this Doctoral Thesis to obtain the title of Doctor in Mathematics. / Triguero Navarro, P. (2023). High Performance Multidimensional Iterative Processes for Solving Nonlinear Equations [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/194267